1. 一元二次方程$x^2 -5x +2=0$根的判别式的值是（）

A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$

1.C

【分析】
要计算一元二次方程根的判别式，首先需要回忆对应公式：对于一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一元二次方程，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$。解题时第一步先从给定方程中对应找出$a$、$b$、$c$的取值，注意要保留系数本身的符号，第二步将三个系数代入公式计算即可得到结果。
【解析】
首先确定一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的各项系数：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=2$。
根据根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入系数计算：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×2 = 25 - 8 = 17$。
因此根的判别式的值为17，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是检验根的判别式公式的掌握情况，解题时只要准确提取各项系数、注意符号问题，就能快速算出正确结果。
【难度系数】
0.8

2. 下列一元二次方程中,无实数根的是（）

A.$x^2 - 2x - 3 = 0$
B.$x^2 + 3x + 2 = 0$
C.$x^2 - 2x + 1 = 0$
D.$x^2 + 2x + 3 = 0$

2.D

【分析】
要判断一元二次方程有无实数根，核心方法是利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根。解题时先确定每个选项中一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$（注意带符号），再分别计算$\Delta$的值，找到$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时，方程无实数根。
选项A：方程$x^2 - 2x - 3 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-3$，$\Delta=(-2)^2-4×1×(-3)=4+12=16＞0$，有两个不相等的实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2 + 3x + 2 = 0$中，$a=1$，$b=3$，$c=2$，$\Delta=3^2-4×1×2=9-8=1＞0$，有两个不相等的实数根，不符合要求；
选项C：方程$x^2 - 2x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=4-4=0$，有两个相等的实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2 + 2x + 3 = 0$中，$a=1$，$b=2$，$c=3$，$\Delta=2^2-4×1×3=4-12=-8＜0$，无实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
根的判别式，判别式与根的关系，一元二次方程系数识别
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，重点考查判别式的计算和规则运用，计算时需注意准确提取各项系数的符号，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.8

3.(河南省中考)一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

3.A

【分析】
要判断一元二次方程根的情况，可通过根的判别式$\Delta=b^2-4ac$求解，解题思路如下：第一步先确定一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）中$a$、$b$、$c$的取值；第二步代入判别式公式计算$\Delta$的数值；第三步根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根。本题也可以通过直接解方程直观判断根的情况。
【解析】
方法一（根的判别式法）：
方程$x^2 - 2x = 0$符合一元二次方程一般形式，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=0$。
代入根的判别式公式得：
$\Delta = b^2-4ac=(-2)^2-4×1×0=4-0=4$
因为$\Delta=4＞0$，所以方程有两个不相等的实数根。
方法二（直接求解法）：
对$x^2 - 2x = 0$因式分解得$x(x-2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$，可直接看出方程有两个不相等的实数根。
综上答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用，只要能准确识别方程各项系数、掌握判别式的计算规则和对应结论就能快速解题，也可通过直接解方程的方式验证结果。
【难度系数】
0.9

4.（教材第33页练习第1题变式）不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：
(1)$9x^2 + 6x + 1 = 0$；
(2)$16x^2 + 8x = -3$；
(3)$3(x^2 - 1) - 5x = 0$。

4. (1)解:$\because a=9,b=6,c=1,\therefore \Delta =b^2 -4ac=36-4×9×1=0. \therefore$此方程有两个相等的实数根.
(2)解:化为一般形式为$16x^2+8x+3=0. \because a=16,b=8,c=3,\therefore \Delta =b^2-4ac=64-4×16×3=-128＜0. \therefore$此方程没有实数根.
(3)解:化为一般形式为$3x^2-5x-3=0. \because a=3,b=-5,c=-3,\therefore \Delta =(-5)^2-4×3×(-3)=25+36=61＞0. \therefore$此方程有两个不相等的实数根.

【分析】
判断一元二次方程根的情况的核心工具是根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，解题按三步思考：第一步，先把方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，移项、去括号时注意符号变化；第二步，准确提取系数$a$、$b$、$c$，系数要自带正负号；第三步，计算$\Delta$的数值，对照规则判断根的情况：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根。
【解析】
(1) 方程$9x^2 + 6x + 1 = 0$为一般形式：
$\because a=9，b=6，c=1$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=6^2 - 4×9×1=36-36=0$，
$\therefore$此方程有两个相等的实数根。
(2) 先移项化为一般形式：$16x^2 + 8x + 3 = 0$：
$\because a=16，b=8，c=3$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=8^2 - 4×16×3=64-192=-128＜0$，
$\therefore$此方程没有实数根。
(3) 先去括号、移项整理为一般形式：$3x^2 -5x -3 =0$：
$\because a=3，b=-5，c=-3$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=(-5)^2 - 4×3×(-3)=25+36=61＞0$，
$\therefore$此方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) 有两个相等的实数根；
(2) 没有实数根；
(3) 有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程的一般形式，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，重点考查判别式的使用步骤，需注意必须先将方程化为一般形式再提取系数，确定系数时不要遗漏符号，熟练掌握判别式和根的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5.(北京市中考)若关于$x$的一元二次方程$ax^2 +2x+1=0$有两个相等的实数根，则实数$a$的值为（）

A.$-4$
B.$-1$
C.$1$
D.$4$

5.C

【分析】
要解决这道题，需明确两个核心解题依据：一是一元二次方程的定义要求二次项系数不为0；二是一元二次方程根的情况和判别式的对应关系，当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta=0$。我们先确定方程各项对应的系数，代入判别式列方程求解，最后验证二次项系数是否符合一元二次方程的要求即可。
【解析】
解：
∵ 方程$ax^2 +2x+1=0$是关于$x$的一元二次方程
∴ $a≠ 0$
根据一元二次方程根的判别式规则，$\Delta = b^2-4ac$（$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项），本题中$b=2$，$c=1$，可得：
$\Delta = 2^2 - 4× a × 1 = 4 - 4a$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ $\Delta = 0$，即$4-4a=0$
解得$a=1$，满足$a≠ 0$的要求，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础考查题，重点考察一元二次方程根的判别式的应用，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，避免漏判出错。
【难度系数】
0.8

6.若关于$x$的方程$x^2 - x - m = 0$有两个不相等的实数根，则实数$m$的取值范围是（）

A.$m ＜ -\dfrac{1}{4}$
B.$m ＞ -\dfrac{1}{4}$
C.$m ＜ -4$
D.$m ＞ -4$

6.B

【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式Δ＞0。首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式公式列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，根的判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程无实数根。
本题中方程$x^2 -x -m=0$是一元二次方程，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-m$。
已知方程有两个不相等的实数根，因此$\Delta＞0$，代入得：
$(-1)^2 - 4×1×(-m) ＞ 0$
化简计算：
$1 + 4m ＞ 0$
移项得$4m ＞ -1$，两边同时除以4，解得$m ＞ -\frac{1}{4}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题，需牢记不同根的情况对应的判别式取值范围，代入系数计算时要注意常数项的符号，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8

7.已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 +6x +1=0$没有实数根，那么$a$的取值范围是。

7.$a＞9$

【分析】
解题时首先明确题目给出的是一元二次方程，因此隐含二次项系数不为0的条件，即$a≠0$；其次，一元二次方程没有实数根对应根的判别式$\Delta＜0$，我们只需代入对应系数列出不等式，求解不等式后再结合$a≠0$的条件校验最终范围即可。
【解析】
解：$\because$ 方程$ax^2 +6x +1=0$是一元二次方程
$\therefore$ 二次项系数$a≠ 0$
$\because$ 该一元二次方程没有实数根
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$
将$a=a$，$b=6$，$c=1$代入判别式得：
$\Delta=6^2 - 4× a×1=36-4a ＜ 0$
解不等式：
$36＜4a$，即$a＞9$
$\because a＞9$已经满足$a≠0$的条件
$\therefore a$的取值范围是$a＞9$
【答案】
$a＞9$
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式应用、一元一次不等式求解
【点评】
本题是根的判别式的基础常考题，解题时要注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免在其他同类题中出现漏解的情况。
【难度系数】
0.75

8.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + 1 - m = 0$.
(1)若该方程有两个实数根,求$m$的取值范围;
(2)当$m=3$时,求方程的实数根.

8. (1)解:由题意,得$\Delta=(-2)^2-4(1-m)=4m≥0$,解得$m≥0$.
(2)当$m=3$时,原方程为$x^2-2x-2=0$,解得$x_1=\sqrt{3}+1,x_2=-\sqrt{3}+1$.

【分析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$时，方程有两个实数根。首先确定本题方程的各项系数$a=1$，$b=-2$，$c=1-m$，代入判别式得到关于$m$的不等式，解不等式即可求出$m$的取值范围。
(2) 先将$m=3$代入原方程，得到具体的一元二次方程，再用求根公式或者配方法求解方程的根即可。
【解析】
(1) 已知方程为一元二次方程，且有两个实数根，因此判别式$\Delta≥0$。
计算判别式：$\Delta=(-2)^2 - 4×1×(1-m)=4 - 4 + 4m=4m$
由$\Delta≥0$可得：$4m≥0$，解得$m≥0$。
(2) 当$m=3$时，将$m=3$代入原方程，得：
$x^2 - 2x + 1 - 3 = 0$，整理得$x^2 - 2x - 2 = 0$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-2$，判别式$\Delta=(-2)^2 - 4×1×(-2)=4 + 8=12$
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{2}=1\pm\sqrt{3}$
即$x_1=1+\sqrt{3}$，$x_2=1-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $m≥0$；(2) $x_1=1+\sqrt{3}$，$x_2=1-\sqrt{3}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，重点考查根的判别式与方程根的个数的对应关系，以及常规解一元二次方程的方法，熟练掌握基础概念和计算方法即可顺利作答。
【难度系数】
0.9

9.若关于x的一元二次方程$(k-2)x^2 -2kx +k=6$有实数根，则k的取值范围为。。

9.$k≥\dfrac{3}{2}$且$k≠2$

【分析】
要解决这个问题，首先需明确题目给出的是一元二次方程，因此第一步要保证二次项系数不为0；其次方程有实数根，需满足根的判别式Δ≥0。我们先将方程化为一元二次方程的一般形式，再分别列出两个条件对应的不等式，求解后取两个解集的公共部分即可得到k的取值范围。
【解析】
第一步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$(k-2)x^2 -2kx +k -6 = 0$
第二步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：
$k - 2 ≠ 0$，解得 $k ≠ 2$
第三步：根据方程有实数根，可知根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a = k-2$，$b = -2k$，$c = k-6$，代入得：
$(-2k)^2 - 4×(k-2)×(k-6) ≥ 0$
展开计算：
$4k^2 - 4(k^2 - 8k + 12) ≥ 0$
$4k^2 - 4k^2 + 32k - 48 ≥ 0$
化简得：$32k ≥ 48$，解得 $k ≥ \frac{3}{2}$
第四步：结合两个条件的解集，取公共部分，得$k$的取值范围。
【答案】
$k≥\dfrac{3}{2}$且$k≠2$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常规应用题型，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，导致取值范围多包含k=2的情况，需注意审题，优先满足方程是一元二次方程的要求，再结合判别式计算。
【难度系数】
0.7

10.(广州市中考)关于$x$的方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$根的情况为 （）

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根

10.C

【分析】
判断一元二次方程根的情况，核心是利用根的判别式Δ=b²-4ac的符号判断：Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时无实数根。解题时首先从方程中确定a、b、c的取值，代入公式计算Δ，再结合平方的非负性判断Δ的正负，即可得出根的情况。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，本题中$a=1$，$b=-1$，$c=k^2+2$，
代入根的判别式公式得：
$\Delta = b^2-4ac = (-1)^2 - 4×1×(k^2+2)$
$=1 - 4k^2 - 8$
$=-4k^2 -7$
由平方的非负性可知$k^2≥0$，因此$-4k^2≤0$，
可得$\Delta=-4k^2 -7≤ -7 ＜ 0$，
所以该方程无实数根。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.平方的非负性
【点评】
本题是基础题型，考查利用判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是正确计算判别式，结合平方的非负性准确判断判别式的符号。
【难度系数】
0.8