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10.先化简,再求值:$(x-2y)^2+(x-2y)(x+2y)$,其中$x=2,y=-1$.
答案
10.化简得$2x^2-4xy$,代入得16
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，观察原式的两个项，第一个项是两数差的平方形式，可套用完全平方差公式展开，第二个项是两数和与两数差的乘积形式，可套用平方差公式展开，展开后合并同类项得到最简整式；第二步将x、y的取值代入最简整式计算即可得到结果，先化简再代入比直接代入原式计算更简便，不易出错。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&(x-2y)^2 + (x-2y)(x+2y)\\=&(x^2 - 4xy + 4y^2) + (x^2 - 4y^2)\\=&x^2 -4xy +4y^2 +x^2 -4y^2\\=&2x^2 -4xy\end{aligned}$
再代入$x=2$，$y=-1$求值：
$\begin{aligned}原式&=2×2^2 -4×2×(-1)\\&=8 + 8\\&=16\end{aligned}$
【答案】
化简得$2x^2-4xy$，代入得16
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式乘法公式的应用，熟记完全平方公式和平方差公式的结构特点是解题的前提，先化简后代入求值的解题策略能有效减少计算量，提升正确率。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，观察原式的两个项，第一个项是两数差的平方形式，可套用完全平方差公式展开，第二个项是两数和与两数差的乘积形式，可套用平方差公式展开，展开后合并同类项得到最简整式；第二步将x、y的取值代入最简整式计算即可得到结果，先化简再代入比直接代入原式计算更简便，不易出错。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&(x-2y)^2 + (x-2y)(x+2y)\\=&(x^2 - 4xy + 4y^2) + (x^2 - 4y^2)\\=&x^2 -4xy +4y^2 +x^2 -4y^2\\=&2x^2 -4xy\end{aligned}$
再代入$x=2$，$y=-1$求值：
$\begin{aligned}原式&=2×2^2 -4×2×(-1)\\&=8 + 8\\&=16\end{aligned}$
【答案】
化简得$2x^2-4xy$，代入得16
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式乘法公式的应用，熟记完全平方公式和平方差公式的结构特点是解题的前提，先化简后代入求值的解题策略能有效减少计算量，提升正确率。
【难度系数】
0.8
11.已知$a+b=6,ab=3$,求下列各式的值.
(1)$a^2 + b^2$;
(2)$(a - b)^2$;
(3)$(a - 2)(b - 2)$.
(1)$a^2 + b^2$;
(2)$(a - b)^2$;
(3)$(a - 2)(b - 2)$.
答案
11.(1)30 (2)24 (3)-5
解析
【分析】
本题无需直接求出a、b的具体值，可利用完全平方公式的变形以及整式乘法的展开规则，将所求代数式转化为含有$a+b$和$ab$的形式，再整体代入已知数值计算即可。解题思路如下：①对于$a^2+b^2$，结合完全平方和公式的展开式变形得到$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，直接代入计算；②对于$(a-b)^2$，可利用完全平方差公式展开，也可转化为$(a+b)^2-4ab$后代入计算；③对于$(a-2)(b-2)$，先按多项式乘多项式的法则展开，整理为含$a+b$和$ab$的形式再代入计算。
【解析】
(1) 根据完全平方公式的变形可得：
$a^2 + b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=6$，$ab=3$代入得：
原式$=6^2 - 2×3=36-6=30$
(2) 利用完全平方差公式展开变形：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=(a+b)^2-4ab$
代入已知条件得：
原式$=6^2 - 4×3=36-12=24$
(3) 先将多项式展开整理：
$(a-2)(b-2)=ab-2a-2b+4=ab-2(a+b)+4$
代入已知条件得：
原式$=3 - 2×6 +4=3-12+4=-5$
【答案】
(1)30；(2)24；(3)-5
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，整体代入求值
【点评】
本题考查整式运算中公式的灵活变形能力，解题时运用整体代入思想可简化计算，无需单独求解a、b的值，熟练掌握完全平方公式的常见变形是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
本题无需直接求出a、b的具体值，可利用完全平方公式的变形以及整式乘法的展开规则，将所求代数式转化为含有$a+b$和$ab$的形式，再整体代入已知数值计算即可。解题思路如下：①对于$a^2+b^2$，结合完全平方和公式的展开式变形得到$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，直接代入计算；②对于$(a-b)^2$，可利用完全平方差公式展开，也可转化为$(a+b)^2-4ab$后代入计算；③对于$(a-2)(b-2)$，先按多项式乘多项式的法则展开，整理为含$a+b$和$ab$的形式再代入计算。
【解析】
(1) 根据完全平方公式的变形可得：
$a^2 + b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=6$，$ab=3$代入得：
原式$=6^2 - 2×3=36-6=30$
(2) 利用完全平方差公式展开变形：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=(a+b)^2-4ab$
代入已知条件得：
原式$=6^2 - 4×3=36-12=24$
(3) 先将多项式展开整理：
$(a-2)(b-2)=ab-2a-2b+4=ab-2(a+b)+4$
代入已知条件得：
原式$=3 - 2×6 +4=3-12+4=-5$
【答案】
(1)30；(2)24；(3)-5
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，整体代入求值
【点评】
本题考查整式运算中公式的灵活变形能力，解题时运用整体代入思想可简化计算，无需单独求解a、b的值，熟练掌握完全平方公式的常见变形是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
12. 阅读材料:若$m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$,求$m,n$的值.
解:$\because m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$,
$\therefore (m^2 -2mn +n^2)+(n^2 -8n +16)=0$.
$\therefore (m-n)^2 + (n-4)^2=0$,
$\because (m-n)^2 ≥0, (n-4)^2 ≥0$,
$\therefore (m-n)^2=0, (n-4)^2=0$,
$\therefore n=4, m=4$.
根据你的观察,探究下面的问题.
(1)已知$x^2 +2xy +2y^2 +2y +1=0$,求$2x + y$的值;
(2)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$都是正整数,且满足$a^2 +b^2 -12a -16b +100=0$,求$△ ABC$的最大边$c$的值.
解:$\because m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$,
$\therefore (m^2 -2mn +n^2)+(n^2 -8n +16)=0$.
$\therefore (m-n)^2 + (n-4)^2=0$,
$\because (m-n)^2 ≥0, (n-4)^2 ≥0$,
$\therefore (m-n)^2=0, (n-4)^2=0$,
$\therefore n=4, m=4$.
根据你的观察,探究下面的问题.
(1)已知$x^2 +2xy +2y^2 +2y +1=0$,求$2x + y$的值;
(2)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$都是正整数,且满足$a^2 +b^2 -12a -16b +100=0$,求$△ ABC$的最大边$c$的值.
答案
12.(1)1 (2)$△ ABC$的最大边$c$的值为9或10或11或12或13.
解析
【分析】
本题考查配方法的应用、非负数的性质及三角形三边关系。解题思路如下：（1）先将已知等式左边拆项，分组配成两个完全平方的和，根据平方数的非负性，两个非负数相加为0则各自为0，列方程求出x、y的值，再代入计算2x+y即可；（2）同样先对等式左边拆项配方，求出a、b的值，再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，结合c是最大边的条件，确定c的取值范围，筛选出符合条件的正整数即可。
【解析】
（1）$\because x^2 +2xy +2y^2 +2y +1=0$
$\therefore (x^2 +2xy + y^2)+(y^2 +2y +1)=0$
$\therefore (x+y)^2 + (y+1)^2=0$
$\because (x+y)^2≥0, (y+1)^2≥0$
$\therefore (x+y)^2=0, (y+1)^2=0$
解得$y=-1, x=1$
$\therefore 2x+y=2×1 + (-1)=1$
（2）$\because a^2 +b^2 -12a -16b +100=0$
$\therefore (a^2 -12a +36)+(b^2 -16b +64)=0$
$\therefore (a-6)^2 + (b-8)^2=0$
$\because (a-6)^2≥0, (b-8)^2≥0$
$\therefore (a-6)^2=0, (b-8)^2=0$
解得$a=6, b=8$
根据三角形三边关系得：$8-6 ＜ c ＜ 8+6$，即$2 ＜ c ＜14$
又$\because c$是$△ ABC$的最大边，且$c$为正整数
$\therefore 8 ＜ c ＜14$，即$c$的取值为9、10、11、12、13
【答案】
(1)1；(2)$△ ABC$的最大边$c$的值为9或10或11或12或13。
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题核心是掌握配方法的技巧，能正确将多项式拆分组配成完全平方形式，再结合非负数的性质和相关几何性质求解，是代数与几何结合的基础题型，熟练掌握完全平方公式是解题关键。
【难度系数】
0.7
本题考查配方法的应用、非负数的性质及三角形三边关系。解题思路如下：（1）先将已知等式左边拆项，分组配成两个完全平方的和，根据平方数的非负性，两个非负数相加为0则各自为0，列方程求出x、y的值，再代入计算2x+y即可；（2）同样先对等式左边拆项配方，求出a、b的值，再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，结合c是最大边的条件，确定c的取值范围，筛选出符合条件的正整数即可。
【解析】
（1）$\because x^2 +2xy +2y^2 +2y +1=0$
$\therefore (x^2 +2xy + y^2)+(y^2 +2y +1)=0$
$\therefore (x+y)^2 + (y+1)^2=0$
$\because (x+y)^2≥0, (y+1)^2≥0$
$\therefore (x+y)^2=0, (y+1)^2=0$
解得$y=-1, x=1$
$\therefore 2x+y=2×1 + (-1)=1$
（2）$\because a^2 +b^2 -12a -16b +100=0$
$\therefore (a^2 -12a +36)+(b^2 -16b +64)=0$
$\therefore (a-6)^2 + (b-8)^2=0$
$\because (a-6)^2≥0, (b-8)^2≥0$
$\therefore (a-6)^2=0, (b-8)^2=0$
解得$a=6, b=8$
根据三角形三边关系得：$8-6 ＜ c ＜ 8+6$，即$2 ＜ c ＜14$
又$\because c$是$△ ABC$的最大边，且$c$为正整数
$\therefore 8 ＜ c ＜14$，即$c$的取值为9、10、11、12、13
【答案】
(1)1；(2)$△ ABC$的最大边$c$的值为9或10或11或12或13。
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题核心是掌握配方法的技巧，能正确将多项式拆分组配成完全平方形式，再结合非负数的性质和相关几何性质求解，是代数与几何结合的基础题型，熟练掌握完全平方公式是解题关键。
【难度系数】
0.7
