1.在$△ ABC$中，$∠ A$和$∠ B$的度数如下，能判定$△ ABC$是等腰三角形的是 （）

A.$∠ A=50°,∠ B=70°$
B.$∠ A=70°,∠ B=40°$
C.$∠ A=30°,∠ B=90°$
D.$∠ A=80°,∠ B=60°$

1.B

2. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,BC=5,∠BAD的平分线AE交BC于点E,CE=2,则线段AB的长为。

2.3

3.如图，已知$AC⊥ BC$，$BD⊥ AD$，$AC$与$BD$交于点$O$，$AC=BD$.求证：$△ OAB$是等腰三角形.

3. 证明: $\because AC⊥ BC, BD⊥ AD, \therefore ∠ D = ∠ C = 90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ BAC$ 中, $\begin{cases} AB=BA, \\ BD=AC, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ BAC (\mathrm{HL}). \therefore ∠ DBA = ∠ CAB. \therefore OA=OB. \therefore △ OAB$ 是等腰三角形.

4.如图,已知AC和BD相交于点O,AB//DC,OA=OB=4.若OC=3,则BD的长为（）

A.5
B.6
C.7
D.8

4.C

5.(重庆市中考)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$.若$BC=2$,则$AD$的长度为.

5.2

6.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,过$CA$延长线上一点$D$作$DE ⊥ BC$于点$E$,交$AB$于点$F$,已知$F$为$AB$的中点.
(1)求证:$△ ADF$为等腰三角形;
(2)若$EF=3$,求$DE$的长.

6. (1) 证明: $\because DE ⊥ BC, \therefore ∠ B + ∠ BFE = 90°, ∠ C + ∠ D = 90°, \because AB=AC, \therefore ∠ B = ∠ C, \therefore ∠ BFE = ∠ D. \because ∠ BFE = ∠ AFD, \therefore ∠ D = ∠ AFD, \therefore AD=AF, \therefore △ ADF$ 是等腰三角形；
(2) 解: 如图,过点 $A$ 作 $AG // BC$ 交 $DE$ 于点 $G, \because AG // BC, \therefore ∠ AGF = ∠ BEF = 90°, ∠ GAF = ∠ EBF. \because F$ 为 $AB$ 的中点, $\therefore AF=BF, \therefore △ AFG ≌ △ BFE (\mathrm{AAS}), \therefore GF=EF$, 由(1)可知 $AD=AF, ∠ AGF=90°, \therefore DG=GF, \therefore DG=GF=EF, \therefore DE=DG+GF+EF=3EF=9.$

7.已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形。

7. (1) 解: 作线段 $AB=a$;
(2) 作线段 $AB$ 的垂直平分线 $MN$, 与 $AB$ 交于点 $D$;
(3) 在 $MN$ 上取一点 $C$, 使 $CD=b$;
(4) 连接 $AC, BC$, 则 $△ ABC$ 就是所求作的等腰三角形.