22.「★★★」(12分)定义:若关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中的常数项是该方程的一个根,则该一元二次方程就叫常数根一元二次方程.
(1)已知关于x的方程$x^2+x+c=0$是常数根一元二次方程,则c的值为.
(2)如果关于x的方程$x^2+2mx+m+1=0$是常数根一元二次方程,求m的值.
(3)若关于x的常数根一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根不为零,求证:关于y的方程$acy^2+by+1=0$是常数根一元二次方程.

22.解析 (1)0或-2.详解:$\because$ 关于 $x$ 的方程 $x^2+x+c=0$ 是常数根一元二次方程,$\therefore$ 方程的一个根为 $x=c$,代入方程得 $c^2+2c=0$,解得 $c=0$ 或 $-2$.故答案为 0 或 $-2$.
(2)$\because$ 关于 $x$ 的方程 $x^2+2mx+m+1=0$ 是常数根一元二次方程,
$\therefore$ 方程的一个根为 $x=m+1$,
代入方程得 $(m+1)^2+2m(m+1)+m+1=0$,
整理得 $3m^2+5m+2=0$,解得 $m=-\frac{2}{3}$ 或 $-1$.
(3)证明:$\because$ 关于 $x$ 的常数根一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ $(a≠0)$ 的根不为零,
$\therefore$ 方程的一个根为 $x=c$,且 $c≠0$,
将 $x=c$ 代入方程得 $ac^2+bc+c=0$,即 $c(ac+b+1)=0$,
$\because c≠0$,
$\therefore ac+b+1=0$,
把 $y=1$ 代入方程 $acy^2+by+1=0$ 得,
左边 $=ac+b+1=0=$ 右边,
$\therefore y=1$ 是关于 $y$ 的方程 $acy^2+by+1=0$ 的一个根,
又 $\because ac≠0$,
$\therefore$ 关于 $y$ 的方程 $acy^2+by+1=0$ 是常数根一元二次方程.