8. 下列解方程不是最佳方法的是 （）

A.$3(7x+5)^2=8(7x+5)$用直接开平方法
B.$2x^2-2x-1=0$用公式法
C.$x^2+4x+5=0$用配方法
D.$x(x-2)+x-2=0$用因式分解法

8.A

【分析】
本题考查一元二次方程最优解法的选择，解题思路是结合方程的结构特征，判断每个选项给出的解法是否是最简便、不易出错的方法：首先回忆各类解法的适用场景，直接开平方法适合形如$(ax+b)^2=c(c≥0)$的方程；因式分解法适合能整理为两个一次式乘积等于0的方程；配方法适合二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程；公式法适用于所有一元二次方程。再逐一分析各选项即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 方程$3(7x+5)^2=8(7x+5)$，移项后可提取公因式$(7x+5)$，用因式分解法求解步骤更简单，还能避免漏根；若用直接开平方法，需要先处理系数，还容易漏掉$7x+5=0$的根，步骤繁琐且易出错，因此该方法不是最佳方法。
B. 方程$2x^2-2x-1=0$，无法直接因式分解，代入求根公式即可求解，公式法是最佳方法。
C. 方程$x^2+4x+5=0$，二次项系数为1，一次项系数为偶数，配方得$(x+2)^2+1=0$，可快速判断方程无实根，配方法是合适的方法。
D. 方程$x(x-2)+x-2=0$，提取公因式$(x-2)$可得$(x-2)(x+1)=0$，直接得到方程的解，因式分解法是最佳方法。
综上，A选项的解法不是最佳方法。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程解法选择、因式分解法解方程、直接开平方法解方程
【点评】
本题需要结合方程的结构特征灵活选择解法，掌握不同解法的适用场景是解题的关键，能帮助同学们在解方程时减少计算量、避免漏根。
【难度系数】
0.7

9.已知关于x的方程$x^2-(m+2)x+1=0$，若$b^2-4ac=5$，则m的值为。

9. 1或-5

【分析】
这道题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路分为三步：第一步先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），从给定方程中找出对应$a$、$b$、$c$的取值；第二步将$a$、$b$、$c$代入已知的判别式等式$b^2-4ac=5$，得到关于$m$的一元二次方程；第三步用直接开平方法解这个关于$m$的方程即可求出$m$的值，计算过程中要注意处理好符号，避免出错。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2-(m+2)x+1=0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(m+2)$，常数项$c=1$，
由题意得$b^2-4ac=5$，代入得：
$[-(m+2)]^2 - 4×1×1 = 5$
整理得：$(m+2)^2 - 4 = 5$
移项得：$(m+2)^2 = 9$
开平方得：$m+2 = 3$ 或 $m+2 = -3$
分别解得：$m_1=1$，$m_2=-5$
【答案】
1或-5
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的代入运用，解题的关键是准确识别一元二次方程各项的系数，代入后转化为关于参数的方程求解，计算时要注意符号处理，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8

10.如图，点A在数轴的负半轴，且点A对应的数为$7 - 3x - 2x^2$，点O对应的数为0.若OA=2，则x的值为。

10. $\frac{3}{2}$或$-3$

【分析】
解题首先结合数轴的性质分析：点A在负半轴且OA=2，可知点A对应的数为-2，据此列出含x的方程，再将方程整理为一元二次方程的标准形式，用因式分解法求解即可。
【解析】
解：
∵点A在数轴的负半轴，OA=2，
∴点A对应的数为-2，
根据题意得：$7 - 3x - 2x^2 = -2$，
移项整理得：$2x^2 + 3x - 9 = 0$，
因式分解得：$(2x - 3)(x + 3) = 0$，
∴$2x - 3 = 0$或$x + 3 = 0$，
解得：$x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = -3$。
【答案】
$\frac{3}{2}$或$-3$
【知识点】
数轴的应用，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题将数轴性质和一元二次方程的求解结合考查，解题关键是先根据数轴上点的位置确定对应数值列方程，再用合适的方法解方程即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

11.用合适的方法解下列方程：
(1)$x^2 + 3x - 1 = 0$；
(2)$(3x + 2)(x + 3) = x + 14$；
(3)$(x - 2)(3x - 5) = 1$。

11. (1)解:$b^2-4ac=9+4=13＞0$,$x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$,$x_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$,$x_2=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$.
(2)解:$3x^2+10x-8=0$,$(3x-2)(x+4)=0$,$3x-2=0$或$x+4=0$,$\therefore x_1=\frac{2}{3},x_2=-4$.
(3)解:$3x^2-11x+9=0$,$b^2-4ac=121-4×3×9=13＞0$,$x=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}$,$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6}$,$x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$.

【分析】
解一元二次方程时，首先要将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再根据方程特点选择合适的解法：若整理后的式子容易因式分解，优先选择因式分解法，计算更简便；若不易因式分解，可使用通用的公式法求解，使用公式法时先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断方程有无实根，再代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可。
(1)题已是一般形式，无法直接因式分解，选用公式法；(2)题展开整理后可因式分解，选用因式分解法；(3)题展开整理后无法因式分解，选用公式法。
【解析】
(1) 方程$x^2 + 3x - 1 = 0$中，$a=1$，$b=3$，$c=-1$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=3^2-4×1×(-1)=9+4=13＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得$x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2×1}$，
$\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$。
(2) 先展开原方程左边得：$3x^2+9x+2x+6=x+14$，
移项合并同类项得：$3x^2+10x-8=0$，
因式分解得：$(3x-2)(x+4)=0$，
$\therefore 3x-2=0$或$x+4=0$，
解得$x_1=\frac{2}{3}$，$x_2=-4$。
(3) 先展开原方程左边得：$3x^2-5x-6x+10=1$，
移项合并同类项得：$3x^2-11x+9=0$，
方程中$a=3$，$b=-11$，$c=9$，
判别式$\Delta=(-11)^2-4×3×9=121-108=13＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得$x=\frac{11\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}$，
$\therefore x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6}$，$x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$；
(2)$x_1=\frac{2}{3}$，$x_2=-4$；
(3)$x_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6}$，$x_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$。
【知识点】
一元二次方程解法、公式法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，解题核心是先将方程化为一般形式，再根据方程的结构特点灵活选择简便的解法，计算时要注意符号的准确性，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7

12.(衡阳市期末)阅读下面材料：
解方程：$x^2 - |x| - 2 = 0$.
解:①当$x≥0$时,原方程可化为$x^2 - x - 2 = 0$,解得$x_1=2,x_2=-1$(不合题意,舍去).
②当$x＜0$时,原方程可化为$x^2 + x - 2 = 0$,解得$x_1=-2,x_2=1$(不合题意,舍去),
$\therefore$原方程的解为$x_1=2,x_2=-2$.
仿照上题的思路和方法解方程:
$x^2 - |x - 1| - 1 = 0$.

12. 解:①当$x≥1$时,原方程可化为$x^2-x+1-1=0$,解得$x_1=1,x_2=0$(不合题意,舍去),②当$x＜1$时,原方程可化为$x^2+x-2=0$,解得$x_1=-2,x_2=1$(不合题意,舍去).$\therefore$原方程的解为$x_1=1,x_2=-2$.

【分析】
本题是含绝对值的一元二次方程，解题核心是根据绝对值的性质去掉绝对值符号，需先确定绝对值内表达式的零点：令x-1=0得x=1，因此分x≥1和x＜1两种情况讨论。每种情况将原方程转化为普通一元二次方程求解后，需验证解是否符合对应x的取值范围，舍去不符合的解，最后汇总所有有效解即可。
【解析】
分两种情况讨论：
①当$x≥1$时，$|x-1|=x-1$，原方程可化为：
$x^2 - (x-1) - 1 = 0$
整理得$x^2 - x = 0$，因式分解得$x(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=0$。
因为$x≥1$，所以$x=0$不合题意，舍去。
②当$x＜1$时，$|x-1|=1-x$，原方程可化为：
$x^2 - (1-x) - 1 = 0$
整理得$x^2 + x - 2 = 0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=1$。
因为$x＜1$，所以$x=1$不合题意，舍去。
综上，汇总有效解即可得到原方程的解。
【答案】
$x_1=1,x_2=-2$
【知识点】
含绝对值方程解法；一元二次方程解法；分类讨论思想
【点评】
解题的关键是结合绝对值的性质确定分类讨论的分界点，将含绝对值的复杂方程转化为熟悉的一元二次方程求解，求解后要注意检验解是否符合对应取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7

13.(核心素养·几何直观)如图,将正方形剪成四块,恰能拼成的矩形,若$a=1$,求这个正方形的面积.

13. 解:根据图形和题意,得$(a+b)^2=b(a+2b)$,$\because a=1$,$\therefore (1+b)^2=b(1+2b)$,解得$b_1=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,$b_2=\frac{-\sqrt{5}+1}{2}$(舍去),$\therefore$正方形的面积为$(1+\frac{\sqrt{5}+1}{2})^2=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$.

【分析】
解题的核心是抓住图形剪拼前后总面积不变的等量关系。首先观察图1，可得正方形的边长为$a+b$，因此正方形面积为$(a+b)^2$；再观察图2，拼成的矩形的长为$a+2b$，宽为$b$，因此矩形面积为$b(a+2b)$。根据剪拼前后面积相等列方程，代入$a=1$后求解关于$b$的一元二次方程，结合边长为正的实际意义舍去不合理的根，最后代入正方形面积公式计算即可。
【解析】
根据剪拼前后面积相等，可得等式：
$(a+b)^2 = b(a+2b)$
已知$a=1$，代入上式得：
$(1+b)^2 = b(1+2b)$
展开并整理方程：
$1+2b+b^2 = b + 2b^2$
$b^2 - b -1 = 0$
用求根公式解得：
$b = \frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2} = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
由于$b$为边长，长度为正，因此舍去负根$b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，得$b=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
正方形的边长为$a+b=1+\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，因此正方形面积为：
$(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{14+6\sqrt{5}}{4} = \frac{7+3\sqrt{5}}{2}$
【答案】
$\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
面积守恒，一元二次方程求解，列方程解几何问题
【点评】
本题将几何剪拼与代数方程结合，考查方程思想的应用，解题的关键是找到剪拼前后面积不变的等量关系，同时要注意结合实际意义对一元二次方程的根进行取舍，兼顾了对几何直观能力和代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.6