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活动背景:我们知道,标准的正方体骰子每一面朝上的概率都是$\frac{1}{6}$,这是因为它的形状对称,质量分布均匀.如果我们改变骰子的质量分布,比如在骰子内的某个点数对应位置粘贴重物,那么各点数出现的概率就会发生变化.
提出问题:有一枚质地不均匀的骰子,随机掷这枚骰子,落地后只能出现两种情况:"小点数(点数为1、2或3)朝上"和"大点数(点数为4、5或6)朝上".这两种情况的可能性一样大吗?
研究问题:
任务一:数学小组的同学们进行了试验,并将试验数据汇总填入下表.请补全表格:
①
任务二:为了加大试验的次数,老师用计算机进行了模拟试验.据此,同学们得出三个推断:
①当投掷次数是600时,计算机记录"大点数朝上"的次数是378,所以"大点数朝上"的概率为0.63;
②当投掷次数超过1000次时,随着试验次数的增加,"大点数朝上"的频率在0.621附近摆动,显示出一定的稳定性,据此估计"大点数朝上"的概率为0.621,
③计算机模拟试验做了2000次时,得到"大点数朝上"的频率为0.62,于是某同学断言在做第2001次试验时,"小点数朝上"的可能性为0.38.
其中合理的是
解决问题:
任务三:数学小组的同学们也做了2000次掷骰子的试验,其中1276次"大点数朝上".据此,他们认为"大点数朝上"的可能性比"小点数朝上"的可能性大.你赞成他们的说法吗?请说出你的理由.
拓展探究:
如图,有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子,其中的1个面标有"1",2个面标有"2",3个面标有"3",4个面标有"4",5个面标有"5",其余的面标有"6".
(1)任意掷这枚骰子,掷出"6"朝上的概率是
(2)任意掷这枚骰子,掷出"3的倍数"朝上的概率是
提出问题:有一枚质地不均匀的骰子,随机掷这枚骰子,落地后只能出现两种情况:"小点数(点数为1、2或3)朝上"和"大点数(点数为4、5或6)朝上".这两种情况的可能性一样大吗?
研究问题:
任务一:数学小组的同学们进行了试验,并将试验数据汇总填入下表.请补全表格:
①
217
,② 0.615
,③ 0.62
;任务二:为了加大试验的次数,老师用计算机进行了模拟试验.据此,同学们得出三个推断:
①当投掷次数是600时,计算机记录"大点数朝上"的次数是378,所以"大点数朝上"的概率为0.63;
②当投掷次数超过1000次时,随着试验次数的增加,"大点数朝上"的频率在0.621附近摆动,显示出一定的稳定性,据此估计"大点数朝上"的概率为0.621,
③计算机模拟试验做了2000次时,得到"大点数朝上"的频率为0.62,于是某同学断言在做第2001次试验时,"小点数朝上"的可能性为0.38.
其中合理的是
②
(填序号).解决问题:
任务三:数学小组的同学们也做了2000次掷骰子的试验,其中1276次"大点数朝上".据此,他们认为"大点数朝上"的可能性比"小点数朝上"的可能性大.你赞成他们的说法吗?请说出你的理由.
拓展探究:
如图,有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子,其中的1个面标有"1",2个面标有"2",3个面标有"3",4个面标有"4",5个面标有"5",其余的面标有"6".
(1)任意掷这枚骰子,掷出"6"朝上的概率是
$\frac{1}{4}$
;(2)任意掷这枚骰子,掷出"3的倍数"朝上的概率是
$\frac{2}{5}$
.答案
任务一:①217 ②0.615 ③0.62
任务二:②
任务三:解:赞成.理由:做了2000次掷骰子的试验,其中1276次"大点数朝上".其频率为0.638,试验次数足够大,足以说明"大点数朝上"的可能性大,所以赞成他们的说法.
拓展探究:(1)$\frac{1}{4}$ (2)$\frac{2}{5}$
任务二:②
任务三:解:赞成.理由:做了2000次掷骰子的试验,其中1276次"大点数朝上".其频率为0.638,试验次数足够大,足以说明"大点数朝上"的可能性大,所以赞成他们的说法.
拓展探究:(1)$\frac{1}{4}$ (2)$\frac{2}{5}$
解析
【分析】
1. 任务一思路：牢记频率计算公式：频率=频数÷试验总次数，变形可得到频数=试验总次数×频率，根据表格已知量代入公式计算即可补全空缺。
2. 任务二思路：明确频率和概率的区别：概率是事件的固有稳定属性，频率是单次试验的结果，只有试验次数足够大时，频率才会稳定在概率附近，可用于估计概率，据此逐一判断三个推断即可。
3. 任务三思路：依据用频率估计概率的原则，试验次数足够多时，频率可近似反映事件发生的可能性大小，计算“大点数朝上”的频率，和0.5对比就能判断可能性大小。
4. 拓展探究思路：属于古典概型问题，概率=符合条件的面数÷总面数，先算出对应事件包含的面数，代入公式计算即可。
【解析】
任务一
根据频率、频数、试验总次数的关系计算：
①对应频数，已知试验次数为350，频率为0.62，因此①=$350×0.62=217$；
②对应频率，已知频数为492，试验次数为800，因此②=$492÷800=0.615$；
③对应频率，已知频数为1240，试验次数为2000，因此③=$1240÷2000=0.62$。
任务二
逐一分析推断：
①：600次试验的频率0.63仅为本次试验结果，不能直接等同于概率，推断不合理；
②：试验次数足够大时，“大点数朝上”的频率稳定在0.621附近，可用该值估计概率，推断合理；
③：第2001次是独立单次试验，不能用前2000次的频率直接确定本次试验的可能性，推断不合理。
因此合理的是②。
任务三
赞成，理由：2000次试验属于大量重复试验，“大点数朝上”的频率为$\frac{1276}{2000}=0.638＞0.5$，频率可近似反映概率，说明“大点数朝上”的可能性更大。
拓展探究
正二十面体骰子总面数为20：
(1) 标1~5的面数总和为$1+2+3+4+5=15$，因此标6的面数为$20-15=5$，掷出“6”朝上的概率为$\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$；
(2) 3的倍数为3和6，对应面数总和为$3+5=8$，因此掷出“3的倍数”朝上的概率为$\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$。
【答案】
任务一：①217；②0.615；③0.62
任务二：②
任务三：赞成，理由：做了2000次掷骰子的试验，其中1276次“大点数朝上”，其频率为0.638，试验次数足够大，足以说明“大点数朝上”的可能性大，所以赞成他们的说法。
拓展探究：(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{2}{5}$
【知识点】
频率与概率的关系；用频率估计概率；古典概型计算
【点评】
本题结合掷骰子的实际试验和古典概型问题，综合考查概率核心知识，要求学生准确区分频率和概率的差异，掌握用大量重复试验的频率估计概率的方法，同时熟练运用古典概型计算公式，题目贴近生活，兼具趣味性和实用性，能有效锻炼学生的数据分析和运算能力。
【难度系数】
0.7
1. 任务一思路：牢记频率计算公式：频率=频数÷试验总次数，变形可得到频数=试验总次数×频率，根据表格已知量代入公式计算即可补全空缺。
2. 任务二思路：明确频率和概率的区别：概率是事件的固有稳定属性，频率是单次试验的结果，只有试验次数足够大时，频率才会稳定在概率附近，可用于估计概率，据此逐一判断三个推断即可。
3. 任务三思路：依据用频率估计概率的原则，试验次数足够多时，频率可近似反映事件发生的可能性大小，计算“大点数朝上”的频率，和0.5对比就能判断可能性大小。
4. 拓展探究思路：属于古典概型问题，概率=符合条件的面数÷总面数，先算出对应事件包含的面数，代入公式计算即可。
【解析】
任务一
根据频率、频数、试验总次数的关系计算：
①对应频数，已知试验次数为350，频率为0.62，因此①=$350×0.62=217$；
②对应频率，已知频数为492，试验次数为800，因此②=$492÷800=0.615$；
③对应频率，已知频数为1240，试验次数为2000，因此③=$1240÷2000=0.62$。
任务二
逐一分析推断：
①：600次试验的频率0.63仅为本次试验结果，不能直接等同于概率，推断不合理；
②：试验次数足够大时，“大点数朝上”的频率稳定在0.621附近，可用该值估计概率，推断合理；
③：第2001次是独立单次试验，不能用前2000次的频率直接确定本次试验的可能性，推断不合理。
因此合理的是②。
任务三
赞成，理由：2000次试验属于大量重复试验，“大点数朝上”的频率为$\frac{1276}{2000}=0.638＞0.5$，频率可近似反映概率，说明“大点数朝上”的可能性更大。
拓展探究
正二十面体骰子总面数为20：
(1) 标1~5的面数总和为$1+2+3+4+5=15$，因此标6的面数为$20-15=5$，掷出“6”朝上的概率为$\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$；
(2) 3的倍数为3和6，对应面数总和为$3+5=8$，因此掷出“3的倍数”朝上的概率为$\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$。
【答案】
任务一：①217；②0.615；③0.62
任务二：②
任务三：赞成，理由：做了2000次掷骰子的试验，其中1276次“大点数朝上”，其频率为0.638，试验次数足够大，足以说明“大点数朝上”的可能性大，所以赞成他们的说法。
拓展探究：(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{2}{5}$
【知识点】
频率与概率的关系；用频率估计概率；古典概型计算
【点评】
本题结合掷骰子的实际试验和古典概型问题，综合考查概率核心知识，要求学生准确区分频率和概率的差异，掌握用大量重复试验的频率估计概率的方法，同时熟练运用古典概型计算公式，题目贴近生活，兼具趣味性和实用性，能有效锻炼学生的数据分析和运算能力。
【难度系数】
0.7
