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1. 一张面积是100 cm²的矩形彩纸，长比宽多6 cm，若设它的宽为x cm，可列出一元二次方程为
x²+6x-100=0
（化为一般式）。答案
1. $x^2+6x-100=0$
解析
【分析】
解题时首先根据宽的长度表示出长的长度，再利用矩形面积公式找到等量关系列方程，最后将方程整理为一元二次方程的一般形式即可。具体步骤：①已知宽为x cm，长比宽多6 cm，因此长为(x+6)cm；②矩形面积=长×宽，已知面积为100 cm²，据此可列等式；③将等式整理为ax²+bx+c=0（a≠0）的一般式形式。
【解析】
设矩形彩纸的宽为$ x \, \mathrm{cm} $，则长为$ (x+6) \, \mathrm{cm} $。
根据矩形面积公式$ \mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽} $，代入已知条件得：
$ x(x+6) = 100 $
展开左边得：
$ x^2 + 6x = 100 $
移项整理为一元二次方程的一般式：
$ x^2 + 6x - 100 = 0 $
【答案】
$ x^2+6x-100=0 $
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积计算；一元二次方程一般式
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，核心是找准题目中的等量关系，正确用含未知数的式子表示出长的长度，再按照要求整理方程即可，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据宽的长度表示出长的长度，再利用矩形面积公式找到等量关系列方程，最后将方程整理为一元二次方程的一般形式即可。具体步骤：①已知宽为x cm，长比宽多6 cm，因此长为(x+6)cm；②矩形面积=长×宽，已知面积为100 cm²，据此可列等式；③将等式整理为ax²+bx+c=0（a≠0）的一般式形式。
【解析】
设矩形彩纸的宽为$ x \, \mathrm{cm} $，则长为$ (x+6) \, \mathrm{cm} $。
根据矩形面积公式$ \mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽} $，代入已知条件得：
$ x(x+6) = 100 $
展开左边得：
$ x^2 + 6x = 100 $
移项整理为一元二次方程的一般式：
$ x^2 + 6x - 100 = 0 $
【答案】
$ x^2+6x-100=0 $
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积计算；一元二次方程一般式
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，核心是找准题目中的等量关系，正确用含未知数的式子表示出长的长度，再按照要求整理方程即可，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 两个相邻偶数的积为48，则这两个数是
6,8或-6,-8
.答案
2. 6,8或-6,-8
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的两个核心条件：两数是相邻偶数、两数乘积为48。首先回忆相邻偶数的性质：相邻两个偶数的差为2，据此我们可以设较小的偶数为未知数，用含未知数的式子表示出较大的偶数，再根据“乘积为48”的等量关系列出一元二次方程，解方程后验证所得根是否符合偶数的要求，注意偶数包含正偶数和负偶数，不要遗漏负数解。
【解析】
解：设较小的相邻偶数为$x$，则较大的相邻偶数为$x+2$，根据题意列方程得：
$x(x+2)=48$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2+2x-48=0$
因式分解得：
$(x+8)(x-6)=0$
解得：$x_1=-8$，$x_2=6$
当$x=-8$时，$x+2=-6$，$-8$和$-6$是相邻偶数，符合题意；
当$x=6$时，$x+2=8$，$6$和$8$是相邻偶数，符合题意。
【答案】
6,8或-6,-8
【知识点】
一元二次方程的应用；偶数的概念；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础的方程应用类题型，解题关键是抓住相邻偶数差为2的特征建立等量关系，求解时要注意偶数的取值范围包含负数，避免漏掉负整数解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目给出的两个核心条件：两数是相邻偶数、两数乘积为48。首先回忆相邻偶数的性质：相邻两个偶数的差为2，据此我们可以设较小的偶数为未知数，用含未知数的式子表示出较大的偶数，再根据“乘积为48”的等量关系列出一元二次方程，解方程后验证所得根是否符合偶数的要求，注意偶数包含正偶数和负偶数，不要遗漏负数解。
【解析】
解：设较小的相邻偶数为$x$，则较大的相邻偶数为$x+2$，根据题意列方程得：
$x(x+2)=48$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2+2x-48=0$
因式分解得：
$(x+8)(x-6)=0$
解得：$x_1=-8$，$x_2=6$
当$x=-8$时，$x+2=-6$，$-8$和$-6$是相邻偶数，符合题意；
当$x=6$时，$x+2=8$，$6$和$8$是相邻偶数，符合题意。
【答案】
6,8或-6,-8
【知识点】
一元二次方程的应用；偶数的概念；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础的方程应用类题型，解题关键是抓住相邻偶数差为2的特征建立等量关系，求解时要注意偶数的取值范围包含负数，避免漏掉负整数解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在一块长 30 m，宽 20 m 的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为 468 m². 设道路的宽为 x m，可列方程 （
A.$(30-x)(20-2x)=468$
B.$20×30-30x-2×20x-2x^2=468$
C.$(30-2x)(20-x)=468$
D.$20×30-30x-20x=468$
C
）A.$(30-x)(20-2x)=468$
B.$20×30-30x-2×20x-2x^2=468$
C.$(30-2x)(20-x)=468$
D.$20×30-30x-20x=468$
答案
3. C
解析
【分析】
解决这类道路分割田地的面积问题，常用平移法简化计算：首先将分散的种植区域通过平移道路拼成完整的矩形，只需确定拼接后矩形的长和宽，结合已知的种植面积即可列出方程。首先判断道路走向：本题有2条平行于矩形宽的竖直道路、1条平行于矩形长的水平道路，竖直道路每条占水平长度x，水平道路占竖直宽度x，据此可求出拼接后种植区域的长和宽，再代入面积公式即可。
【解析】
方法一：平移法
将三条道路向矩形边缘平移，六块种植区域可拼接为一个新的矩形：
2条竖直道路每条宽x m，因此新矩形的长为原长减去2倍道路宽：$(30-2x)\ \mathrm{m}$
1条水平道路宽x m，因此新矩形的宽为原宽减去1倍道路宽：$(20-x)\ \mathrm{m}$
已知种植蔬菜的面积为$468\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可列方程：
$(30-2x)(20-x)=468$
方法二：总面积减道路面积验证
矩形总面积为$30×20=600\ \mathrm{m}^2$，道路总面积为$2×20x + 30x - 2x^2$（减去交叉处重复计算的$2x^2$），因此种植面积为$600-(2×20x + 30x - 2x^2)=468$，整理后和上述方程一致。
其余选项：A长、宽对应的道路数量混淆，B多减了交叉重叠面积，D漏算道路面积和重叠部分，均错误。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，平移法解题
【点评】
本题是面积类方程应用题的常见题型，平移法能快速规避道路交叉部分重复计算的问题，是解决这类题的高效技巧，掌握该方法能大幅提升解题准确率和速度。
【难度系数】
0.7
解决这类道路分割田地的面积问题，常用平移法简化计算：首先将分散的种植区域通过平移道路拼成完整的矩形，只需确定拼接后矩形的长和宽，结合已知的种植面积即可列出方程。首先判断道路走向：本题有2条平行于矩形宽的竖直道路、1条平行于矩形长的水平道路，竖直道路每条占水平长度x，水平道路占竖直宽度x，据此可求出拼接后种植区域的长和宽，再代入面积公式即可。
【解析】
方法一：平移法
将三条道路向矩形边缘平移，六块种植区域可拼接为一个新的矩形：
2条竖直道路每条宽x m，因此新矩形的长为原长减去2倍道路宽：$(30-2x)\ \mathrm{m}$
1条水平道路宽x m，因此新矩形的宽为原宽减去1倍道路宽：$(20-x)\ \mathrm{m}$
已知种植蔬菜的面积为$468\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可列方程：
$(30-2x)(20-x)=468$
方法二：总面积减道路面积验证
矩形总面积为$30×20=600\ \mathrm{m}^2$，道路总面积为$2×20x + 30x - 2x^2$（减去交叉处重复计算的$2x^2$），因此种植面积为$600-(2×20x + 30x - 2x^2)=468$，整理后和上述方程一致。
其余选项：A长、宽对应的道路数量混淆，B多减了交叉重叠面积，D漏算道路面积和重叠部分，均错误。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，平移法解题
【点评】
本题是面积类方程应用题的常见题型，平移法能快速规避道路交叉部分重复计算的问题，是解决这类题的高效技巧，掌握该方法能大幅提升解题准确率和速度。
【难度系数】
0.7
4. 如图，从一个长10 dm，宽8 dm的铁片中间截去一个面积为60 $\mathrm{dm}^2$的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样.如果设这个宽度为$x$ dm，那么所列出的方程是（
A.$(10-x)(8-x)=10×8-60$
B.$(10-x)(8-x)=60$
C.$(10-2x)(8-2x)=60$
D.$2(10-x)(8-x)=60$
C
）A.$(10-x)(8-x)=10×8-60$
B.$(10-x)(8-x)=60$
C.$(10-2x)(8-2x)=60$
D.$2(10-x)(8-x)=60$
答案
4. C
解析
【分析】解题时首先确定等量关系：截去的小长方形面积为60$\mathrm{dm}^2$。接下来推导小长方形的边长：因为四周框的宽度均为$x$ dm，所以小长方形的长需要在原长的基础上减去左右两侧的宽度，即$10-2x$；小长方形的宽需要在原宽的基础上减去上下两侧的宽度，即$8-2x$，最后结合长方形面积公式即可列出方程。
【解析】已知原铁片长10 dm、宽8 dm，四周框宽度为$x$ dm，因此截去的小长方形的长为$(10-2x)$dm，宽为$(8-2x)$dm。
根据小长方形面积为60$\mathrm{dm}^2$，结合长方形面积=长×宽，可列方程：
$(10-2x)(8-2x)=60$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程应用；长方形面积计算
【点评】本题是几何类方程应用的基础题，易错点是容易忽略宽度在长、宽的两侧都存在，误将小长方形的边长写为$10-x$、$8-x$，准确表示出截去图形的边长即可快速解题。
【难度系数】0.7
【解析】已知原铁片长10 dm、宽8 dm，四周框宽度为$x$ dm，因此截去的小长方形的长为$(10-2x)$dm，宽为$(8-2x)$dm。
根据小长方形面积为60$\mathrm{dm}^2$，结合长方形面积=长×宽，可列方程：
$(10-2x)(8-2x)=60$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程应用；长方形面积计算
【点评】本题是几何类方程应用的基础题，易错点是容易忽略宽度在长、宽的两侧都存在，误将小长方形的边长写为$10-x$、$8-x$，准确表示出截去图形的边长即可快速解题。
【难度系数】0.7
5. 如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m²，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料制成)，则BC长为
5
m. 答案
5. 5
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决的几何面积应用题，解题思路如下：1. 先明确变量：设平行于墙的边BC的长度为x m，首先要注意BC的长度不能超过墙长5.5m；2. 表示出垂直于墙的边AB的长度：已知铁丝网总长10m，侧面有1m宽的门不用铁丝网，所以围成AB、BC、CD三边的铁丝网总长度满足“2倍AB长 + BC长 - 门宽1m = 10m”，由此可以用含x的式子表示AB的长度；3. 利用矩形面积公式列一元二次方程，求解后结合墙长的限制条件舍去不符合实际的解，即可得到BC的长度。
【解析】
设BC的长度为x m（$x≤5.5$，BC平行于墙，长度不能超过墙长）。
根据题意，垂直于墙的边AB的长度为$\frac{10+1-x}{2}$ m。
由矩形面积为$15\ \mathrm{m}^2$，可列方程：
$x · \frac{11-x}{2} = 15$
整理得：$x^2 -11x +30=0$
因式分解得：$(x-5)(x-6)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=6$
因为墙长为5.5 m，$x_2=6＞5.5$，不符合实际情况，故舍去。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，实际问题的根取舍
【点评】
本题是典型的围矩形类实际应用题，解题关键是正确结合铁丝网长度和门的宽度表示出矩形的边长，同时要注意结合场地限制条件舍去不符合实际的解，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元二次方程解决的几何面积应用题，解题思路如下：1. 先明确变量：设平行于墙的边BC的长度为x m，首先要注意BC的长度不能超过墙长5.5m；2. 表示出垂直于墙的边AB的长度：已知铁丝网总长10m，侧面有1m宽的门不用铁丝网，所以围成AB、BC、CD三边的铁丝网总长度满足“2倍AB长 + BC长 - 门宽1m = 10m”，由此可以用含x的式子表示AB的长度；3. 利用矩形面积公式列一元二次方程，求解后结合墙长的限制条件舍去不符合实际的解，即可得到BC的长度。
【解析】
设BC的长度为x m（$x≤5.5$，BC平行于墙，长度不能超过墙长）。
根据题意，垂直于墙的边AB的长度为$\frac{10+1-x}{2}$ m。
由矩形面积为$15\ \mathrm{m}^2$，可列方程：
$x · \frac{11-x}{2} = 15$
整理得：$x^2 -11x +30=0$
因式分解得：$(x-5)(x-6)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=6$
因为墙长为5.5 m，$x_2=6＞5.5$，不符合实际情况，故舍去。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，实际问题的根取舍
【点评】
本题是典型的围矩形类实际应用题，解题关键是正确结合铁丝网长度和门的宽度表示出矩形的边长，同时要注意结合场地限制条件舍去不符合实际的解，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
6. 小明准备进行如下实验操作：把一根长为 32 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于 34 cm²，则这两个正方形的边长各是多少？
（2）小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于 30 cm². 你认为他的说法正确吗？请说明理由.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于 34 cm²，则这两个正方形的边长各是多少？
（2）小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于 30 cm². 你认为他的说法正确吗？请说明理由.
答案
6.（1）设其中一个正方形的边长为$x$ cm，则另一个正方形的边长为$(8-x)$ cm，根据题意，得$x^2+(8-x)^2=34$，解得$x_1=3$，$x_2=5$，因此这两个正方形的边长分别是3 cm，5 cm （2）两个正方形的面积之和不可能等于$30\ \mathrm{cm}^2$，理由如下：若两个正方形的面积和为$30\ \mathrm{cm}^2$，则$x^2+(8-x)^2=30$，$\therefore x^2-8x+17=0$，$\because b^2-4ac=(-8)^2-4×1×17=-4$，$\therefore$ 此方程无解，$\therefore$ 两个正方形的面积之和不可能等于$30\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
第（1）问解题思路：首先根据铁丝总长为32cm，可得两个正方形的周长之和为32cm，结合正方形周长公式可推出两个正方形的边长之和为$32÷4=8\mathrm{cm}$。设其中一个正方形的边长为$x$cm，即可表示出另一个正方形的边长为$(8-x)$cm，再结合两个正方形的面积之和为$34\mathrm{cm}^2$，利用正方形面积公式列一元二次方程求解即可。
第（2）问解题思路：要判断面积之和能否等于$30\mathrm{cm}^2$，可先假设该情况成立，按照和第（1）问相同的等量关系列方程，再通过计算一元二次方程的根的判别式判断方程是否有实数根，若无实根则说明该情况不可能存在。
【解析】
（1）设其中一个正方形的边长为$x$ cm，则另一个正方形的边长为$\frac{32-4x}{4}=(8-x)$ cm。
根据题意列方程：
$x^2+(8-x)^2=34$
整理得：$x^2-8x+15=0$
因式分解得：$(x-3)(x-5)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
当$x=3$时，$8-x=5$；当$x=5$时，$8-x=3$。
（2）小明的说法正确，理由如下：
假设两个正方形的面积之和能等于$30\ \mathrm{cm}^2$，列方程得：
$x^2+(8-x)^2=30$
整理得：$x^2-8x+17=0$
计算根的判别式：
$\Delta =b^2-4ac=(-8)^2-4×1×17=-4＜0$
因此该方程没有实数根，即不存在符合条件的边长，故两个正方形的面积之和不可能等于$30\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
（1）这两个正方形的边长分别是3 cm，5 cm；
（2）小明的说法正确，两个正方形的面积之和不可能等于$30\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
一元二次方程的应用；根的判别式；正方形周长与面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程的实际应用类题型，解题核心是先通过周长的数量关系推导两个正方形边长的关系，再结合面积条件列方程求解；可能性判断类问题可先假设结论成立，通过方程是否有实根验证假设，能有效考查方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
第（1）问解题思路：首先根据铁丝总长为32cm，可得两个正方形的周长之和为32cm，结合正方形周长公式可推出两个正方形的边长之和为$32÷4=8\mathrm{cm}$。设其中一个正方形的边长为$x$cm，即可表示出另一个正方形的边长为$(8-x)$cm，再结合两个正方形的面积之和为$34\mathrm{cm}^2$，利用正方形面积公式列一元二次方程求解即可。
第（2）问解题思路：要判断面积之和能否等于$30\mathrm{cm}^2$，可先假设该情况成立，按照和第（1）问相同的等量关系列方程，再通过计算一元二次方程的根的判别式判断方程是否有实数根，若无实根则说明该情况不可能存在。
【解析】
（1）设其中一个正方形的边长为$x$ cm，则另一个正方形的边长为$\frac{32-4x}{4}=(8-x)$ cm。
根据题意列方程：
$x^2+(8-x)^2=34$
整理得：$x^2-8x+15=0$
因式分解得：$(x-3)(x-5)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
当$x=3$时，$8-x=5$；当$x=5$时，$8-x=3$。
（2）小明的说法正确，理由如下：
假设两个正方形的面积之和能等于$30\ \mathrm{cm}^2$，列方程得：
$x^2+(8-x)^2=30$
整理得：$x^2-8x+17=0$
计算根的判别式：
$\Delta =b^2-4ac=(-8)^2-4×1×17=-4＜0$
因此该方程没有实数根，即不存在符合条件的边长，故两个正方形的面积之和不可能等于$30\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
（1）这两个正方形的边长分别是3 cm，5 cm；
（2）小明的说法正确，两个正方形的面积之和不可能等于$30\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
一元二次方程的应用；根的判别式；正方形周长与面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程的实际应用类题型，解题核心是先通过周长的数量关系推导两个正方形边长的关系，再结合面积条件列方程求解；可能性判断类问题可先假设结论成立，通过方程是否有实根验证假设，能有效考查方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
