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5.若关于x的方程$3x - 5 = 2x + a$的解与方程$4x + 3 = 7$的解相同，则$a=$
$-4$
.答案
5.$-4$
解析
【分析】
本题属于同解方程问题，解题思路分两步：第一步先求解不含参数的方程$4x+3=7$，得到x的具体值；第二步利用两个方程解相同的条件，把求得的x值代入含参数a的方程$3x-5=2x+a$，转化为关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
先解方程$4x + 3 = 7$：
移项，得$4x = 7 - 3$，
合并同类项，得$4x = 4$，
系数化为1，得$x = 1$。
因为两个方程的解相同，将$x=1$代入$3x - 5 = 2x + a$，可得：
$3×1 - 5 = 2×1 + a$，
计算得$-2 = 2 + a$，
移项得$a = -2 - 2$，
即$a = -4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 解一元一次方程
2. 同解方程的性质
【点评】
本题是同解方程的基础题型，解题核心是利用“解相同”的条件，先求出无参数方程的解，再代入含参数的方程计算参数，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
本题属于同解方程问题，解题思路分两步：第一步先求解不含参数的方程$4x+3=7$，得到x的具体值；第二步利用两个方程解相同的条件，把求得的x值代入含参数a的方程$3x-5=2x+a$，转化为关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
先解方程$4x + 3 = 7$：
移项，得$4x = 7 - 3$，
合并同类项，得$4x = 4$，
系数化为1，得$x = 1$。
因为两个方程的解相同，将$x=1$代入$3x - 5 = 2x + a$，可得：
$3×1 - 5 = 2×1 + a$，
计算得$-2 = 2 + a$，
移项得$a = -2 - 2$，
即$a = -4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 解一元一次方程
2. 同解方程的性质
【点评】
本题是同解方程的基础题型，解题核心是利用“解相同”的条件，先求出无参数方程的解，再代入含参数的方程计算参数，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
6.若方程$x+2y=-4,kx-y-5=0,2x-y=7$有公共解，则k的值是
$1$
.答案
6.$1$
解析
【分析】
三个方程有公共解，说明存在一组x、y的取值同时满足三个方程。解题时可以先联立不含参数k的两个二元一次方程，用消元法求出x、y的取值，再将x、y代入含k的方程，即可得到关于k的一元一次方程，求解就能得到k的值。
【解析】
首先联立不含k的两个方程：
$\begin{cases}x+2y=-4 ①\\2x-y=7 ②\end{cases}$
用加减消元法求解，将②×2得：$4x-2y=14$ ③
①+③得：$5x=10$，解得$x=2$
把$x=2$代入②得：$2×2 - y =7$，解得$y=-3$
所以三个方程的公共解为$\begin{cases}x=2\\y=-3\end{cases}$
将$\begin{cases}x=2\\y=-3\end{cases}$代入$kx-y-5=0$得：
$2k - (-3) -5 = 0$
化简得：$2k - 2 = 0$
解得：$k=1$
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组解法；方程公共解的含义；一元一次方程求解
【点评】
本题核心是理解公共解的定义，通过先求不含参数的方程组的解，再代入含参方程求参数，是二元一次方程组应用的常见题型，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键。
【难度系数】
0.7
三个方程有公共解，说明存在一组x、y的取值同时满足三个方程。解题时可以先联立不含参数k的两个二元一次方程，用消元法求出x、y的取值，再将x、y代入含k的方程，即可得到关于k的一元一次方程，求解就能得到k的值。
【解析】
首先联立不含k的两个方程：
$\begin{cases}x+2y=-4 ①\\2x-y=7 ②\end{cases}$
用加减消元法求解，将②×2得：$4x-2y=14$ ③
①+③得：$5x=10$，解得$x=2$
把$x=2$代入②得：$2×2 - y =7$，解得$y=-3$
所以三个方程的公共解为$\begin{cases}x=2\\y=-3\end{cases}$
将$\begin{cases}x=2\\y=-3\end{cases}$代入$kx-y-5=0$得：
$2k - (-3) -5 = 0$
化简得：$2k - 2 = 0$
解得：$k=1$
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组解法；方程公共解的含义；一元一次方程求解
【点评】
本题核心是理解公共解的定义，通过先求不含参数的方程组的解，再代入含参方程求参数，是二元一次方程组应用的常见题型，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键。
【难度系数】
0.7
7. 小明解方程$\frac{x+1}{2}-1=\frac{x-2}{3}$的步骤如下:
解:方程两边同乘6,得$3(x+1)-1=2(x-2)$.①
去括号,得$3x+3-1=2x-2$.②
移项,得$3x-2x=-2-3+1$.③
合并同类项,得$x=-4$.④
以上解题步骤中,开始出错的一步是 (
A.①
B.②
C.③
D.④
解:方程两边同乘6,得$3(x+1)-1=2(x-2)$.①
去括号,得$3x+3-1=2x-2$.②
移项,得$3x-2x=-2-3+1$.③
合并同类项,得$x=-4$.④
以上解题步骤中,开始出错的一步是 (
A
)A.①
B.②
C.③
D.④
答案
7.A
解析
【分析】
要判断哪一步最先出错，需按照解一元一次方程的规范步骤，逐一对小明的解题操作进行核对。首先回忆去分母的核心规则：方程两边同乘各分母的最小公倍数时，每一项都要乘，不能漏乘不含分母的项，我们先核验去分母步骤，再依次核对后续步骤即可找到错误源头。
【解析】
我们按照解一元一次方程的标准步骤逐一核验：
1. 去分母操作：原方程分母为2和3，最小公倍数是6，方程两边所有项都要乘6：
左边两项分别乘6得：$\frac{x+1}{2} × 6 -1 × 6 = 3(x+1)-6$
右边乘6得：$\frac{x-2}{3} × 6 = 2(x-2)$
因此正确的去分母结果应为$3(x+1)-6=2(x-2)$，对比小明的步骤①，他漏乘了左边的常数项-1，直接保留了-1，因此步骤①就已经出错，后续步骤都是基于第一步的错误推导的，所以最先出错的是步骤①。
【答案】
A
【知识点】
解一元一次方程；去分母法则；等式的性质
【点评】
本题是解一元一次方程的基础易错题，核心考查去分母的注意事项，做题时要牢记去分母需覆盖方程所有项，不能漏乘不含分母的常数项。
【难度系数】
0.7
要判断哪一步最先出错，需按照解一元一次方程的规范步骤，逐一对小明的解题操作进行核对。首先回忆去分母的核心规则：方程两边同乘各分母的最小公倍数时，每一项都要乘，不能漏乘不含分母的项，我们先核验去分母步骤，再依次核对后续步骤即可找到错误源头。
【解析】
我们按照解一元一次方程的标准步骤逐一核验：
1. 去分母操作：原方程分母为2和3，最小公倍数是6，方程两边所有项都要乘6：
左边两项分别乘6得：$\frac{x+1}{2} × 6 -1 × 6 = 3(x+1)-6$
右边乘6得：$\frac{x-2}{3} × 6 = 2(x-2)$
因此正确的去分母结果应为$3(x+1)-6=2(x-2)$，对比小明的步骤①，他漏乘了左边的常数项-1，直接保留了-1，因此步骤①就已经出错，后续步骤都是基于第一步的错误推导的，所以最先出错的是步骤①。
【答案】
A
【知识点】
解一元一次方程；去分母法则；等式的性质
【点评】
本题是解一元一次方程的基础易错题，核心考查去分母的注意事项，做题时要牢记去分母需覆盖方程所有项，不能漏乘不含分母的常数项。
【难度系数】
0.7
8.若关于$x$的方程$4m + x = 20$的解与方程$2x - 3 = x + 1$的解相同，则$m$的值为（
A.4
B.$-4$
C.$-2$
D.2
A
）A.4
B.$-4$
C.$-2$
D.2
答案
8.A
解析
【分析】
已知两个方程的解相同，即两个方程的x的取值一致。解题思路分为两步：第一步先求解不含参数m的方程2x-3=x+1，得到x的具体值；第二步将求出的x值代入含有m的方程4m+x=20，得到仅关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
1. 先解方程$2x - 3 = x + 1$：
移项得：$2x - x = 1 + 3$
合并同类项得：$x = 4$
2. 因为两个方程的解相同，将$x=4$代入方程$4m + x = 20$，得：
$4m + 4 = 20$
移项得：$4m = 20 - 4$
计算得：$4m = 16$
系数化为1得：$m = 4$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
同解方程，解一元一次方程，代入求参数
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用题型，解题关键是利用同解的性质建立两个方程之间的关联，熟练掌握一元一次方程的求解步骤就能快速作答。
【难度系数】
0.9
已知两个方程的解相同，即两个方程的x的取值一致。解题思路分为两步：第一步先求解不含参数m的方程2x-3=x+1，得到x的具体值；第二步将求出的x值代入含有m的方程4m+x=20，得到仅关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
1. 先解方程$2x - 3 = x + 1$：
移项得：$2x - x = 1 + 3$
合并同类项得：$x = 4$
2. 因为两个方程的解相同，将$x=4$代入方程$4m + x = 20$，得：
$4m + 4 = 20$
移项得：$4m = 20 - 4$
计算得：$4m = 16$
系数化为1得：$m = 4$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
同解方程，解一元一次方程，代入求参数
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用题型，解题关键是利用同解的性质建立两个方程之间的关联，熟练掌握一元一次方程的求解步骤就能快速作答。
【难度系数】
0.9
9. 已知方程组$\begin{cases}27x + 63y = 59, \\63x + 27y = -13\end{cases}$的解满足$x - y = 3m + 1$，则$m$的值为（ ）
A.$2$
B.$-2$
C.$1$
D.$-1$
A.$2$
B.$-2$
C.$1$
D.$-1$
答案
9.D
解析
【分析】
首先观察给出的二元一次方程组，x和y的系数在两个方程中刚好互换，题目要求的是和x-y相关的m的值，因此不需要分别求解x和y的具体值，可以直接用加减消元法将两个方程相减，整理得到x-y的整体值，再代入x-y=3m+1的等式，解关于m的一元一次方程即可得到答案，这种整体运算的方法比单独解x、y更简便。
【解析】
解：给方程组标注序号：
$\begin{cases}27x + 63y = 59 \quad \mathrm{①} \\63x + 27y = -13 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用②式减去①式，可得：
$(63x - 27x) + (27y - 63y) = -13 - 59$
合并同类项得：$36x - 36y = -72$
两边同时除以36，得：$x - y = -2$
已知$x - y = 3m + 1$，将$x-y=-2$代入得：
$3m + 1 = -2$
移项计算得：$3m = -3$
系数化为1得：$m = -1$
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组求解，一元一次方程求解，整体思想
【点评】
本题解题的核心是观察方程组系数的特点，灵活选择加减消元的整体运算思路，能大幅简化计算过程，也可通过常规方法解出x、y的具体值后代入计算，重点考查学生的观察能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的二元一次方程组，x和y的系数在两个方程中刚好互换，题目要求的是和x-y相关的m的值，因此不需要分别求解x和y的具体值，可以直接用加减消元法将两个方程相减，整理得到x-y的整体值，再代入x-y=3m+1的等式，解关于m的一元一次方程即可得到答案，这种整体运算的方法比单独解x、y更简便。
【解析】
解：给方程组标注序号：
$\begin{cases}27x + 63y = 59 \quad \mathrm{①} \\63x + 27y = -13 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用②式减去①式，可得：
$(63x - 27x) + (27y - 63y) = -13 - 59$
合并同类项得：$36x - 36y = -72$
两边同时除以36，得：$x - y = -2$
已知$x - y = 3m + 1$，将$x-y=-2$代入得：
$3m + 1 = -2$
移项计算得：$3m = -3$
系数化为1得：$m = -1$
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组求解，一元一次方程求解，整体思想
【点评】
本题解题的核心是观察方程组系数的特点，灵活选择加减消元的整体运算思路，能大幅简化计算过程，也可通过常规方法解出x、y的具体值后代入计算，重点考查学生的观察能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
10. 若关于$x$的方程$a - |x| = 0$有两个解，$b - |x| = 0$只有一个解，$c - |x| = 0$无解，则$a$，$b$，$c$的关系是 （
A.$a ＜ b ＜ c$
B.$a ＜ c ＜ b$
C.$b ＜ c ＜ a$
D.$c ＜ b ＜ a$
D
）A.$a ＜ b ＜ c$
B.$a ＜ c ＜ b$
C.$b ＜ c ＜ a$
D.$c ＜ b ＜ a$
答案
10.D
解析
【分析】
首先将三个方程统一变形为|x|等于常数的形式，再结合绝对值的非负性分析解的个数与常数取值的对应关系：若|x|=k，当k＞0时方程有两个解，当k=0时方程只有1个解，当k＜0时方程无解。根据三个方程的解的数量分别确定a、b、c的取值范围，最后比较三者大小即可得到答案。
【解析】
先对三个方程做变形：
1. 方程$a - |x| = 0$整理得$|x|=a$，已知它有两个解，因此$a＞0$；
2. 方程$b - |x| = 0$整理得$|x|=b$，已知它只有1个解，因此$b=0$；
3. 方程$c - |x| = 0$整理得$|x|=c$，已知它无解，因此$c＜0$。
综上可得大小关系为$c ＜ b ＜ a$。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质；含绝对值的一元一次方程；有理数大小比较
【点评】
本题核心是对绝对值非负性的应用，需要熟练掌握含绝对值的方程解的个数与等号右侧常数取值的对应规律，是基础概念的灵活应用题。
【难度系数】
0.8
首先将三个方程统一变形为|x|等于常数的形式，再结合绝对值的非负性分析解的个数与常数取值的对应关系：若|x|=k，当k＞0时方程有两个解，当k=0时方程只有1个解，当k＜0时方程无解。根据三个方程的解的数量分别确定a、b、c的取值范围，最后比较三者大小即可得到答案。
【解析】
先对三个方程做变形：
1. 方程$a - |x| = 0$整理得$|x|=a$，已知它有两个解，因此$a＞0$；
2. 方程$b - |x| = 0$整理得$|x|=b$，已知它只有1个解，因此$b=0$；
3. 方程$c - |x| = 0$整理得$|x|=c$，已知它无解，因此$c＜0$。
综上可得大小关系为$c ＜ b ＜ a$。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质；含绝对值的一元一次方程；有理数大小比较
【点评】
本题核心是对绝对值非负性的应用，需要熟练掌握含绝对值的方程解的个数与等号右侧常数取值的对应规律，是基础概念的灵活应用题。
【难度系数】
0.8
11.已知方程组$\begin{cases}2x + y + 3z = 5, \\3x - y - 2z = 1,\end{cases}$那么代数式$8x - y - z$的值是（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
A.6
B.7
C.8
D.9
答案
11.B
解析
【分析】
首先观察题目给出的方程组，含有3个未知数但只有2个方程，属于不定方程组，无法单独求出x、y、z的具体值，因此考虑用整体构造的方法，将所求代数式$8x-y-z$转化为已知两个方程的组合形式，通过对方程进行加减运算直接得到代数式的值，不需要单独求解每个未知数。
【解析】
解：设$\begin{cases}2x + y + 3z = 5&①, \\3x - y - 2z = 1&②,\end{cases}$
观察所求代数式$8x-y-z$的系数，可通过①$+2×$②构造得到：
左边：$2x+y+3z + 2×(3x - y - 2z) = 2x+y+3z+6x-2y-4z = 8x - y - z$
右边：$5 + 2×1 = 7$
因此$8x - y - z =7$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三元一次方程组整体求值，加减消元法，代数式运算
【点评】
本题侧重考查整体思想的应用，面对未知数个数多于方程个数的不定方程组，无需逐一求解每个未知数，通过观察所求代数式的系数，对已知方程进行合理组合即可快速得到结果，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的方程组，含有3个未知数但只有2个方程，属于不定方程组，无法单独求出x、y、z的具体值，因此考虑用整体构造的方法，将所求代数式$8x-y-z$转化为已知两个方程的组合形式，通过对方程进行加减运算直接得到代数式的值，不需要单独求解每个未知数。
【解析】
解：设$\begin{cases}2x + y + 3z = 5&①, \\3x - y - 2z = 1&②,\end{cases}$
观察所求代数式$8x-y-z$的系数，可通过①$+2×$②构造得到：
左边：$2x+y+3z + 2×(3x - y - 2z) = 2x+y+3z+6x-2y-4z = 8x - y - z$
右边：$5 + 2×1 = 7$
因此$8x - y - z =7$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三元一次方程组整体求值，加减消元法，代数式运算
【点评】
本题侧重考查整体思想的应用，面对未知数个数多于方程个数的不定方程组，无需逐一求解每个未知数，通过观察所求代数式的系数，对已知方程进行合理组合即可快速得到结果，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
12.解方程(组):
(1) $3(2x - 1) - 7 = 2x + 10$;
(2) $\begin{cases}4(x + y) - 5(x - y) = 2, \\ \dfrac{x + y}{3} = \dfrac{x - y}{2};\end{cases}$
(3) $\begin{cases}2a - b = 4, \\ a - 2b + c = 4, \\ a - b + 2c = 1.\end{cases}$
(1) $3(2x - 1) - 7 = 2x + 10$;
(2) $\begin{cases}4(x + y) - 5(x - y) = 2, \\ \dfrac{x + y}{3} = \dfrac{x - y}{2};\end{cases}$
(3) $\begin{cases}2a - b = 4, \\ a - 2b + c = 4, \\ a - b + 2c = 1.\end{cases}$
答案
12.(1)$x=5$
(2)$\begin{cases}x=\dfrac{5}{2},\\y=\dfrac{1}{2}\end{cases}$
(3)$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\\c=-1\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=\dfrac{5}{2},\\y=\dfrac{1}{2}\end{cases}$
(3)$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\\c=-1\end{cases}$
解析
【分析】
(1) 该题为一元一次方程，按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤求解即可，注意去括号、移项时的符号变化。
(2) 该题为二元一次方程组，先将两个方程去括号、去分母化简为标准二元一次方程组形式，再用加减消元法消去同一个未知数，求出一个未知数的值后代回方程求另一个未知数即可。
(3) 该题为三元一次方程组，先通过加减消元法消去未知数c，得到只含a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值后，代入原含c的方程求出c的值即可。
【解析】
(1) 解$3(2x - 1) - 7 = 2x + 10$
去括号，得$6x - 3 - 7 = 2x + 10$
合并左边同类项，得$6x - 10 = 2x + 10$
移项，得$6x - 2x = 10 + 10$
合并同类项，得$4x = 20$
系数化为1，得$x = 5$
(2) 先化简方程组$\begin{cases}4(x + y) - 5(x - y) = 2 \\ \dfrac{x + y}{3} = \dfrac{x - y}{2}\end{cases}$
对第一个方程去括号、合并同类项：
$4x + 4y - 5x + 5y = 2$，整理得$-x + 9y = 2$ ①
对第二个方程两边同乘6去分母，得$2(x + y) = 3(x - y)$
去括号、合并同类项，得$-x + 5y = 0$ ②
用①$-$②，得$4y = 2$，解得$y = \dfrac{1}{2}$
将$y = \dfrac{1}{2}$代入②，得$-x + 5×\dfrac{1}{2} = 0$，解得$x = \dfrac{5}{2}$
(3) 记三个方程分别为：
$\begin{cases}2a - b = 4 \quad ① \\ a - 2b + c = 4 \quad ② \\ a - b + 2c = 1 \quad ③\end{cases}$
将②$×2$，得$2a - 4b + 2c = 8$ ④
用④$-$③，整理得$a - 3b = 7$ ⑤
联立①和⑤得$\begin{cases}2a - b = 4 \\ a - 3b = 7\end{cases}$
将⑤$×2$，得$2a - 6b = 14$ ⑥
用①$-$⑥，得$5b = -10$，解得$b = -2$
将$b = -2$代入①，得$2a - (-2) = 4$，解得$a = 1$
将$a=1$、$b=-2$代入②，得$1 - 2×(-2) + c = 4$，解得$c = -1$
【答案】
(1)$x=5$
(2)$\begin{cases}x=\dfrac{5}{2}\\y=\dfrac{1}{2}\end{cases}$
(3)$\begin{cases}a=1\\b=-2\\c=-1\end{cases}$
【知识点】
一元一次方程解法，二元一次方程组解法，三元一次方程组解法
【点评】
本题考查一次方程及方程组的基础求解，解题过程中需注意去括号、移项时的符号变化，熟练运用消元思想降次求解是解题的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 该题为一元一次方程，按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤求解即可，注意去括号、移项时的符号变化。
(2) 该题为二元一次方程组，先将两个方程去括号、去分母化简为标准二元一次方程组形式，再用加减消元法消去同一个未知数，求出一个未知数的值后代回方程求另一个未知数即可。
(3) 该题为三元一次方程组，先通过加减消元法消去未知数c，得到只含a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值后，代入原含c的方程求出c的值即可。
【解析】
(1) 解$3(2x - 1) - 7 = 2x + 10$
去括号，得$6x - 3 - 7 = 2x + 10$
合并左边同类项，得$6x - 10 = 2x + 10$
移项，得$6x - 2x = 10 + 10$
合并同类项，得$4x = 20$
系数化为1，得$x = 5$
(2) 先化简方程组$\begin{cases}4(x + y) - 5(x - y) = 2 \\ \dfrac{x + y}{3} = \dfrac{x - y}{2}\end{cases}$
对第一个方程去括号、合并同类项：
$4x + 4y - 5x + 5y = 2$，整理得$-x + 9y = 2$ ①
对第二个方程两边同乘6去分母，得$2(x + y) = 3(x - y)$
去括号、合并同类项，得$-x + 5y = 0$ ②
用①$-$②，得$4y = 2$，解得$y = \dfrac{1}{2}$
将$y = \dfrac{1}{2}$代入②，得$-x + 5×\dfrac{1}{2} = 0$，解得$x = \dfrac{5}{2}$
(3) 记三个方程分别为：
$\begin{cases}2a - b = 4 \quad ① \\ a - 2b + c = 4 \quad ② \\ a - b + 2c = 1 \quad ③\end{cases}$
将②$×2$，得$2a - 4b + 2c = 8$ ④
用④$-$③，整理得$a - 3b = 7$ ⑤
联立①和⑤得$\begin{cases}2a - b = 4 \\ a - 3b = 7\end{cases}$
将⑤$×2$，得$2a - 6b = 14$ ⑥
用①$-$⑥，得$5b = -10$，解得$b = -2$
将$b = -2$代入①，得$2a - (-2) = 4$，解得$a = 1$
将$a=1$、$b=-2$代入②，得$1 - 2×(-2) + c = 4$，解得$c = -1$
【答案】
(1)$x=5$
(2)$\begin{cases}x=\dfrac{5}{2}\\y=\dfrac{1}{2}\end{cases}$
(3)$\begin{cases}a=1\\b=-2\\c=-1\end{cases}$
【知识点】
一元一次方程解法，二元一次方程组解法，三元一次方程组解法
【点评】
本题考查一次方程及方程组的基础求解，解题过程中需注意去括号、移项时的符号变化，熟练运用消元思想降次求解是解题的核心。
【难度系数】
0.7
13.[数学文化]古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题:一个数,它的三分之二,它的一半,它的七分之一,它的全部,加起来总共是33.若设这个数是$x$,则所列方程为 (
A.$\frac{2}{3}x + \frac{1}{7}x + x = 33$
B.$\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{7}x = 33$
C.$\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{7}x + x = 33$
D.$x + \frac{2}{3}x + \frac{1}{7}x - \frac{1}{2}x = 33$
C
)A.$\frac{2}{3}x + \frac{1}{7}x + x = 33$
B.$\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{7}x = 33$
C.$\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{7}x + x = 33$
D.$x + \frac{2}{3}x + \frac{1}{7}x - \frac{1}{2}x = 33$
答案
13.C
解析
【分析】
这是一道根据实际问题列一元一次方程的题目，解题思路如下：首先明确设这个数为x，再依次将题目描述的“它的三分之二、它的一半、它的七分之一、它的全部”转化为含x的代数式，最后根据“所有量加起来总共是33”的等量关系，把所有代数式相加等于33，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：设这个数为$x$。
根据题意：
这个数的三分之二可表示为$\frac{2}{3}x$，
这个数的一半可表示为$\frac{1}{2}x$，
这个数的七分之一可表示为$\frac{1}{7}x$，
这个数的全部可表示为$x$。
已知上述所有量相加的总和为33，因此可列方程：
$\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{7}x + x = 33$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 实际问题列一元一次方程
2. 代数式表示数量关系
【点评】
本题结合古埃及数学文化背景考查列方程的基础能力，解题核心是准确提取题目中的所有加项，不要遗漏“它的全部”对应的$x$项，找准等量关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
这是一道根据实际问题列一元一次方程的题目，解题思路如下：首先明确设这个数为x，再依次将题目描述的“它的三分之二、它的一半、它的七分之一、它的全部”转化为含x的代数式，最后根据“所有量加起来总共是33”的等量关系，把所有代数式相加等于33，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：设这个数为$x$。
根据题意：
这个数的三分之二可表示为$\frac{2}{3}x$，
这个数的一半可表示为$\frac{1}{2}x$，
这个数的七分之一可表示为$\frac{1}{7}x$，
这个数的全部可表示为$x$。
已知上述所有量相加的总和为33，因此可列方程：
$\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{7}x + x = 33$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 实际问题列一元一次方程
2. 代数式表示数量关系
【点评】
本题结合古埃及数学文化背景考查列方程的基础能力，解题核心是准确提取题目中的所有加项，不要遗漏“它的全部”对应的$x$项，找准等量关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
14.端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A，B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子.若现将200个粽子分别装入A，B两种食品盒中(两种食品盒均要使用并且装满)，则不同的分装方式有 （
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
C
）A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
答案
14.C
解析
【分析】
解题时首先提取题目中的等量关系：A种盒所装粽子总数+B种盒所装粽子总数=200个，且两种盒子都要使用、都装满，因此盒子数量均为正整数。我们可以设A、B两种食品盒的数量分别为x个、y个，列出二元一次方程，再求解该不定方程的正整数解，解的个数就是分装方式的种数。
【解析】
设使用A种食品盒x个，B种食品盒y个，根据题意可列方程：
$8x + 10y = 200$
方程两边同时除以2化简得：$4x + 5y = 100$
将方程变形为用含x的式子表示y：$y = 20 - \frac{4x}{5}$
因为x、y均为正整数（两种盒子均要使用，故$x≥1$，$y≥1$），所以$\frac{4x}{5}$必须是正整数，即x是5的正整数倍；
同时y＞0，因此$20 - \frac{4x}{5} ＞ 0$，解得$x ＜ 25$。
综上，x可取的值为5、10、15、20，对应y的值分别为16、12、8、4，均满足正整数要求，因此共有4种不同的分装方式。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的应用；不定方程的正整数解
【点评】
本题结合生活场景考查不定方程的实际应用，解题的关键是根据题意正确列出方程，同时注意题干中“两种食品盒均要使用”的限制条件，避免出现漏解或多算不符合要求的解的情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先提取题目中的等量关系：A种盒所装粽子总数+B种盒所装粽子总数=200个，且两种盒子都要使用、都装满，因此盒子数量均为正整数。我们可以设A、B两种食品盒的数量分别为x个、y个，列出二元一次方程，再求解该不定方程的正整数解，解的个数就是分装方式的种数。
【解析】
设使用A种食品盒x个，B种食品盒y个，根据题意可列方程：
$8x + 10y = 200$
方程两边同时除以2化简得：$4x + 5y = 100$
将方程变形为用含x的式子表示y：$y = 20 - \frac{4x}{5}$
因为x、y均为正整数（两种盒子均要使用，故$x≥1$，$y≥1$），所以$\frac{4x}{5}$必须是正整数，即x是5的正整数倍；
同时y＞0，因此$20 - \frac{4x}{5} ＞ 0$，解得$x ＜ 25$。
综上，x可取的值为5、10、15、20，对应y的值分别为16、12、8、4，均满足正整数要求，因此共有4种不同的分装方式。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的应用；不定方程的正整数解
【点评】
本题结合生活场景考查不定方程的实际应用，解题的关键是根据题意正确列出方程，同时注意题干中“两种食品盒均要使用”的限制条件，避免出现漏解或多算不符合要求的解的情况。
【难度系数】
0.7
15. 一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，过了10 min，小轿车追上了货车；又过了5 min，小轿车追上客车；再过t min，货车追上了客车，则$t=$
$15$
。答案
15.$15$
解析
【分析】
这是同向行驶的追及问题，解题核心是追及公式：路程差=速度差×追及时间。思考步骤：1. 先明确初始时刻的路程关系：货车在小轿车和客车中间，所以小轿车到货车的距离=货车到客车的距离，设为s，那么小轿车到客车的距离就是2s；2. 设出三辆车的速度，根据已知的两次追及（小轿车追货车、小轿车追客车）列等式，求出货车和客车的速度差；3. 再根据追及公式算出货车追上客车的总时间，最后减去已经过去的时间，就能得到t的值，解题过程中不需要算出s和各速度的具体值，消去辅助量即可。
【解析】
设某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为$ s $，小轿车、货车、客车的速度分别为$ v_1 $、$ v_2 $、$ v_3 $。
1. 根据“10 min小轿车追上货车”，由追及公式得：
$ 10(v_1 - v_2) = s $ ①，变形得 $ v_1 - v_2 = \frac{s}{10} $
2. 小轿车追上客车总共用时$ 10+5=15 \, \mathrm{min} $，初始路程差为$ 2s $，得：
$ 15(v_1 - v_3) = 2s $ ②，变形得 $ v_1 - v_3 = \frac{2s}{15} $
3. 用②的变形减去①的变形，消去$ v_1 $，得到货车与客车的速度差：
$ (v_1 - v_3) - (v_1 - v_2) = \frac{2s}{15} - \frac{s}{10} $
化简得：$ v_2 - v_3 = \frac{s}{30} $
4. 设货车从初始时刻追上客车总共需要$ x \, \mathrm{min} $，路程差为$ s $，得：
$ x(v_2 - v_3) = s $，把$ v_2 - v_3 = \frac{s}{30} $代入，得$ x · \frac{s}{30} = s $，约去$ s $得$ x=30 \, \mathrm{min} $
5. 已经过去的时间是$ 15 \, \mathrm{min} $，所以$ t = 30 - 15 = 15 \, \mathrm{min} $
【答案】
15
【知识点】
行程追及问题，代数式运算，方程思想
【点评】
本题考查追及问题的应用，解题关键是抓住追及过程中路程差、速度差、追及时间三者的等量关系，通过设辅助量建立等式，消去不需要的未知量即可求解，要注意最后所求t是货车追上客车还需要的时间，需减去已经流逝的时间，避免直接把总追及时间当成答案。
【难度系数】
0.4
这是同向行驶的追及问题，解题核心是追及公式：路程差=速度差×追及时间。思考步骤：1. 先明确初始时刻的路程关系：货车在小轿车和客车中间，所以小轿车到货车的距离=货车到客车的距离，设为s，那么小轿车到客车的距离就是2s；2. 设出三辆车的速度，根据已知的两次追及（小轿车追货车、小轿车追客车）列等式，求出货车和客车的速度差；3. 再根据追及公式算出货车追上客车的总时间，最后减去已经过去的时间，就能得到t的值，解题过程中不需要算出s和各速度的具体值，消去辅助量即可。
【解析】
设某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为$ s $，小轿车、货车、客车的速度分别为$ v_1 $、$ v_2 $、$ v_3 $。
1. 根据“10 min小轿车追上货车”，由追及公式得：
$ 10(v_1 - v_2) = s $ ①，变形得 $ v_1 - v_2 = \frac{s}{10} $
2. 小轿车追上客车总共用时$ 10+5=15 \, \mathrm{min} $，初始路程差为$ 2s $，得：
$ 15(v_1 - v_3) = 2s $ ②，变形得 $ v_1 - v_3 = \frac{2s}{15} $
3. 用②的变形减去①的变形，消去$ v_1 $，得到货车与客车的速度差：
$ (v_1 - v_3) - (v_1 - v_2) = \frac{2s}{15} - \frac{s}{10} $
化简得：$ v_2 - v_3 = \frac{s}{30} $
4. 设货车从初始时刻追上客车总共需要$ x \, \mathrm{min} $，路程差为$ s $，得：
$ x(v_2 - v_3) = s $，把$ v_2 - v_3 = \frac{s}{30} $代入，得$ x · \frac{s}{30} = s $，约去$ s $得$ x=30 \, \mathrm{min} $
5. 已经过去的时间是$ 15 \, \mathrm{min} $，所以$ t = 30 - 15 = 15 \, \mathrm{min} $
【答案】
15
【知识点】
行程追及问题，代数式运算，方程思想
【点评】
本题考查追及问题的应用，解题关键是抓住追及过程中路程差、速度差、追及时间三者的等量关系，通过设辅助量建立等式，消去不需要的未知量即可求解，要注意最后所求t是货车追上客车还需要的时间，需减去已经流逝的时间，避免直接把总追及时间当成答案。
【难度系数】
0.4
