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8.已知$a+b=2$，$a-b=3$，则$a^2 - b^2$的值为
6
.答案
8.6
解析
【分析】
首先观察所求代数式$a^2 - b^2$的结构，符合平方差公式的展开形式，因此可以先利用平方差公式对其因式分解，转化为含有已知条件$a+b$、$a-b$的式子，再将已知数值整体代入计算即可得到结果，不需要单独求解a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
根据平方差公式可得：
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
已知$a+b=2$，$a-b=3$，将其整体代入上式：
$a^2 - b^2=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
平方差公式；整体代入求值
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，运用整体代入的思想可快速得出结果，无需单独求解未知数的值，计算量小。
【难度系数】
0.9
首先观察所求代数式$a^2 - b^2$的结构，符合平方差公式的展开形式，因此可以先利用平方差公式对其因式分解，转化为含有已知条件$a+b$、$a-b$的式子，再将已知数值整体代入计算即可得到结果，不需要单独求解a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
根据平方差公式可得：
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
已知$a+b=2$，$a-b=3$，将其整体代入上式：
$a^2 - b^2=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
平方差公式；整体代入求值
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，运用整体代入的思想可快速得出结果，无需单独求解未知数的值，计算量小。
【难度系数】
0.9
9.已知$a - b = 2$，则代数式$a^2 - 4b - b^2$的值是
4
.答案
9.4
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现含$a^2$与$-b^2$项，符合平方差公式的特征，因此解题思路为：第一步先将代数式整理为$a^2 - b^2 - 4b$的形式，利用平方差公式对$a^2 - b^2$因式分解；第二步将已知条件$a-b=2$代入分解后的式子，进行化简整理；第三步将化简后的式子凑出含$(a-b)$的形式，整体代入$a-b=2$即可求出结果。
【解析】
首先对所求代数式变形：
$a^2 - 4b - b^2 = a^2 - b^2 - 4b$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，代入$a-b=2$可得：
$\begin{aligned}原式&=2(a+b) - 4b\\&=2a + 2b - 4b\\&=2a - 2b\\&=2(a - b)\end{aligned}$
再将$a - b = 2$代入上式：
$原式=2×2=4$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查平方差公式的灵活运用，解题的关键是对所求代数式合理拆分变形，将未知代数式转化为含有已知条件的形式，再通过整体代入快速求出结果，不需要单独求解a、b的具体值。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式的结构，发现含$a^2$与$-b^2$项，符合平方差公式的特征，因此解题思路为：第一步先将代数式整理为$a^2 - b^2 - 4b$的形式，利用平方差公式对$a^2 - b^2$因式分解；第二步将已知条件$a-b=2$代入分解后的式子，进行化简整理；第三步将化简后的式子凑出含$(a-b)$的形式，整体代入$a-b=2$即可求出结果。
【解析】
首先对所求代数式变形：
$a^2 - 4b - b^2 = a^2 - b^2 - 4b$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，代入$a-b=2$可得：
$\begin{aligned}原式&=2(a+b) - 4b\\&=2a + 2b - 4b\\&=2a - 2b\\&=2(a - b)\end{aligned}$
再将$a - b = 2$代入上式：
$原式=2×2=4$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查平方差公式的灵活运用，解题的关键是对所求代数式合理拆分变形，将未知代数式转化为含有已知条件的形式，再通过整体代入快速求出结果，不需要单独求解a、b的具体值。
【难度系数】
0.8
10.先化简，再求值：$(2 - a)(2 + a) - 2a(a + 3) + 3a^2$，其中$a = -\dfrac{1}{3}$。
答案
10.化简得$4-6a$,代入求值得6
解析
【分析】
这是整式化简求值类题目，解题分两步进行：第一步先化简整式，首先观察到$(2-a)(2+a)$符合平方差公式的结构特征，可先用平方差公式计算该部分，再根据单项式乘多项式的法则计算$2a(a+3)$，随后去括号、合并同类项得到最简整式；第二步将$a$的取值代入最简整式计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：第一步，化简原式：
根据平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2-n^2$，可得$(2-a)(2+a)=2^2 - a^2=4 - a^2$，
再计算单项式乘多项式：$2a(a+3)=2a^2 + 6a$，
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&=4 - a^2 - (2a^2 + 6a) + 3a^2\\&=4 - a^2 -2a^2 -6a + 3a^2\\&=4 + (-a^2 -2a^2 +3a^2) -6a\\&=4 -6a\end{aligned}$
第二步，代入$a=-\dfrac{1}{3}$求值：
将$a=-\dfrac{1}{3}$代入$4-6a$得：
$4 - 6×(-\dfrac{1}{3})=4 + 2=6$
【答案】
化简得$4-6a$，代入求值得$6$
【知识点】
平方差公式，单项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查整式运算的相关法则，解题时要熟练掌握平方差公式的应用，去括号时注意符号变化，计算时细心即可避免失误。
【难度系数】
0.8
这是整式化简求值类题目，解题分两步进行：第一步先化简整式，首先观察到$(2-a)(2+a)$符合平方差公式的结构特征，可先用平方差公式计算该部分，再根据单项式乘多项式的法则计算$2a(a+3)$，随后去括号、合并同类项得到最简整式；第二步将$a$的取值代入最简整式计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：第一步，化简原式：
根据平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2-n^2$，可得$(2-a)(2+a)=2^2 - a^2=4 - a^2$，
再计算单项式乘多项式：$2a(a+3)=2a^2 + 6a$，
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&=4 - a^2 - (2a^2 + 6a) + 3a^2\\&=4 - a^2 -2a^2 -6a + 3a^2\\&=4 + (-a^2 -2a^2 +3a^2) -6a\\&=4 -6a\end{aligned}$
第二步，代入$a=-\dfrac{1}{3}$求值：
将$a=-\dfrac{1}{3}$代入$4-6a$得：
$4 - 6×(-\dfrac{1}{3})=4 + 2=6$
【答案】
化简得$4-6a$，代入求值得$6$
【知识点】
平方差公式，单项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查整式运算的相关法则，解题时要熟练掌握平方差公式的应用，去括号时注意符号变化，计算时细心即可避免失误。
【难度系数】
0.8
11. 已知$2a^2 + 3a - 6 = 0$，求代数式$3a(2a + 1) - (2a + 1)(2a - 1)$的值。
答案
11.7
解析
【分析】
解题时无需先求解a的值，直接计算会比较繁琐，首先考虑对所求代数式进行化简：先分别利用单项式乘多项式法则、平方差公式展开代数式，再合并同类项，化简后可发现式子中出现与已知条件相关的“2a²+3a”部分，最后将已知条件变形得到的2a²+3a=6整体代入即可求出结果。
【解析】
首先化简代数式：
$\begin{aligned}&3a(2a + 1) - (2a + 1)(2a - 1)\\=&6a^2 + 3a - [(2a)^2 - 1^2]\\=&6a^2 + 3a - (4a^2 - 1)\\=&6a^2 + 3a - 4a^2 + 1\\=&2a^2 + 3a + 1\end{aligned}$
由已知$2a^2 + 3a - 6 = 0$，可得$2a^2 + 3a = 6$，将其代入化简后的式子：
原式$=6 + 1 = 7$
【答案】
7
【知识点】
平方差公式；整式的混合运算；整体代入求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，核心是熟练掌握整式运算的相关法则，灵活运用整体代入的思想简化计算，能够有效避免直接求解未知数带来的复杂运算。
【难度系数】
0.7
解题时无需先求解a的值，直接计算会比较繁琐，首先考虑对所求代数式进行化简：先分别利用单项式乘多项式法则、平方差公式展开代数式，再合并同类项，化简后可发现式子中出现与已知条件相关的“2a²+3a”部分，最后将已知条件变形得到的2a²+3a=6整体代入即可求出结果。
【解析】
首先化简代数式：
$\begin{aligned}&3a(2a + 1) - (2a + 1)(2a - 1)\\=&6a^2 + 3a - [(2a)^2 - 1^2]\\=&6a^2 + 3a - (4a^2 - 1)\\=&6a^2 + 3a - 4a^2 + 1\\=&2a^2 + 3a + 1\end{aligned}$
由已知$2a^2 + 3a - 6 = 0$，可得$2a^2 + 3a = 6$，将其代入化简后的式子：
原式$=6 + 1 = 7$
【答案】
7
【知识点】
平方差公式；整式的混合运算；整体代入求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，核心是熟练掌握整式运算的相关法则，灵活运用整体代入的思想简化计算，能够有效避免直接求解未知数带来的复杂运算。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在边长为$a$的正方形中挖去一个边长为$b$的小正方形$(a＞b)$,把余下的部分剪拼成一个长方形.
(1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积),可以验证的等式是(
A. $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
B. $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
C. $a^2 + ab = a(a + b)$
D. $a^2 - b^2 = (a - b)^2$
(2)应用你从(1)中选出的等式,完成下列各题:
①已知$a + b = 6, a^2 - b^2 = 24$,求$a - b$的值;
②计算: $(1 - \frac{1}{2^2}) × (1 - \frac{1}{3^2}) × (1 - \frac{1}{4^2}) × \dots × (1 - \frac{1}{2025^2})$.
(1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积),可以验证的等式是(
B
)A. $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
B. $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
C. $a^2 + ab = a(a + b)$
D. $a^2 - b^2 = (a - b)^2$
(2)应用你从(1)中选出的等式,完成下列各题:
①已知$a + b = 6, a^2 - b^2 = 24$,求$a - b$的值;
②计算: $(1 - \frac{1}{2^2}) × (1 - \frac{1}{3^2}) × (1 - \frac{1}{4^2}) × \dots × (1 - \frac{1}{2025^2})$.
答案
12.(1)B (2)①4 ②$\dfrac{1\ 013}{2\ 025}$
解析
【分析】
(1) 先分别计算两个图形阴影部分的面积：左图是边长为$a$的正方形挖去边长为$b$的小正方形，面积为大正方形面积减小正方形面积；右图是剪拼后的长方形，先确定长方形的长和宽，再计算面积，根据两个阴影面积相等即可得到对应的等式。
(2) ① 直接利用(1)中得到的平方差公式，将已知的$a+b$和$a^2-b^2$的值代入公式，即可求出$a-b$的值；② 把每个因式“$1-\frac{1}{n^2}$”利用平方差公式拆成两个数的乘积，拆分后观察发现中间项可以相互约分，最终化简计算得到结果。
【解析】
(1) 左图阴影部分面积：$S_1 = a^2 - b^2$
右图剪拼后的长方形，长为$a+b$，宽为$a-b$，阴影部分面积：$S_2=(a+b)(a-b)$
因为两个图形阴影部分面积相等，所以$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，故选B。
(2) ① 由平方差公式可得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
将$a + b = 6$，$a^2 - b^2 = 24$代入得：$24=6×(a-b)$
解得$a-b=24÷6=4$
② 利用平方差公式拆分每个因式：
$1-\frac{1}{n^2}=1^2-(\frac{1}{n})^2=(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$
则原式可变形为：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})×\dots×(1-\frac{1}{2025})(1+\frac{1}{2025})\\=&\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\dots×\frac{2024}{2025}×\frac{2026}{2025}\\=&\frac{1}{2}×\frac{2026}{2025}\\=&\frac{1013}{2025}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\boldsymbol{B}$ (2)①$\boldsymbol{4}$ ②$\boldsymbol{\dfrac{1013}{2025}}$
【知识点】
平方差公式，代数式求值，分数巧算
【点评】
本题结合几何图形面积推导考查平方差公式，同时考查公式的实际应用，体现了数形结合的数学思想，第二问的巧算需要熟练掌握平方差公式的变形，通过约分简化计算过程，是平方差公式应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 先分别计算两个图形阴影部分的面积：左图是边长为$a$的正方形挖去边长为$b$的小正方形，面积为大正方形面积减小正方形面积；右图是剪拼后的长方形，先确定长方形的长和宽，再计算面积，根据两个阴影面积相等即可得到对应的等式。
(2) ① 直接利用(1)中得到的平方差公式，将已知的$a+b$和$a^2-b^2$的值代入公式，即可求出$a-b$的值；② 把每个因式“$1-\frac{1}{n^2}$”利用平方差公式拆成两个数的乘积，拆分后观察发现中间项可以相互约分，最终化简计算得到结果。
【解析】
(1) 左图阴影部分面积：$S_1 = a^2 - b^2$
右图剪拼后的长方形，长为$a+b$，宽为$a-b$，阴影部分面积：$S_2=(a+b)(a-b)$
因为两个图形阴影部分面积相等，所以$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，故选B。
(2) ① 由平方差公式可得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
将$a + b = 6$，$a^2 - b^2 = 24$代入得：$24=6×(a-b)$
解得$a-b=24÷6=4$
② 利用平方差公式拆分每个因式：
$1-\frac{1}{n^2}=1^2-(\frac{1}{n})^2=(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$
则原式可变形为：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})×\dots×(1-\frac{1}{2025})(1+\frac{1}{2025})\\=&\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\dots×\frac{2024}{2025}×\frac{2026}{2025}\\=&\frac{1}{2}×\frac{2026}{2025}\\=&\frac{1013}{2025}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\boldsymbol{B}$ (2)①$\boldsymbol{4}$ ②$\boldsymbol{\dfrac{1013}{2025}}$
【知识点】
平方差公式，代数式求值，分数巧算
【点评】
本题结合几何图形面积推导考查平方差公式，同时考查公式的实际应用，体现了数形结合的数学思想，第二问的巧算需要熟练掌握平方差公式的变形，通过约分简化计算过程，是平方差公式应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
