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1. 下列去括号或添括号的变形中，正确的是 （
A.$2a - (5b - c) = 2a - 5b - c$
B.$3a + 5(2b - 1) = 3a + 10b - 1$
C.$4a + 3b - 2c = 4a + (3b - 2c)$
D.$m - n + a - 2b = m - (n + a - 2b)$
C
）A.$2a - (5b - c) = 2a - 5b - c$
B.$3a + 5(2b - 1) = 3a + 10b - 1$
C.$4a + 3b - 2c = 4a + (3b - 2c)$
D.$m - n + a - 2b = m - (n + a - 2b)$
答案
1.C
解析
【分析】
解题需先掌握去括号和添括号的法则：去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去掉括号后括号内各项符号都要改变，若括号前有系数，需用系数乘括号内每一项。添括号时，括号前加正号，括到括号内的各项符号不变；括号前加负号，括到括号内的各项符号都要改变。接下来逐一验证四个选项是否符合法则，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：$2a - (5b - c)$，括号前是负号，去括号后应为$2a - 5b + c$，与选项中$2a - 5b - c$不符，故A错误；
B选项：$3a + 5(2b - 1)$，用分配律将5乘括号内每一项，计算得$3a + 10b - 5$，与选项中$3a + 10b - 1$不符，故B错误；
C选项：$4a + 3b - 2c$添括号，括号前为正号，括入的$3b$、$-2c$符号不变，即$4a + (3b - 2c)$，与选项一致，故C正确；
D选项：$m - n + a - 2b$添括号，括号前为负号，括入的各项都要变号，应为$m - (n - a + 2b)$，与选项中$m - (n + a - 2b)$不符，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
去括号法则；添括号法则
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查去括号、添括号时的符号变化规则，做题时要注意两点：一是括号前为负号时，括号内所有项都要变号，不要漏项；二是去括号时如果括号前有数字系数，要乘遍括号内的每一项，避免漏乘。
【难度系数】
0.8
解题需先掌握去括号和添括号的法则：去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去掉括号后括号内各项符号都要改变，若括号前有系数，需用系数乘括号内每一项。添括号时，括号前加正号，括到括号内的各项符号不变；括号前加负号，括到括号内的各项符号都要改变。接下来逐一验证四个选项是否符合法则，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：$2a - (5b - c)$，括号前是负号，去括号后应为$2a - 5b + c$，与选项中$2a - 5b - c$不符，故A错误；
B选项：$3a + 5(2b - 1)$，用分配律将5乘括号内每一项，计算得$3a + 10b - 5$，与选项中$3a + 10b - 1$不符，故B错误；
C选项：$4a + 3b - 2c$添括号，括号前为正号，括入的$3b$、$-2c$符号不变，即$4a + (3b - 2c)$，与选项一致，故C正确；
D选项：$m - n + a - 2b$添括号，括号前为负号，括入的各项都要变号，应为$m - (n - a + 2b)$，与选项中$m - (n + a - 2b)$不符，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
去括号法则；添括号法则
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查去括号、添括号时的符号变化规则，做题时要注意两点：一是括号前为负号时，括号内所有项都要变号，不要漏项；二是去括号时如果括号前有数字系数，要乘遍括号内的每一项，避免漏乘。
【难度系数】
0.8
2.运用乘法公式计算$(x+2y-1)(x-2y+1)$，下列变形正确的是（
A.$[x-(2y+1)]^2$
B.$[x+(2y-1)][x-(2y-1)]$
C.$[(x+2y)+1][(x-2y)-1]$
D.$[x+(2y+1)]^2$
B
）A.$[x-(2y+1)]^2$
B.$[x+(2y-1)][x-(2y-1)]$
C.$[(x+2y)+1][(x-2y)-1]$
D.$[x+(2y+1)]^2$
答案
2.B
解析
【分析】
解题前先回忆平方差公式的结构特征：两个因式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，符合该特征即可用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算。本题需要将原式变形为符合乘法公式的形式，第一步先找两个因式中的相同项，观察可知相同项为$x$；第二步整理剩余的部分，将互为相反数的部分看作整体，通过添括号变形即可对应平方差公式的结构，再逐一匹配选项即可得到正确答案。
【解析】
我们先观察原式$(x+2y-1)(x-2y+1)$的结构：
1. 提取两个因式的相同项：两个因式中均含有$x$，把$x$作为公共项单独拆分；
2. 处理剩余部分：第一个因式剩余$+2y-1$，第二个因式剩余$-2y+1$，可变形为$-(2y-1)$，与$2y-1$互为相反数；
3. 整体改写原式：将上述两部分代入，可得原式$=[x+(2y-1)][x-(2y-1)]$，对应选项B。
其余选项验证：
A选项变形后为$(x-2y-1)^2$，与原式结构不符，错误；
C选项拆分后没有统一的相同项和相反项，不符合乘法公式结构，错误；
D选项变形后为$(x+2y+1)^2$，与原式结构不符，错误。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；添括号法则
【点评】
本题考查乘法公式的变形应用，核心是准确识别平方差公式中“相同项”和“相反项”的特征，通过合理添括号将原式转化为标准乘法公式的形式即可快速解题，是整式乘法部分的基础典型题。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆平方差公式的结构特征：两个因式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，符合该特征即可用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算。本题需要将原式变形为符合乘法公式的形式，第一步先找两个因式中的相同项，观察可知相同项为$x$；第二步整理剩余的部分，将互为相反数的部分看作整体，通过添括号变形即可对应平方差公式的结构，再逐一匹配选项即可得到正确答案。
【解析】
我们先观察原式$(x+2y-1)(x-2y+1)$的结构：
1. 提取两个因式的相同项：两个因式中均含有$x$，把$x$作为公共项单独拆分；
2. 处理剩余部分：第一个因式剩余$+2y-1$，第二个因式剩余$-2y+1$，可变形为$-(2y-1)$，与$2y-1$互为相反数；
3. 整体改写原式：将上述两部分代入，可得原式$=[x+(2y-1)][x-(2y-1)]$，对应选项B。
其余选项验证：
A选项变形后为$(x-2y-1)^2$，与原式结构不符，错误；
C选项拆分后没有统一的相同项和相反项，不符合乘法公式结构，错误；
D选项变形后为$(x+2y+1)^2$，与原式结构不符，错误。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；添括号法则
【点评】
本题考查乘法公式的变形应用，核心是准确识别平方差公式中“相同项”和“相反项”的特征，通过合理添括号将原式转化为标准乘法公式的形式即可快速解题，是整式乘法部分的基础典型题。
【难度系数】
0.8
3. 下列添括号错误的是 （
A.$a^2 - b^2 - b + a = a^2 - b^2 + (a - b)$
B.$(a + b + c)(a - b - c) = [a + (b + c)][a - (b + c)]$
C.$a - b + c - d = (a - d) + (c - b)$
D.$a - b = -(b + a)$
D
）A.$a^2 - b^2 - b + a = a^2 - b^2 + (a - b)$
B.$(a + b + c)(a - b - c) = [a + (b + c)][a - (b + c)]$
C.$a - b + c - d = (a - d) + (c - b)$
D.$a - b = -(b + a)$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查添括号法则的应用，解题思路为：首先明确添括号的符号变化规则（括号前为正号时，括号内各项符号不变；括号前为负号时，括号内各项符号均改变），再逐一验证每个选项的变形是否符合法则，最终选出错误的选项。
【解析】
根据添括号法则：添括号时，若括号前是“+”，括到括号里的各项都不改变符号；若括号前是“-”，括到括号里的各项都要改变符号，我们逐一分析选项：
A选项：对$a^2 - b^2 - b + a$，将$a-b$放到带正号的括号里，得$a^2 - b^2 + (a - b)$，变形正确，不符合题意；
B选项：对$(a + b + c)(a - b - c)$，将$b+c$分别放到带正号、负号的括号里，得$[a + (b + c)][a - (b + c)]$，变形正确，不符合题意；
C选项：对$a - b + c - d$，分组后放到两个带正号的括号里，得$(a - d) + (c - b)$，变形正确，不符合题意；
D选项：$-(b + a)$去括号后为$-b -a$，与左边$a - b$不相等，正确变形应为$a - b = -(b - a)$，本选项变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
添括号法则、去括号法则
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查添括号时的符号变化规律，做题时需注意括号前为负号时，括号内的每一项都要改变符号，避免漏改符号的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查添括号法则的应用，解题思路为：首先明确添括号的符号变化规则（括号前为正号时，括号内各项符号不变；括号前为负号时，括号内各项符号均改变），再逐一验证每个选项的变形是否符合法则，最终选出错误的选项。
【解析】
根据添括号法则：添括号时，若括号前是“+”，括到括号里的各项都不改变符号；若括号前是“-”，括到括号里的各项都要改变符号，我们逐一分析选项：
A选项：对$a^2 - b^2 - b + a$，将$a-b$放到带正号的括号里，得$a^2 - b^2 + (a - b)$，变形正确，不符合题意；
B选项：对$(a + b + c)(a - b - c)$，将$b+c$分别放到带正号、负号的括号里，得$[a + (b + c)][a - (b + c)]$，变形正确，不符合题意；
C选项：对$a - b + c - d$，分组后放到两个带正号的括号里，得$(a - d) + (c - b)$，变形正确，不符合题意；
D选项：$-(b + a)$去括号后为$-b -a$，与左边$a - b$不相等，正确变形应为$a - b = -(b - a)$，本选项变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
添括号法则、去括号法则
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查添括号时的符号变化规律，做题时需注意括号前为负号时，括号内的每一项都要改变符号，避免漏改符号的错误。
【难度系数】
0.8
4. 下列各式中,与$(a-b+c)^2$的值不相等的是 （
A.$[a-(b+c)]^2$
B.$[a-(b-c)]^2$
C.$[(a-b)+c]^2$
D.$[(a+c)-b]^2$
A
）A.$[a-(b+c)]^2$
B.$[a-(b-c)]^2$
C.$[(a-b)+c]^2$
D.$[(a+c)-b]^2$
答案
4.A
解析
【分析】
要判断哪个选项的式子与$(a-b+c)^2$的值不相等，我们可以利用去括号法则，先把每个选项中中括号里的代数式化简，再和原式括号内的$a-b+c$对比：若化简后的结果与$a-b+c$相等，或者互为相反数，那么它们的平方就相等；若既不相等也不互为相反数，平方就不相等，据此逐一判断即可。
【解析】
原式括号内的代数式为：$a - b + c$，逐个分析选项：
A. $[a-(b+c)]^2$，去中括号内的小括号得：$a-(b+c)=a - b - c$，与$a - b + c$既不相等也不互为相反数，因此平方后结果与原式不相等；
B. $[a-(b-c)]^2$，去小括号得：$a - (b - c)=a - b + c$，和原式底数完全相同，平方后结果与原式相等，不符合题意；
C. $[(a-b)+c]^2$，去小括号得：$a - b + c$，和原式底数完全相同，平方后结果与原式相等，不符合题意；
D. $[(a+c)-b]^2$，去小括号得：$a + c - b = a - b + c$，和原式底数完全相同，平方后结果与原式相等，不符合题意。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
去括号法则、添括号法则、平方的性质
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查去括号、添括号时的符号变化规则，尤其要注意括号前为负号时，括号内的每一项都要改变符号，熟练掌握该规则就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项的式子与$(a-b+c)^2$的值不相等，我们可以利用去括号法则，先把每个选项中中括号里的代数式化简，再和原式括号内的$a-b+c$对比：若化简后的结果与$a-b+c$相等，或者互为相反数，那么它们的平方就相等；若既不相等也不互为相反数，平方就不相等，据此逐一判断即可。
【解析】
原式括号内的代数式为：$a - b + c$，逐个分析选项：
A. $[a-(b+c)]^2$，去中括号内的小括号得：$a-(b+c)=a - b - c$，与$a - b + c$既不相等也不互为相反数，因此平方后结果与原式不相等；
B. $[a-(b-c)]^2$，去小括号得：$a - (b - c)=a - b + c$，和原式底数完全相同，平方后结果与原式相等，不符合题意；
C. $[(a-b)+c]^2$，去小括号得：$a - b + c$，和原式底数完全相同，平方后结果与原式相等，不符合题意；
D. $[(a+c)-b]^2$，去小括号得：$a + c - b = a - b + c$，和原式底数完全相同，平方后结果与原式相等，不符合题意。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
去括号法则、添括号法则、平方的性质
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查去括号、添括号时的符号变化规则，尤其要注意括号前为负号时，括号内的每一项都要改变符号，熟练掌握该规则就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
5. 在括号内填上恰当的项: $1 - x^2 + 2xy - y^2 = 1 - ($
$x^2-2xy+y^2$
$)$答案
5.$x^2-2xy+y^2$
解析
【分析】
解题时首先回忆添括号的法则：当括号前是“-”号时，括到括号里的各项都要改变符号。本题要把1后面的多项式部分放到前面带“-”的括号中，只需将这部分的每一项都变号即可，最后还可以通过去括号逆推的方式验证结果是否正确。
【解析】
根据添括号法则：括号前是负号，括号内各项需改变符号。
观察原式$1 - x^2 + 2xy - y^2$，我们需要将$-x^2+2xy-y^2$整体放在前面为“-”的括号内，对每一项变号：
$-x^2$变为$x^2$，$+2xy$变为$-2xy$，$-y^2$变为$+y^2$，
因此括号内的项为$x^2-2xy+y^2$。
验证：$1-(x^2-2xy+y^2)=1-x^2+2xy-y^2$，与原式左边相等，结果正确。
【答案】
$x^2-2xy+y^2$
【知识点】
添括号法则；去括号法则
【点评】
本题考查添括号法则的基础应用，解题关键是明确括号前的符号对括号内各项符号的影响，也可通过去括号逆推的方式验证答案，避免符号出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆添括号的法则：当括号前是“-”号时，括到括号里的各项都要改变符号。本题要把1后面的多项式部分放到前面带“-”的括号中，只需将这部分的每一项都变号即可，最后还可以通过去括号逆推的方式验证结果是否正确。
【解析】
根据添括号法则：括号前是负号，括号内各项需改变符号。
观察原式$1 - x^2 + 2xy - y^2$，我们需要将$-x^2+2xy-y^2$整体放在前面为“-”的括号内，对每一项变号：
$-x^2$变为$x^2$，$+2xy$变为$-2xy$，$-y^2$变为$+y^2$，
因此括号内的项为$x^2-2xy+y^2$。
验证：$1-(x^2-2xy+y^2)=1-x^2+2xy-y^2$，与原式左边相等，结果正确。
【答案】
$x^2-2xy+y^2$
【知识点】
添括号法则；去括号法则
【点评】
本题考查添括号法则的基础应用，解题关键是明确括号前的符号对括号内各项符号的影响，也可通过去括号逆推的方式验证答案，避免符号出错。
【难度系数】
0.9
6.如果用平方差公式计算$(x+2y+1)(x-2y+1)$，则可将原式变形为
$[(x+1)+2y]$
$[(x+1)-2y]$
.答案
6.$[(x+1)+2y][(x+1)-2y]$
解析
【分析】
要使用平方差公式变形，首先要明确平方差公式的结构特征：形如$(a+b)(a-b)$的式子可以用平方差公式计算，核心是两个相乘的因式中，有一项完全相同（即公式中的$a$），另一项互为相反数（即公式中的$b$和$-b$）。解题思路为：先找到原式两个括号里的相同项和相反项，再把相同项看作一个整体，用添括号的方式整理成平方差公式的标准形式。观察两个因式$(x+2y+1)$和$(x-2y+1)$，相同项是$x$和$+1$，相反项是$+2y$和$-2y$，把相同项$x+1$作为整体，即可变形为符合平方差公式的形式。
【解析】
解：平方差公式的标准形式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，其中$a$是两个因式的相同项，$b$与$-b$是两个因式的相反项。
1. 识别相同项：两个因式中都含有$x$和$+1$，即相同项为$x+1$；
2. 识别相反项：第一个因式中的$+2y$和第二个因式中的$-2y$互为相反项；
3. 利用添括号法则，将相同项$x+1$看作整体括起来，可得：
$(x+2y+1)(x-2y+1)=[(x+1)+2y][(x+1)-2y]$
【答案】
$[(x+1)+2y][(x+1)-2y]$
【知识点】
平方差公式；添括号法则；整体思想
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，解题关键是准确识别两个因式中的相同项和相反项，将相同项视为整体进行变形，是整式乘法中平方差公式应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
要使用平方差公式变形，首先要明确平方差公式的结构特征：形如$(a+b)(a-b)$的式子可以用平方差公式计算，核心是两个相乘的因式中，有一项完全相同（即公式中的$a$），另一项互为相反数（即公式中的$b$和$-b$）。解题思路为：先找到原式两个括号里的相同项和相反项，再把相同项看作一个整体，用添括号的方式整理成平方差公式的标准形式。观察两个因式$(x+2y+1)$和$(x-2y+1)$，相同项是$x$和$+1$，相反项是$+2y$和$-2y$，把相同项$x+1$作为整体，即可变形为符合平方差公式的形式。
【解析】
解：平方差公式的标准形式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，其中$a$是两个因式的相同项，$b$与$-b$是两个因式的相反项。
1. 识别相同项：两个因式中都含有$x$和$+1$，即相同项为$x+1$；
2. 识别相反项：第一个因式中的$+2y$和第二个因式中的$-2y$互为相反项；
3. 利用添括号法则，将相同项$x+1$看作整体括起来，可得：
$(x+2y+1)(x-2y+1)=[(x+1)+2y][(x+1)-2y]$
【答案】
$[(x+1)+2y][(x+1)-2y]$
【知识点】
平方差公式；添括号法则；整体思想
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，解题关键是准确识别两个因式中的相同项和相反项，将相同项视为整体进行变形，是整式乘法中平方差公式应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
7.在下列()里填上适当的项,使其符合$(a+b)(a-b)$的形式.
(1)$(a+b-c)(a-b+c)=[a+( )][a-( )]$；
(2)$(2a-b-c)(-2a-b+c)=[( )+( )]·[( )-( )]$.
(1)$(a+b-c)(a-b+c)=[a+( )][a-( )]$；
(2)$(2a-b-c)(-2a-b+c)=[( )+( )]·[( )-( )]$.
答案
7.(1)$b-c,b-c$ (2)$-b,2a-c,-b,2a-c$
解析
【分析】
本题考查平方差公式的结构应用，平方差公式$(a+b)(a-b)$的核心特征是：两个因式中有一项完全相同（即公式中的$a$），另一项互为相反数（即公式中的$+b$和$-b$）。解题时首先从给出的两个因式中找出公共的相同项作为公式里的$a$，再把剩余部分看作整体，结合添括号法则（括号前是正号，括号内各项符号不变；括号前是负号，括号内各项都变号），将剩余部分整理成互为相反数的形式，对应公式里的$+b$和$-b$即可。
【解析】
(1) 观察$(a+b-c)(a-b+c)$，两个因式的公共相同项为$a$，将剩余部分视为整体：
第一个因式除$a$外的部分为$b-c$，可写作$+(b-c)$；
第二个因式除$a$外的部分为$-b+c=-(b-c)$，可写作$-(b-c)$；
因此原式$=[a+(b-c)][a-(b-c)]$。
(2) 观察$(2a-b-c)(-2a-b+c)$，两个因式的公共相同项为$-b$，将剩余部分视为整体：
第一个因式除$-b$外的部分为$2a-c$，可写作$+(2a-c)$；
第二个因式除$-b$外的部分为$-2a+c=-(2a-c)$，可写作$-(2a-c)$；
因此原式$=[(-b)+(2a-c)][(-b)-(2a-c)]$。
【答案】
(1)$b-c,b-c$ (2)$-b,2a-c,-b,2a-c$
【知识点】
1. 添括号法则 2. 平方差公式的结构特征
【点评】
本题重点考查平方差公式结构的识别能力和添括号法则的灵活应用，解题关键是准确找到两个因式中的公共相同项，将非公共部分作为整体处理，属于平方差公式应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题考查平方差公式的结构应用，平方差公式$(a+b)(a-b)$的核心特征是：两个因式中有一项完全相同（即公式中的$a$），另一项互为相反数（即公式中的$+b$和$-b$）。解题时首先从给出的两个因式中找出公共的相同项作为公式里的$a$，再把剩余部分看作整体，结合添括号法则（括号前是正号，括号内各项符号不变；括号前是负号，括号内各项都变号），将剩余部分整理成互为相反数的形式，对应公式里的$+b$和$-b$即可。
【解析】
(1) 观察$(a+b-c)(a-b+c)$，两个因式的公共相同项为$a$，将剩余部分视为整体：
第一个因式除$a$外的部分为$b-c$，可写作$+(b-c)$；
第二个因式除$a$外的部分为$-b+c=-(b-c)$，可写作$-(b-c)$；
因此原式$=[a+(b-c)][a-(b-c)]$。
(2) 观察$(2a-b-c)(-2a-b+c)$，两个因式的公共相同项为$-b$，将剩余部分视为整体：
第一个因式除$-b$外的部分为$2a-c$，可写作$+(2a-c)$；
第二个因式除$-b$外的部分为$-2a+c=-(2a-c)$，可写作$-(2a-c)$；
因此原式$=[(-b)+(2a-c)][(-b)-(2a-c)]$。
【答案】
(1)$b-c,b-c$ (2)$-b,2a-c,-b,2a-c$
【知识点】
1. 添括号法则 2. 平方差公式的结构特征
【点评】
本题重点考查平方差公式结构的识别能力和添括号法则的灵活应用，解题关键是准确找到两个因式中的公共相同项，将非公共部分作为整体处理，属于平方差公式应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
8.如果多项式$A=x^2+2xy+2y^2-4y+2029$，则$A$的最小值是
2025
。答案
8.2025
解析
【分析】
要求多项式A的最小值，这类含二次项的多项式求最值通常用配方法，思路是将多项式拆分成若干个完全平方与常数的和，因为完全平方具有非负性（即完全平方的结果≥0），当所有完全平方都取0时，整个多项式的取值最小，最小值就是剩下的常数部分。首先观察多项式的项：有$x^2$、$2xy$，可与$y^2$配成$(x+y)^2$；剩余的含y的二次项、一次项再配成关于y的完全平方，最后整理即可得到最值。
【解析】
对多项式A进行配方：
$\begin{aligned}A&=x^2+2xy+2y^2-4y+2029\\&=x^2+2xy+y^2 + y^2 -4y + 2029 \quad \mathrm{（将}2y^2\mathrm{拆分为}y^2+y^2\mathrm{，为配完全平方做准备）}\\&=(x+y)^2 + (y^2 -4y +4) + 2029 -4 \quad \mathrm{（前三项配成}(x+y)^2\mathrm{，剩余含}y\mathrm{的项加4配成}(y-2)^2\mathrm{，同时减4保证原式值不变）}\\&=(x+y)^2 + (y-2)^2 + 2025\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(x+y)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$，
当且仅当$\begin{cases}x+y=0\\y-2=0\end{cases}$，即$y=2,x=-2$时，两个平方同时取0，此时A取得最小值，最小值为$0+0+2025=2025$。
【答案】
2025
【知识点】
完全平方公式，配方法求最值，非负数的性质
【点评】
本题是配方法应用的典型题型，解题的核心是合理拆分多项式中的二次项，将原式转化为多个非负式与常数相加的形式，再结合平方的非负性求解最值，能有效考查对完全平方公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要求多项式A的最小值，这类含二次项的多项式求最值通常用配方法，思路是将多项式拆分成若干个完全平方与常数的和，因为完全平方具有非负性（即完全平方的结果≥0），当所有完全平方都取0时，整个多项式的取值最小，最小值就是剩下的常数部分。首先观察多项式的项：有$x^2$、$2xy$，可与$y^2$配成$(x+y)^2$；剩余的含y的二次项、一次项再配成关于y的完全平方，最后整理即可得到最值。
【解析】
对多项式A进行配方：
$\begin{aligned}A&=x^2+2xy+2y^2-4y+2029\\&=x^2+2xy+y^2 + y^2 -4y + 2029 \quad \mathrm{（将}2y^2\mathrm{拆分为}y^2+y^2\mathrm{，为配完全平方做准备）}\\&=(x+y)^2 + (y^2 -4y +4) + 2029 -4 \quad \mathrm{（前三项配成}(x+y)^2\mathrm{，剩余含}y\mathrm{的项加4配成}(y-2)^2\mathrm{，同时减4保证原式值不变）}\\&=(x+y)^2 + (y-2)^2 + 2025\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(x+y)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$，
当且仅当$\begin{cases}x+y=0\\y-2=0\end{cases}$，即$y=2,x=-2$时，两个平方同时取0，此时A取得最小值，最小值为$0+0+2025=2025$。
【答案】
2025
【知识点】
完全平方公式，配方法求最值，非负数的性质
【点评】
本题是配方法应用的典型题型，解题的核心是合理拆分多项式中的二次项，将原式转化为多个非负式与常数相加的形式，再结合平方的非负性求解最值，能有效考查对完全平方公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
9.若$(2026 - a)(2025 - a) = 2024$，则$(2026 - a)^2 + (2025 - a)^2 = \_\_\_\_\_\_.$
答案
9.4049
解析
【分析】
观察所求式子是两个代数式的平方和，已知条件是这两个代数式的乘积，可联想到完全平方公式的变形：两数的平方和等于两数差的平方加两数乘积的2倍。首先计算两个代数式的差，会发现(2026 - a)与(2025 - a)的差为固定值1，再将已知的乘积和求出的差值代入变形公式即可得到结果，也可以通过换元法把复杂的代数式替换成简单字母，让运算更清晰。
【解析】
设$x=2026-a$，$y=2025-a$，
则$x-y=(2026-a)-(2025-a)=1$，
由题意可知$xy=2024$，
根据完全平方公式的变形可得：
$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$，
代入数值计算：
$x^2+y^2=1^2 + 2×2024=1+4048=4049$，
即$(2026-a)^2+(2025-a)^2=4049$。
【答案】
4049
【知识点】
1.完全平方公式变形 2.换元法
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的灵活运用，通过换元可简化代数式结构，解题的关键是先求出两个代数式的差值，再结合已知乘积代入公式计算，属于对公式应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
观察所求式子是两个代数式的平方和，已知条件是这两个代数式的乘积，可联想到完全平方公式的变形：两数的平方和等于两数差的平方加两数乘积的2倍。首先计算两个代数式的差，会发现(2026 - a)与(2025 - a)的差为固定值1，再将已知的乘积和求出的差值代入变形公式即可得到结果，也可以通过换元法把复杂的代数式替换成简单字母，让运算更清晰。
【解析】
设$x=2026-a$，$y=2025-a$，
则$x-y=(2026-a)-(2025-a)=1$，
由题意可知$xy=2024$，
根据完全平方公式的变形可得：
$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$，
代入数值计算：
$x^2+y^2=1^2 + 2×2024=1+4048=4049$，
即$(2026-a)^2+(2025-a)^2=4049$。
【答案】
4049
【知识点】
1.完全平方公式变形 2.换元法
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的灵活运用，通过换元可简化代数式结构，解题的关键是先求出两个代数式的差值，再结合已知乘积代入公式计算，属于对公式应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
