1. 已知$y^2 + my + 9$是一个完全平方式，则$m$的值为 （）

A.$\pm6$
B.$\pm3$
C.$6$
D.$-6$

1.A

【分析】
解题时先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式分为两数和的平方、两数差的平方两种形式，统一结构为$a^2\pm2ab+b^2$。首先将给定式子和完全平方式的结构对应，确定首项、尾项对应的部分，再根据中间项的计算规则求$m$的值，注意不要漏掉差的平方对应的负系数情况。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
已知$y^2+my+9$是完全平方式，将其与公式结构对应：
首项对应$a^2=y^2$，可得$a=y$；
尾项对应$b^2=9$，可得$b=\pm3$；
中间项对应$my=\pm2ab=\pm2× y×3=\pm6y$，
对比系数可得$m=\pm6$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，完全平方式的概念
【点评】
本题是基础考查题，重点检验对完全平方公式两种形式的掌握程度，解题时要注意完全平方包含和、差两种情况，避免只考虑单一情况导致漏解。
【难度系数】
0.8

2. 利用乘法公式计算正确的是 （）

A.$(4x-3)^2=8x^2+12x-9$
B.$(2m+5)(2m-5)=4m^2-5$
C.$(a+b)(a+b)=a^2+b^2$
D.$(4x+1)^2=16x^2+8x+1$

2.D

【分析】
这道题考查乘法公式的应用，解题思路为先回忆两个常用乘法公式的标准形式：①平方差公式：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$；②完全平方公式：$\boldsymbol{(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2}$，再将每个选项对应公式展开计算，和选项给出的结果对比，即可判断正误。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：$(4x-3)^2$符合完全平方公式$(a-b)^2$的形式，其中$a=4x$，$b=3$，展开得$(4x)^2 - 2×4x×3 + 3^2 = 16x^2 - 24x + 9$，与选项给出的结果不符，A错误。
B选项：$(2m+5)(2m-5)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)$的形式，其中$a=2m$，$b=5$，展开得$(2m)^2 - 5^2 = 4m^2 - 25$，与选项给出的结果不符，B错误。
C选项：$(a+b)(a+b)=(a+b)^2$，用完全平方公式展开得$a^2 + 2ab + b^2$，选项漏了中间项$2ab$，C错误。
D选项：$(4x+1)^2$符合完全平方公式$(a+b)^2$的形式，其中$a=4x$，$b=1$，展开得$(4x)^2 + 2×4x×1 + 1^2 = 16x^2 + 8x + 1$，与选项结果一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题是乘法公式的基础考查题，核心要求是准确记忆平方差和完全平方公式的结构特征，避免混淆两个公式、漏写完全平方公式的中间乘积项，熟练掌握公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9

3.若$m - n = -4$，$mn = 9$，则$(m + n)^2 =$（）

A.52
B.50
C.45
D.60

3.A

【分析】
本题可利用完全平方公式的变形求解。首先回忆完全平方公式：$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，观察两个公式的结构可以发现，$(m+n)^2$可以用已知的$m-n$和$mn$表示，即$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn$，直接代入已知数值计算即可。
【解析】
根据完全平方公式的变形可得：
$\begin{aligned}(m+n)^2&=m^2+2mn+n^2\\&=m^2-2mn+n^2 + 4mn\\&=(m-n)^2 + 4mn\end{aligned}$
已知$m-n=-4$，$mn=9$，代入上式：
$\begin{aligned}(m+n)^2&=(-4)^2 + 4×9\\&=16 + 36\\&=52\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
1.完全平方公式 2.代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，核心是掌握$(m+n)^2$、$(m-n)^2$与$mn$三者之间的转换关系，熟练记忆公式变形即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

4. 已知$(3x+a)^2=9x^2+bx+4$，则$b$的值为 （）

A.4
B.$\pm6$
C.12
D.$\pm12$

4.D

【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的展开形式，将等式左侧的完全平方式展开，再根据两个多项式相等时，对应同类项的系数相等，先通过常数项求出a的取值，再代入计算b的取值即可，注意平方等于4的数有两个，不要漏解。
【解析】
首先根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，将等式左边展开：
$(3x+a)^2=(3x)^2 + 2×3x× a + a^2=9x^2+6ax+a^2$
已知$(3x+a)^2=9x^2+bx+4$，因此可得：
$9x^2+6ax+a^2=9x^2+bx+4$
根据多项式相等时对应项系数相等：
1. 常数项对应相等：$a^2=4$，解得$a=2$或$a=-2$
2. 一次项系数对应相等：$b=6a$
将a的两个取值分别代入：
当$a=2$时，$b=6×2=12$；当$a=-2$时，$b=6×(-2)=-12$
因此$b=\pm12$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；多项式对应项系数相等
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用题目，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的展开结构，同时要注意正数的平方根有正负两个，避免因漏算负数解而出错。
【难度系数】
0.7

5.若$a^2 + 2a =1$,则$(a+1)^2 =$.

5.2

【分析】
解题时首先回忆完全平方公式，观察待求式$(a+1)^2$的结构，先利用完全平方公式将其展开，发现展开后的式子中包含已知条件给出的$a^2+2a$，再将已知的$a^2+2a=1$整体代入展开后的式子计算，即可得到结果。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$
已知$a^2 + 2a = 1$，将其代入上式得：
$(a+1)^2 = 1 + 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是基础运算题，核心是对完全平方公式的掌握，解题时不需要先求出a的具体值，运用整体代入的思想可以快速简化计算，降低运算量。
【难度系数】
0.8

6.若$x^2 + 4x +7=(x+2)^2 +a$，则$a=$。

6.3

【分析】
解题时首先观察等式特征，等式右侧包含完全平方式，我们可以先利用完全平方公式将$(x+2)^2$展开，再将展开式代入原式，通过对比等式两边的整式，消去相同的项后就能计算出a的值。
【解析】
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，展开$(x+2)^2$可得：
$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$
将展开式代入原式$x^2 + 4x +7=(x+2)^2 +a$中，得：
$x^2 + 4x +7 = x^2 + 4x + 4 + a$
等式两边同时减去$x^2 + 4x + 4$，可得：
$a = 7 - 4 = 3$
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式；整式的加减
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的展开形式，通过简单的整式运算即可求解，属于基础巩固类的典型习题。
【难度系数】
0.85

7. 根据完全平方公式填空：
(1)$(x+1)^2 = x^2 + 2 × x × 1 + 1^2 = \_\_\_\_\_\_$；
(2)$(2x - \frac{1}{2}y)^2 = (2x)^2 - 2 × (2x) × (\frac{1}{2}y) + (\frac{1}{2}y)^2 = \_\_\_\_\_\_$；
(3)$(-x + 1)^2 = (-x)^2 + 2 × (-x) × 1 + 1^2 = \_\_\_\_\_\_$；
(4)$(-2a - b)^2 = (-2a)^2 - 2 × (-2a) × b + (-b)^2 = \_\_\_\_\_\_$。

7.(1)$x^2+2x+1$ (2)$4x^2-2xy+\frac{1}{4}y^2$ (3)$x^2-2x+1$ (4)$4a^2+4ab+b^2$

【分析】
本题考查完全平方公式的基础应用，解题时先明确完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$的结构，题目已经给出了展开的中间步骤，只需分别计算每一项的结果，注意系数、符号以及乘方的运算规则，最后合并各项即可得到结果。
【解析】
(1) 分别计算各项：$2× x×1=2x$，$1^2=1$，因此原式$=x^2+2x+1$；
(2) 分别计算各项：$(2x)^2=4x^2$，$2×(2x)×(\frac{1}{2}y)=2xy$，$(\frac{1}{2}y)^2=\frac{1}{4}y^2$，因此原式$=4x^2-2xy+\frac{1}{4}y^2$；
(3) 分别计算各项：$(-x)^2=x^2$，$2×(-x)×1=-2x$，$1^2=1$，因此原式$=x^2-2x+1$；
(4) 分别计算各项：$(-2a)^2=4a^2$，$-2×(-2a)× b=4ab$，$(-b)^2=b^2$，因此原式$=4a^2+4ab+b^2$。
【答案】
(1)$x^2+2x+1$ (2)$4x^2-2xy+\frac{1}{4}y^2$ (3)$x^2-2x+1$ (4)$4a^2+4ab+b^2$
【知识点】
完全平方公式、整式化简、乘方运算
【点评】
本题属于完全平方公式的基础练习题，重点考查对完全平方公式结构的熟悉程度，以及整式运算中系数、符号的计算能力，做题时只要细心计算每一项，注意符号变化即可得分。
【难度系数】
0.8

8.已知$(x+y)^2=17$，$(x-y)^2=1$，则$x^2+y^2=$，$xy=$。

8.9,4

【分析】
本题可利用完全平方公式将已知的两个等式展开，观察展开式的结构特征，通过将两个展开式相加、相减的方式，分别消去含xy的项和含x²、y²的项，从而快速求出x²+y²和xy的值，无需单独求解x和y的具体值。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，将已知等式展开：
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=17$ ---①
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=1$ ---②
1. 求$x^2+y^2$：
将①+②，得：
$x^2+2xy+y^2 + x^2-2xy+y^2 = 17+1$
合并同类项得$2(x^2+y^2)=18$
两边同时除以2，得$x^2+y^2=9$
2. 求$xy$：
将①-②，得：
$x^2+2xy+y^2 - (x^2-2xy+y^2) = 17-1$
去括号合并同类项得$4xy=16$
两边同时除以4，得$xy=4$
【答案】
9，4
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整式加减运算
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用题型，核心是掌握完全平方公式的结构特点，灵活运用作和、作差的方法消去冗余项，简化运算，避免单独求解未知量的复杂过程。
【难度系数】
0.8

9.运用完全平方公式计算：
(1)$(60 \dfrac{1}{60})^2$；
(2)$299^2$；
(3)$101^2 + 99^2 - 98 × 102$。

9.(1)$3\ 602\frac{1}{3\ 600}$ (2)89 401 (3)10 006

【分析】
这三道题均可以通过变形后套用乘法公式实现简便计算，避免直接硬算出错：①对于带分数的平方，可将带分数拆为整数与真分数的和，符合完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$的形式；②对于接近整百的数的平方，可将其拆为整百数与一个较小数的差，用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$计算；③第三题中101、99均接近100，可拆为100与1的和/差，$98×102$可变形为平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的形式，代入计算即可大幅降低计算量。
【解析】
(1) 把$60\dfrac{1}{60}$拆为$60+\dfrac{1}{60}$，套用完全平方和公式：
$\begin{aligned}(60 \dfrac{1}{60})^2&=(60+\dfrac{1}{60})^2\\&=60^2 + 2×60×\dfrac{1}{60} + (\dfrac{1}{60})^2\\&=3600 + 2 + \dfrac{1}{3600}\\&=3602\dfrac{1}{3600}\end{aligned}$
(2) 把299拆为$300-1$，套用完全平方差公式：
$\begin{aligned}299^2&=(300-1)^2\\&=300^2 - 2×300×1 + 1^2\\&=90000 - 600 + 1\\&=89401\end{aligned}$
(3) 先分别变形各部分：$101=100+1$，$99=100-1$，$98×102=(100-2)(100+2)$，分别代入公式计算：
$\begin{aligned}原式&=(100+1)^2 + (100-1)^2 - (100-2)(100+2)\\&=(100^2 + 2×100×1 + 1^2) + (100^2 - 2×100×1 + 1^2) - (100^2 - 2^2)\\&=10000 + 200 +1 + 10000 - 200 +1 - 10000 +4\\&=10000 + 2 + 4\\&=10006\end{aligned}$
【答案】
(1)$3602\dfrac{1}{3600}$；(2)$89401$；(3)$10006$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式简便运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，通过将接近整十整百的数、带分数拆为两个易计算数的和或差，能有效简化计算步骤，减少计算错误，是整式乘法简便运算的典型题型。
【难度系数】
0.7