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1. 下列方程中，属于二元一次方程的是 （
A.$x + y - 2 = 0$
B.$xy + 1 = -4$
C.$3x^2 + y = 8$
D.$x - y - 2z = 10$
A
）A.$x + y - 2 = 0$
B.$xy + 1 = -4$
C.$3x^2 + y = 8$
D.$x - y - 2z = 10$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断哪个是二元一次方程，首先需要明确二元一次方程的三个判断标准：①只含有2个不同的未知数；②含有未知数的项的次数都为1；③是整式方程。接下来将每个选项依次对照这三个标准，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。
对各选项逐一分析：
选项A：$x + y - 2 = 0$，含有x、y两个未知数，x、y所在项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义；
选项B：$xy + 1 = -4$，其中$xy$项的次数是$1+1=2$，不满足“含未知数的项的次数为1”的要求，不符合定义；
选项C：$3x^2 + y = 8$，其中$x^2$项的次数是2，不满足次数要求，不符合定义；
选项D：$x - y - 2z = 10$，含有x、y、z三个未知数，不满足“只含2个未知数”的要求，不符合定义。
综上，只有选项A符合二元一次方程的定义。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义
【点评】
本题是基础概念考察题，解题的核心是牢记二元一次方程的三个判断要素，尤其要注意含多个未知数乘积的项的次数计算，避免将单个未知数的次数等同于该项的总次数。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是二元一次方程，首先需要明确二元一次方程的三个判断标准：①只含有2个不同的未知数；②含有未知数的项的次数都为1；③是整式方程。接下来将每个选项依次对照这三个标准，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。
对各选项逐一分析：
选项A：$x + y - 2 = 0$，含有x、y两个未知数，x、y所在项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义；
选项B：$xy + 1 = -4$，其中$xy$项的次数是$1+1=2$，不满足“含未知数的项的次数为1”的要求，不符合定义；
选项C：$3x^2 + y = 8$，其中$x^2$项的次数是2，不满足次数要求，不符合定义；
选项D：$x - y - 2z = 10$，含有x、y、z三个未知数，不满足“只含2个未知数”的要求，不符合定义。
综上，只有选项A符合二元一次方程的定义。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义
【点评】
本题是基础概念考察题，解题的核心是牢记二元一次方程的三个判断要素，尤其要注意含多个未知数乘积的项的次数计算，避免将单个未知数的次数等同于该项的总次数。
【难度系数】
0.8
2.在二元一次方程$x+2y=9$的解中，正整数解有（
A.1组
B.3组
C.4组
D.5组
C
）A.1组
B.3组
C.4组
D.5组
答案
2.C
解析
【分析】
要求二元一次方程的正整数解，首先要明确正整数解的含义：方程的两个未知数x、y的取值都必须是大于0的整数。我们可以先将方程变形，用含y的式子表示x，再根据x、y都是正整数的要求，先确定y的取值范围，再逐个代入计算对应的x值，判断是否符合要求，最后统计符合条件的解的组数即可。
【解析】
解：
∵ 方程$x+2y=9$的解为正整数，
∴ $x＞0$，$y＞0$，且x、y均为整数。
将方程变形为：$x=9-2y$，
由$x＞0$可得：$9-2y＞0$，解得$y＜4.5$。
又
∵ y是正整数，
∴ y的可取值为1、2、3、4，代入计算对应的x：
当$y=1$时，$x=9-2×1=7$，符合要求；
当$y=2$时，$x=9-2×2=5$，符合要求；
当$y=3$时，$x=9-2×3=3$，符合要求；
当$y=4$时，$x=9-2×4=1$，符合要求。
综上，共有4组正整数解。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程的解
2. 正整数的定义
3. 简单不等式的应用
【点评】
本题属于二元一次方程解的基础应用题型，解题核心是通过正整数的限制条件缩小未知数的取值范围，再用枚举法筛选出所有符合要求的解，解题时注意不要遗漏或多算不符合条件的取值。
【难度系数】
0.8
要求二元一次方程的正整数解，首先要明确正整数解的含义：方程的两个未知数x、y的取值都必须是大于0的整数。我们可以先将方程变形，用含y的式子表示x，再根据x、y都是正整数的要求，先确定y的取值范围，再逐个代入计算对应的x值，判断是否符合要求，最后统计符合条件的解的组数即可。
【解析】
解：
∵ 方程$x+2y=9$的解为正整数，
∴ $x＞0$，$y＞0$，且x、y均为整数。
将方程变形为：$x=9-2y$，
由$x＞0$可得：$9-2y＞0$，解得$y＜4.5$。
又
∵ y是正整数，
∴ y的可取值为1、2、3、4，代入计算对应的x：
当$y=1$时，$x=9-2×1=7$，符合要求；
当$y=2$时，$x=9-2×2=5$，符合要求；
当$y=3$时，$x=9-2×3=3$，符合要求；
当$y=4$时，$x=9-2×4=1$，符合要求。
综上，共有4组正整数解。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程的解
2. 正整数的定义
3. 简单不等式的应用
【点评】
本题属于二元一次方程解的基础应用题型，解题核心是通过正整数的限制条件缩小未知数的取值范围，再用枚举法筛选出所有符合要求的解，解题时注意不要遗漏或多算不符合条件的取值。
【难度系数】
0.8
3.关于$a,b$的方程组$\begin{cases}a+2b=m, \\a+3b=m+2\end{cases}$的解$a,b$互为负倒数(即乘积为$-1$的两个数),则$m$的值为（ ）
A.$1.5$
B.$2.5$
C.$3.5$
D.$4.5$
A.$1.5$
B.$2.5$
C.$3.5$
D.$4.5$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先考虑用消元法解二元一次方程组，用含m的代数式分别表示出a和b的值，再根据“a、b互为负倒数即ab=-1”这一条件，列出关于m的一元一次方程，最后求解方程即可得到m的值。
【解析】
解：给方程组标号如下：
$\begin{cases}a+2b=m&① \\a+3b=m+2&②\end{cases}$
用②式减去①式消去a，可得：
$(a+3b)-(a+2b)=(m+2)-m$
化简得：$b=2$
把$b=2$代入①式，得：
$a+2×2=m$，解得$a=m-4$
∵a、b互为负倒数，
∴$ab=-1$
将$a=m-4$，$b=2$代入得：
$2(m-4)=-1$
去括号得：$2m-8=-1$
移项、合并同类项得：$2m=7$
系数化为1得：$m=3.5$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解法，负倒数的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础综合题，将方程组求解和概念应用结合，解题核心是先将方程组的解用参数m表示，再结合给定的数量关系列方程，考查学生的基础运算和知识结合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先考虑用消元法解二元一次方程组，用含m的代数式分别表示出a和b的值，再根据“a、b互为负倒数即ab=-1”这一条件，列出关于m的一元一次方程，最后求解方程即可得到m的值。
【解析】
解：给方程组标号如下：
$\begin{cases}a+2b=m&① \\a+3b=m+2&②\end{cases}$
用②式减去①式消去a，可得：
$(a+3b)-(a+2b)=(m+2)-m$
化简得：$b=2$
把$b=2$代入①式，得：
$a+2×2=m$，解得$a=m-4$
∵a、b互为负倒数，
∴$ab=-1$
将$a=m-4$，$b=2$代入得：
$2(m-4)=-1$
去括号得：$2m-8=-1$
移项、合并同类项得：$2m=7$
系数化为1得：$m=3.5$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解法，负倒数的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础综合题，将方程组求解和概念应用结合，解题核心是先将方程组的解用参数m表示，再结合给定的数量关系列方程，考查学生的基础运算和知识结合应用能力。
【难度系数】
0.7
4.由$3x=2x-1$得$3x-2x=-1$，在此变形中，方程两边同时
减去$2x$
。答案
4.减去$2x$
解析
【分析】
这道题考查等式基本性质的应用，解题时先对比方程变形前后左右两边的变化：原方程左边是3x，变形后是3x-2x，相当于左边减去了2x；原方程右边是2x-1，变形后是-1，也相当于右边减去了2x，结合等式两边加减同一个整式等式仍成立的性质，就能得出变形时的操作。
【解析】
根据等式的基本性质1：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立。
对比变形前后的方程：
原方程：$\boldsymbol{3x=2x-1}$
变形后方程：$\boldsymbol{3x-2x=-1}$
可发现方程左右两边都减去了$2x$，符合等式的性质1，因此该变形是方程两边同时减去$2x$得到的。
【答案】
减去$2x$
【知识点】
等式的基本性质；方程的变形
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查等式性质在一元一次方程变形中的应用，熟练掌握等式的两条性质是解决方程变形类问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查等式基本性质的应用，解题时先对比方程变形前后左右两边的变化：原方程左边是3x，变形后是3x-2x，相当于左边减去了2x；原方程右边是2x-1，变形后是-1，也相当于右边减去了2x，结合等式两边加减同一个整式等式仍成立的性质，就能得出变形时的操作。
【解析】
根据等式的基本性质1：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立。
对比变形前后的方程：
原方程：$\boldsymbol{3x=2x-1}$
变形后方程：$\boldsymbol{3x-2x=-1}$
可发现方程左右两边都减去了$2x$，符合等式的性质1，因此该变形是方程两边同时减去$2x$得到的。
【答案】
减去$2x$
【知识点】
等式的基本性质；方程的变形
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查等式性质在一元一次方程变形中的应用，熟练掌握等式的两条性质是解决方程变形类问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
