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16.如图,在长为10 m,宽为8 m的长方形空地上,分割出三个形状、大小完全一样的小长方形花圃(阴影部分).求小长方形的长和宽.
答案
16.解:设小长方形的长为 x m,宽为 y m,依题意,得
$\begin{cases}2x+y=10,\\x+2y=8,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=4,\\y=2.\end{cases}$
答:小长方形的长为 4 m,宽为 2 m.
$\begin{cases}2x+y=10,\\x+2y=8,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=4,\\y=2.\end{cases}$
答:小长方形的长为 4 m,宽为 2 m.
解析
【分析】
解题时首先结合图形挖掘边长的等量关系：我们先设小长方形的长为$x$ m，宽为$y$ m，观察大长方形的长为10m，对应2个小长方形的长加1个小长方形的宽，可得第一个等量关系；再观察大长方形的宽为8m，对应1个小长方形的长加2个小长方形的宽，可得第二个等量关系，联立两个等量关系列出二元一次方程组，求解即可得到小长方形的长和宽。
【解析】
设小长方形的长为$ x $ m，宽为$ y $ m，依题意列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 10\\x + 2y = 8\end{cases}$
使用消元法求解：
将第一个方程两边同时乘2，得$ 4x + 2y = 20 $，用该式减去第二个方程，得$ 3x=12 $，解得$ x=4 $。
把$ x=4 $代入$ 2x + y = 10 $，得$ 2×4 + y=10 $，解得$ y=2 $。
答：小长方形的长为4 m，宽为2 m。
【答案】
小长方形的长为4 m，宽为2 m
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于几何图形结合方程的基础应用题，解题核心是通过观察图形的边长特征，找到隐藏的等量关系列出方程组，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合图形挖掘边长的等量关系：我们先设小长方形的长为$x$ m，宽为$y$ m，观察大长方形的长为10m，对应2个小长方形的长加1个小长方形的宽，可得第一个等量关系；再观察大长方形的宽为8m，对应1个小长方形的长加2个小长方形的宽，可得第二个等量关系，联立两个等量关系列出二元一次方程组，求解即可得到小长方形的长和宽。
【解析】
设小长方形的长为$ x $ m，宽为$ y $ m，依题意列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 10\\x + 2y = 8\end{cases}$
使用消元法求解：
将第一个方程两边同时乘2，得$ 4x + 2y = 20 $，用该式减去第二个方程，得$ 3x=12 $，解得$ x=4 $。
把$ x=4 $代入$ 2x + y = 10 $，得$ 2×4 + y=10 $，解得$ y=2 $。
答：小长方形的长为4 m，宽为2 m。
【答案】
小长方形的长为4 m，宽为2 m
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于几何图形结合方程的基础应用题，解题核心是通过观察图形的边长特征，找到隐藏的等量关系列出方程组，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
17.某商场用14 500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如下表所示：
(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？
(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？
答案
17.解:(1)设购进甲种矿泉水 x 箱,购进乙种矿泉水 y 箱. 依题意,得
$\begin{cases}x+y=500,\\25x+35y=14500,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=300,\\y=200.\end{cases}$
答:购进甲种矿泉水 300 箱,购进乙种矿泉水 200 箱.
(2)$(35-25)×300+(48-35)×200=5600$(元).所以该商场售完这 500 箱矿泉水,可获利 5 600 元.
$\begin{cases}x+y=500,\\25x+35y=14500,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=300,\\y=200.\end{cases}$
答:购进甲种矿泉水 300 箱,购进乙种矿泉水 200 箱.
(2)$(35-25)×300+(48-35)×200=5600$(元).所以该商场售完这 500 箱矿泉水,可获利 5 600 元.
解析
【分析】
(1) 求解购进甲、乙矿泉水的箱数，可通过设两个未知数，结合两个等量关系列方程组解答：等量关系①甲矿泉水箱数+乙矿泉水箱数=总箱数500箱；等量关系②甲的总成本+乙的总成本=总进货金额14500元，代入数据解方程组即可得到结果。
(2) 计算总获利时，先分别求出每箱甲、乙矿泉水的利润（销售价-成本价），再用单箱利润乘对应销售箱数，两类利润相加就是总获利。
【解析】
(1) 设购进甲种矿泉水$x$箱，购进乙种矿泉水$y$箱。
依题意，列方程组得：
$\begin{cases}x+y=500\\25x+35y=14500\end{cases}$
由$x+y=500$得$x=500-y$，将其代入$25x+35y=14500$，可得：
$25(500-y)+35y=14500$
$12500+10y=14500$
解得$y=200$，则$x=500-200=300$。
即方程组的解为$\begin{cases}x=300\\y=200\end{cases}$。
(2) 单箱甲矿泉水利润为$35-25=10$元，单箱乙矿泉水利润为$48-35=13$元，总获利为：
$10×300+13×200=3000+2600=5600$（元）
【答案】
(1) 购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱；
(2) 该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，销售利润计算
【点评】
本题是典型的实际应用类基础题，解题关键是准确提取题干中的等量关系建立方程，计算逻辑简单，注意计算过程仔细即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
(1) 求解购进甲、乙矿泉水的箱数，可通过设两个未知数，结合两个等量关系列方程组解答：等量关系①甲矿泉水箱数+乙矿泉水箱数=总箱数500箱；等量关系②甲的总成本+乙的总成本=总进货金额14500元，代入数据解方程组即可得到结果。
(2) 计算总获利时，先分别求出每箱甲、乙矿泉水的利润（销售价-成本价），再用单箱利润乘对应销售箱数，两类利润相加就是总获利。
【解析】
(1) 设购进甲种矿泉水$x$箱，购进乙种矿泉水$y$箱。
依题意，列方程组得：
$\begin{cases}x+y=500\\25x+35y=14500\end{cases}$
由$x+y=500$得$x=500-y$，将其代入$25x+35y=14500$，可得：
$25(500-y)+35y=14500$
$12500+10y=14500$
解得$y=200$，则$x=500-200=300$。
即方程组的解为$\begin{cases}x=300\\y=200\end{cases}$。
(2) 单箱甲矿泉水利润为$35-25=10$元，单箱乙矿泉水利润为$48-35=13$元，总获利为：
$10×300+13×200=3000+2600=5600$（元）
【答案】
(1) 购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱；
(2) 该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，销售利润计算
【点评】
本题是典型的实际应用类基础题，解题关键是准确提取题干中的等量关系建立方程，计算逻辑简单，注意计算过程仔细即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
18.一家商店进行装修,若请甲、乙两个装修队同时施工,8天可以完成,需付两队费用3 520元;若先请甲队单独做6天,再请乙队单独做16天可以完成,需付费用4 040元.
(1)甲、乙两队工作一天,商店各应付多少钱?
(2)若装修完,商店每天可盈利200元,则如何安排施工更有利于商店?请说明理由.
(1)甲、乙两队工作一天,商店各应付多少钱?
(2)若装修完,商店每天可盈利200元,则如何安排施工更有利于商店?请说明理由.
答案
18.解:(1)设甲队工作一天商店应付 x 元,乙队工作一天商店应付 y 元,由题意,得
$\begin{cases}8x+8y=3520,\\6x+16y=4040,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=300,\\y=140.\end{cases}$
答:甲、乙两队工作一天,商店各应付 300 元和 140 元.
(2)请甲单独装修更有利于商店.理由:设甲的工作效率为 x,乙的工作效率为 y,则
$\begin{cases}8x+8y=1,\\6x+16y=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\dfrac{1}{10},\\y=\dfrac{1}{40},\end{cases}$
即甲单独做需要 10 天完成,乙单独做需要 40 天完成.甲单独做,需费用 3 000 元,少盈利$200×10=2000$(元),相当于损失 5 000 元;乙单独做,需费用 5 600 元,少盈利$200×40=8000$(元),相当于损失 13 600 元;甲、乙合作,需费用 3 520 元,少盈利$200×8=1600$(元),相当于损失 5 120 元;因为$13600＞5120＞5000$,所以安排甲单独做损失费用最少.
$\begin{cases}8x+8y=3520,\\6x+16y=4040,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=300,\\y=140.\end{cases}$
答:甲、乙两队工作一天,商店各应付 300 元和 140 元.
(2)请甲单独装修更有利于商店.理由:设甲的工作效率为 x,乙的工作效率为 y,则
$\begin{cases}8x+8y=1,\\6x+16y=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\dfrac{1}{10},\\y=\dfrac{1}{40},\end{cases}$
即甲单独做需要 10 天完成,乙单独做需要 40 天完成.甲单独做,需费用 3 000 元,少盈利$200×10=2000$(元),相当于损失 5 000 元;乙单独做,需费用 5 600 元,少盈利$200×40=8000$(元),相当于损失 13 600 元;甲、乙合作,需费用 3 520 元,少盈利$200×8=1600$(元),相当于损失 5 120 元;因为$13600＞5120＞5000$,所以安排甲单独做损失费用最少.
解析
【分析】
(1) 求甲、乙两队单日费用，可设两个未知数，根据“两队同时施工8天总费用3520元”“甲单独做6天加乙单独做16天总费用4040元”两个等量关系列二元一次方程组，求解即可得到结果。
(2) 要判断最优施工方案，首先需要求出甲、乙的工作效率，得到甲单独做、乙单独做、两队合作三种方案的施工时长；由于装修期间商店无法盈利，因此每种方案的总损失为装修总费用加上施工期间少盈利的金额，比较三种方案的总损失，损失最小的方案即为最有利于商店的方案。
【解析】
(1) 设甲队工作一天商店应付x元，乙队工作一天商店应付y元，由题意得：
$\begin{cases}8x+8y=3520\\6x+16y=4040\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases}x=300\\y=140\end{cases}$
(2) 安排甲队单独装修更有利于商店，理由如下：
设甲的工作效率为x，乙的工作效率为y，将总工程量看作单位1，由题意得：
$\begin{cases}8x+8y=1\\6x+16y=1\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases}x=\dfrac{1}{10}\\y=\dfrac{1}{40}\end{cases}$
即甲单独完成装修需要10天，乙单独完成装修需要40天，两队合作需要8天。
分别计算三种方案的总损失：
① 甲单独做：装修费用为$300×10=3000$元，少盈利$200×10=2000$元，总损失$3000+2000=5000$元；
② 乙单独做：装修费用为$140×40=5600$元，少盈利$200×40=8000$元，总损失$5600+8000=13600$元；
③ 甲乙合作：装修费用为3520元，少盈利$200×8=1600$元，总损失$3520+1600=5120$元。
因为$13600＞5120＞5000$，所以甲单独做总损失最少。
【答案】
(1) 甲队工作一天商店应付300元，乙队工作一天商店应付140元；
(2) 安排甲队单独装修更有利于商店。
【知识点】
二元一次方程组应用，工程问题，方案优选
【点评】
本题结合实际经营场景考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题目中的等量关系，同时注意不要遗漏施工期间的盈利损失这一隐含成本，通过分类计算对比各方案的总成本即可得到最优解。
【难度系数】
0.7
(1) 求甲、乙两队单日费用，可设两个未知数，根据“两队同时施工8天总费用3520元”“甲单独做6天加乙单独做16天总费用4040元”两个等量关系列二元一次方程组，求解即可得到结果。
(2) 要判断最优施工方案，首先需要求出甲、乙的工作效率，得到甲单独做、乙单独做、两队合作三种方案的施工时长；由于装修期间商店无法盈利，因此每种方案的总损失为装修总费用加上施工期间少盈利的金额，比较三种方案的总损失，损失最小的方案即为最有利于商店的方案。
【解析】
(1) 设甲队工作一天商店应付x元，乙队工作一天商店应付y元，由题意得：
$\begin{cases}8x+8y=3520\\6x+16y=4040\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases}x=300\\y=140\end{cases}$
(2) 安排甲队单独装修更有利于商店，理由如下：
设甲的工作效率为x，乙的工作效率为y，将总工程量看作单位1，由题意得：
$\begin{cases}8x+8y=1\\6x+16y=1\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases}x=\dfrac{1}{10}\\y=\dfrac{1}{40}\end{cases}$
即甲单独完成装修需要10天，乙单独完成装修需要40天，两队合作需要8天。
分别计算三种方案的总损失：
① 甲单独做：装修费用为$300×10=3000$元，少盈利$200×10=2000$元，总损失$3000+2000=5000$元；
② 乙单独做：装修费用为$140×40=5600$元，少盈利$200×40=8000$元，总损失$5600+8000=13600$元；
③ 甲乙合作：装修费用为3520元，少盈利$200×8=1600$元，总损失$3520+1600=5120$元。
因为$13600＞5120＞5000$，所以甲单独做总损失最少。
【答案】
(1) 甲队工作一天商店应付300元，乙队工作一天商店应付140元；
(2) 安排甲队单独装修更有利于商店。
【知识点】
二元一次方程组应用，工程问题，方案优选
【点评】
本题结合实际经营场景考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题目中的等量关系，同时注意不要遗漏施工期间的盈利损失这一隐含成本，通过分类计算对比各方案的总成本即可得到最优解。
【难度系数】
0.7
19.某铁件加工厂用如图
的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器(加工时接缝材料忽略不计).
(1)现有长方形铁片2 014张,正方形铁片1 176张,如果将两种铁片刚好全部用完,则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个?
(2)把长方体铁容器加盖可以加工成铁盒.现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片,用来加工铁盒,已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片,也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片.问:该工厂充分利用这35张铁板,最多可以加工成多少个铁盒?
的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器(加工时接缝材料忽略不计).(1)现有长方形铁片2 014张,正方形铁片1 176张,如果将两种铁片刚好全部用完,则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个?
(2)把长方体铁容器加盖可以加工成铁盒.现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片,用来加工铁盒,已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片,也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片.问:该工厂充分利用这35张铁板,最多可以加工成多少个铁盒?
答案
19.解:(1)设可以加工竖式长方体铁容器 x 个,横式长方体铁容器 y 个.依题意,得
$\begin{cases}4x+3y=2014,\\x+2y=1176,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=100,\\y=538.\end{cases}$
答:可以加工竖式长方体铁容器 100 个,横式长方体铁容器 538 个.
(2)设将 m 块铁板单独裁成长方形铁片,n 块铁板单独裁成正方形铁片,则用$(35-m-n)$块铁板同时裁成长方形铁片和正方形铁片.依题意,得
$\dfrac{3m+(35-m-n)}{4}=\dfrac{4n+2(35-m-n)}{2}$,
解得$n=\dfrac{6}{5}m-21$.
因为 m,n,$(35-m-n)$均为非负整数,所以$\begin{cases}m=25,\\n=9\end{cases}$或$\begin{cases}m=20,\\n=3.\end{cases}$
当$m=25,n=9$时,$\dfrac{3m+(35-m-n)}{4}=\dfrac{3×25+(35-25-9)}{4}=19$;
当$m=20,n=3$时,$\dfrac{3m+(35-m-n)}{4}=\dfrac{3×20+(35-20-3)}{4}=18$.
因为$19＞18$,所以最多可以加工成 19 个铁盒.
$\begin{cases}4x+3y=2014,\\x+2y=1176,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=100,\\y=538.\end{cases}$
答:可以加工竖式长方体铁容器 100 个,横式长方体铁容器 538 个.
(2)设将 m 块铁板单独裁成长方形铁片,n 块铁板单独裁成正方形铁片,则用$(35-m-n)$块铁板同时裁成长方形铁片和正方形铁片.依题意,得
$\dfrac{3m+(35-m-n)}{4}=\dfrac{4n+2(35-m-n)}{2}$,
解得$n=\dfrac{6}{5}m-21$.
因为 m,n,$(35-m-n)$均为非负整数,所以$\begin{cases}m=25,\\n=9\end{cases}$或$\begin{cases}m=20,\\n=3.\end{cases}$
当$m=25,n=9$时,$\dfrac{3m+(35-m-n)}{4}=\dfrac{3×25+(35-25-9)}{4}=19$;
当$m=20,n=3$时,$\dfrac{3m+(35-m-n)}{4}=\dfrac{3×20+(35-20-3)}{4}=18$.
因为$19＞18$,所以最多可以加工成 19 个铁盒.
解析
【分析】
(1) 首先明确两种无盖容器的耗材：每个竖式容器需要1张正方形铁片、4张长方形铁片；每个横式容器需要2张正方形铁片、3张长方形铁片。设加工竖式容器x个，横式容器y个，根据“长方形铁片总数量为2014张、正方形铁片总数量为1176张”两个等量关系列二元一次方程组，求解即可得到两种容器的数量。
(2) 首先明确1个加盖铁盒需要4张长方形铁片、2张正方形铁片，因此加工铁盒的总数=总长方形铁片数÷4=总正方形铁片数÷2。设m块铁板单独裁长方形，n块铁板单独裁正方形，剩余(35-m-n)块铁板同时裁两种铁片，先写出总长方形、总正方形铁片的表达式，根据铁盒总数的等量关系列方程，结合m、n均为非负整数找出所有可行方案，计算各方案对应的铁盒数，取最大值即可。
【解析】
(1) 设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，依题意列方程组：
$\begin{cases}4x+3y=2014\\x+2y=1176\end{cases}$
由第二个方程得$x=1176-2y$，代入第一个方程：
$4(1176-2y)+3y=2014$
$4704-5y=2014$
解得$y=538$，代入$x=1176-2y$得$x=100$。
(2) 设用m块铁板单独裁成长方形铁片，n块铁板单独裁成正方形铁片，则用$(35-m-n)$块铁板同时裁成长方形和正方形铁片，依题意得：
$\dfrac{3m+(35-m-n)}{4}=\dfrac{4n+2(35-m-n)}{2}$
化简整理得$n=\dfrac{6}{5}m-21$。
因为m、n、$(35-m-n)$均为非负整数，所以符合条件的解为$\begin{cases}m=25\\n=9\end{cases}$或$\begin{cases}m=20\\n=3\end{cases}$。
当$m=25,n=9$时，铁盒数量为$\dfrac{3×25+(35-25-9)}{4}=19$；
当$m=20,n=3$时，铁盒数量为$\dfrac{3×20+(35-20-3)}{4}=18$。
因为$19＞18$，所以最多可以加工成19个铁盒。
【答案】
(1) 可加工竖式长方体铁容器100个，横式长方体铁容器538个；
(2) 最多可以加工成19个铁盒。
【知识点】
二元一次方程组应用、方程整数解、最优方案选择
【点评】
本题以实际加工场景为载体，考查学生提取等量关系、构建方程模型解决实际问题的能力，第二问需要结合整数的性质筛选可行方案，再通过比较得到最优结果，能有效考查学生的逻辑思维和综合应用能力。
【难度系数】
0.4
(1) 首先明确两种无盖容器的耗材：每个竖式容器需要1张正方形铁片、4张长方形铁片；每个横式容器需要2张正方形铁片、3张长方形铁片。设加工竖式容器x个，横式容器y个，根据“长方形铁片总数量为2014张、正方形铁片总数量为1176张”两个等量关系列二元一次方程组，求解即可得到两种容器的数量。
(2) 首先明确1个加盖铁盒需要4张长方形铁片、2张正方形铁片，因此加工铁盒的总数=总长方形铁片数÷4=总正方形铁片数÷2。设m块铁板单独裁长方形，n块铁板单独裁正方形，剩余(35-m-n)块铁板同时裁两种铁片，先写出总长方形、总正方形铁片的表达式，根据铁盒总数的等量关系列方程，结合m、n均为非负整数找出所有可行方案，计算各方案对应的铁盒数，取最大值即可。
【解析】
(1) 设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，依题意列方程组：
$\begin{cases}4x+3y=2014\\x+2y=1176\end{cases}$
由第二个方程得$x=1176-2y$，代入第一个方程：
$4(1176-2y)+3y=2014$
$4704-5y=2014$
解得$y=538$，代入$x=1176-2y$得$x=100$。
(2) 设用m块铁板单独裁成长方形铁片，n块铁板单独裁成正方形铁片，则用$(35-m-n)$块铁板同时裁成长方形和正方形铁片，依题意得：
$\dfrac{3m+(35-m-n)}{4}=\dfrac{4n+2(35-m-n)}{2}$
化简整理得$n=\dfrac{6}{5}m-21$。
因为m、n、$(35-m-n)$均为非负整数，所以符合条件的解为$\begin{cases}m=25\\n=9\end{cases}$或$\begin{cases}m=20\\n=3\end{cases}$。
当$m=25,n=9$时，铁盒数量为$\dfrac{3×25+(35-25-9)}{4}=19$；
当$m=20,n=3$时，铁盒数量为$\dfrac{3×20+(35-20-3)}{4}=18$。
因为$19＞18$，所以最多可以加工成19个铁盒。
【答案】
(1) 可加工竖式长方体铁容器100个，横式长方体铁容器538个；
(2) 最多可以加工成19个铁盒。
【知识点】
二元一次方程组应用、方程整数解、最优方案选择
【点评】
本题以实际加工场景为载体，考查学生提取等量关系、构建方程模型解决实际问题的能力，第二问需要结合整数的性质筛选可行方案，再通过比较得到最优结果，能有效考查学生的逻辑思维和综合应用能力。
【难度系数】
0.4
