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12. 已知 $ x_1 $，$ x_2 $ 是方程 $ x^2 + 5x + 3 = 0 $ 的两个实数根，求下列代数式的值：
(1) $ x_1 + x_1x_2 + x_2 $；
(2) $ x_1^2 + x_2^2 $；
(3) $ |x_1 - x_2| $；
(4) $ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} $。
(1) $ x_1 + x_1x_2 + x_2 $；
(2) $ x_1^2 + x_2^2 $；
(3) $ |x_1 - x_2| $；
(4) $ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} $。
答案
12. (1) $-2$ (2) $19$ (3) $\sqrt{13}$ (4) $\frac{19}{3}$
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需直接计算方程的两根。首先根据方程系数求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，再将每个待求代数式通过恒等变形，转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后整体代入数值计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 5x + 3 = 0$，其中$a=1$，$b=5$，$c=3$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -5$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 3$。
(1) 对代数式变形得：
$x_1 + x_1x_2 + x_2 = (x_1 + x_2) + x_1x_2$
代入数值计算：$-5 + 3 = -2$。
(2) 利用完全平方公式变形得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入数值计算：$(-5)^2 - 2×3 = 25 - 6 = 19$。
(3) 先计算$(x_1 - x_2)^2$，再开方取非负值：
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$
代入数值计算：$(-5)^2 - 4×3 = 25 - 12 = 13$，
因此$|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{13}$。
(4) 先通分化简代数式：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1x_2}$
将$x_1^2 + x_2^2=19$，$x_1x_2=3$代入得：$\frac{19}{3}$。
【答案】
(1) $-2$；(2) $19$；(3) $\sqrt{13}$；(4) $\frac{19}{3}$
【知识点】
韦达定理，完全平方公式，代数式化简
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题，核心考查整体代入的数学思想，通过代数式变形避免了求解方程根的复杂运算，是该章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.75
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需直接计算方程的两根。首先根据方程系数求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，再将每个待求代数式通过恒等变形，转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后整体代入数值计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 5x + 3 = 0$，其中$a=1$，$b=5$，$c=3$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -5$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 3$。
(1) 对代数式变形得：
$x_1 + x_1x_2 + x_2 = (x_1 + x_2) + x_1x_2$
代入数值计算：$-5 + 3 = -2$。
(2) 利用完全平方公式变形得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入数值计算：$(-5)^2 - 2×3 = 25 - 6 = 19$。
(3) 先计算$(x_1 - x_2)^2$，再开方取非负值：
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$
代入数值计算：$(-5)^2 - 4×3 = 25 - 12 = 13$，
因此$|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{13}$。
(4) 先通分化简代数式：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1x_2}$
将$x_1^2 + x_2^2=19$，$x_1x_2=3$代入得：$\frac{19}{3}$。
【答案】
(1) $-2$；(2) $19$；(3) $\sqrt{13}$；(4) $\frac{19}{3}$
【知识点】
韦达定理，完全平方公式，代数式化简
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题，核心考查整体代入的数学思想，通过代数式变形避免了求解方程根的复杂运算，是该章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.75
13. 已知实数$m$，$n$满足$m^2 - am + 1 = 0$，$n^2 - an + 1 = 0$，且$m≠n$，若$(m - 1)^2 + (n - 1)^2 = 3$，求$a$的值。
答案
13. 将$m,n$看作$x^2 -ax +1=0$的根，有$m+n=a$，$mn=1$，由$(m-1)^2+(n-1)^2=3$，得$(m+n)^2-2mn-2(m+n)=1$，代入得$a^2-2-2a=1$，解得$a=3$或$a=-1$，当$a=-1$时，$x^2 -ax +1=0$无实数根，$\therefore a=3$
解析
【分析】
首先观察已知条件，m和n满足同一个一元二次方程且m≠n，因此可将m、n看作一元二次方程$x^2 -ax +1=0$的两个不相等的实数根，结合根与系数的关系（韦达定理）可得到m+n与mn的表达式。接下来将给定的等式$(m - 1)^2 + (n - 1)^2 = 3$展开，通过完全平方公式的变形，将其转化为仅含m+n和mn的代数式，代入韦达定理的结果即可得到关于a的方程，求解后需要结合一元二次方程有两个不等实根的条件（判别式Δ＞0）对a的取值进行检验，舍去不符合题意的解。
【解析】
∵实数m、n满足$m^2 - am + 1 = 0$，$n^2 - an + 1 = 0$，且$m≠n$，
∴m、n是一元二次方程$x^2 - ax + 1 = 0$的两个不相等的实数根，
∴由根与系数的关系得：$m + n = a$，$mn = 1$，且判别式$\Delta = a^2 - 4 ＞ 0$。
将$(m - 1)^2 + (n - 1)^2 = 3$展开整理：
左边$= m^2 - 2m + 1 + n^2 - 2n + 1$
$= (m^2 + n^2) - 2(m + n) + 2$
$= (m + n)^2 - 2mn - 2(m + n) + 2$，
代入等式得：$(m + n)^2 - 2mn - 2(m + n) + 2 = 3$，
把$m + n = a$，$mn = 1$代入上式：
$a^2 - 2×1 - 2a + 2 = 3$，
化简得：$a^2 - 2a - 3 = 0$，
解得：$a_1 = 3$，$a_2 = -1$。
检验：当$a = -1$时，$\Delta = (-1)^2 - 4 = -3 ＜ 0$，方程无实数根，不符合题意，舍去；
当$a = 3$时，$\Delta = 3^2 - 4 = 5 ＞ 0$，符合题意。
∴$a = 3$。
【答案】
$a=3$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式变形
【点评】
本题的核心是将两个结构相同的等式转化为一元二次方程的两根问题，结合韦达定理简化运算，解题时要注意一元二次方程有两个不等实根的前提，需对求出的参数值进行检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
首先观察已知条件，m和n满足同一个一元二次方程且m≠n，因此可将m、n看作一元二次方程$x^2 -ax +1=0$的两个不相等的实数根，结合根与系数的关系（韦达定理）可得到m+n与mn的表达式。接下来将给定的等式$(m - 1)^2 + (n - 1)^2 = 3$展开，通过完全平方公式的变形，将其转化为仅含m+n和mn的代数式，代入韦达定理的结果即可得到关于a的方程，求解后需要结合一元二次方程有两个不等实根的条件（判别式Δ＞0）对a的取值进行检验，舍去不符合题意的解。
【解析】
∵实数m、n满足$m^2 - am + 1 = 0$，$n^2 - an + 1 = 0$，且$m≠n$，
∴m、n是一元二次方程$x^2 - ax + 1 = 0$的两个不相等的实数根，
∴由根与系数的关系得：$m + n = a$，$mn = 1$，且判别式$\Delta = a^2 - 4 ＞ 0$。
将$(m - 1)^2 + (n - 1)^2 = 3$展开整理：
左边$= m^2 - 2m + 1 + n^2 - 2n + 1$
$= (m^2 + n^2) - 2(m + n) + 2$
$= (m + n)^2 - 2mn - 2(m + n) + 2$，
代入等式得：$(m + n)^2 - 2mn - 2(m + n) + 2 = 3$，
把$m + n = a$，$mn = 1$代入上式：
$a^2 - 2×1 - 2a + 2 = 3$，
化简得：$a^2 - 2a - 3 = 0$，
解得：$a_1 = 3$，$a_2 = -1$。
检验：当$a = -1$时，$\Delta = (-1)^2 - 4 = -3 ＜ 0$，方程无实数根，不符合题意，舍去；
当$a = 3$时，$\Delta = 3^2 - 4 = 5 ＞ 0$，符合题意。
∴$a = 3$。
【答案】
$a=3$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式变形
【点评】
本题的核心是将两个结构相同的等式转化为一元二次方程的两根问题，结合韦达定理简化运算，解题时要注意一元二次方程有两个不等实根的前提，需对求出的参数值进行检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
14. 已知关于$x$的方程$x^2 -6x +2m -1=0$有两个实数根$x_1$，$x_2$.
（1）若$x_1=1$，求$x_2$及$m$的值.
（2）是否存在实数$m$，满足$(x_1 -1)(x_2 -1)=\frac{6}{m-5}$？若存在，求出$m$的值；若不存在，请说明理由.
（1）若$x_1=1$，求$x_2$及$m$的值.
（2）是否存在实数$m$，满足$(x_1 -1)(x_2 -1)=\frac{6}{m-5}$？若存在，求出$m$的值；若不存在，请说明理由.
答案
14. (1) $x_2=5$，$m=3$ (2) 存在，$m$的值为$2$
解析
【分析】
（1）已知方程的一个根，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先由两根之和求出另一个根，再由两根之积求出m的值，用韦达定理计算更简便。
（2）要判断是否存在满足条件的m，首先根据方程有两个实数根，由根的判别式求出m的取值范围，同时注意分式分母不为0的限制；再将等式左边的式子展开，用韦达定理替换为含m的表达式，建立关于m的方程求解，最后检验解是否符合之前的取值范围即可。
【解析】
（1）对于一元二次方程$x^2 -6x +2m -1=0$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=6$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-1$
已知$x_1=1$，代入两根和的公式得：$1+x_2=6$，解得$x_2=5$
再代入两根积的公式得：$1×5=2m-1$，解得$m=3$
（2）存在，理由如下：
首先，方程有两个实数根，所以判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(-6)^2-4×1×(2m-1)=36-8m+4=40-8m≥0$，解得$m≤5$
又因为分式$\frac{6}{m-5}$的分母不为0，所以$m-5≠0$，即$m＜5$
将$(x_1 -1)(x_2 -1)$展开得：$x_1x_2-(x_1+x_2)+1$
把$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=2m-1$代入上式得：
$(2m-1)-6+1=2m-6$
根据题意列方程：$2m-6=\frac{6}{m-5}$
方程两边同乘$(m-5)$（$m≠5$）得：$2(m-3)(m-5)=6$
整理得：$m^2-8m+12=0$
因式分解得：$(m-2)(m-6)=0$，解得$m_1=2$，$m_2=6$
结合之前得到的$m＜5$的范围，$m=6$不符合要求，舍去，故$m=2$
【答案】
(1) $x_2=5$，$m=3$；(2) 存在，$m$的值为$2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，分式方程求解检验
【点评】
本题是一元二次方程根的相关性质的综合应用，解题时需注意先通过判别式确定参数的取值范围，求解分式方程后要验证所得解是否符合取值范围及分母不为0的要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
（1）已知方程的一个根，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先由两根之和求出另一个根，再由两根之积求出m的值，用韦达定理计算更简便。
（2）要判断是否存在满足条件的m，首先根据方程有两个实数根，由根的判别式求出m的取值范围，同时注意分式分母不为0的限制；再将等式左边的式子展开，用韦达定理替换为含m的表达式，建立关于m的方程求解，最后检验解是否符合之前的取值范围即可。
【解析】
（1）对于一元二次方程$x^2 -6x +2m -1=0$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=6$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-1$
已知$x_1=1$，代入两根和的公式得：$1+x_2=6$，解得$x_2=5$
再代入两根积的公式得：$1×5=2m-1$，解得$m=3$
（2）存在，理由如下：
首先，方程有两个实数根，所以判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(-6)^2-4×1×(2m-1)=36-8m+4=40-8m≥0$，解得$m≤5$
又因为分式$\frac{6}{m-5}$的分母不为0，所以$m-5≠0$，即$m＜5$
将$(x_1 -1)(x_2 -1)$展开得：$x_1x_2-(x_1+x_2)+1$
把$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=2m-1$代入上式得：
$(2m-1)-6+1=2m-6$
根据题意列方程：$2m-6=\frac{6}{m-5}$
方程两边同乘$(m-5)$（$m≠5$）得：$2(m-3)(m-5)=6$
整理得：$m^2-8m+12=0$
因式分解得：$(m-2)(m-6)=0$，解得$m_1=2$，$m_2=6$
结合之前得到的$m＜5$的范围，$m=6$不符合要求，舍去，故$m=2$
【答案】
(1) $x_2=5$，$m=3$；(2) 存在，$m$的值为$2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，分式方程求解检验
【点评】
本题是一元二次方程根的相关性质的综合应用，解题时需注意先通过判别式确定参数的取值范围，求解分式方程后要验证所得解是否符合取值范围及分母不为0的要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
15. 已知实数 $a$，$b$，$c$ 满足 $a+b+c=0$，$abc=16$，求正数 $c$ 的最小值.（提示：将 $a$，$b$ 看作一元二次方程的两个根，利用韦达定理构造含 $c$ 的方程）
答案
15. 由$a+b+c=0$，$abc=16$，得$a+b=-c$，$ab=\frac{16}{c}$，所以$a,b$是$x^2 +cx +\frac{16}{c}=0$的根，$\therefore c^2 -4· \frac{16}{c}＞0$，即$c^2 -\frac{64}{c}\ge0$，$\because c＞0$，$\therefore c^3\ge64$，$\therefore c\ge4$。所以$c$的最小值是4
解析
【分析】
解题思路：首先从已知的$a+b+c=0$和$abc=16$出发，将$a+b$和$ab$用含正数$c$的代数式表示；再逆用韦达定理，把$a$、$b$看作某一元二次方程的两个实数根，构造出含参数$c$的一元二次方程；接着根据一元二次方程有实根的条件是判别式非负，列出关于$c$的不等式；最后结合$c$是正数的条件解不等式，得到$c$的取值范围，即可求出$c$的最小值。
【解析】
解：$\because a+b+c=0$，$abc=16$，且$c$为正数
$\therefore a+b=-c$，$ab=\frac{16}{c}$
由韦达定理可知，$a$、$b$是一元二次方程$x^2 + cx + \frac{16}{c}=0$的两个实数根
$\because$该方程有两个实数根
$\therefore$判别式$\Delta = c^2 - 4×1×\frac{16}{c} ≥ 0$
整理得：$c^2 - \frac{64}{c} ≥ 0$
$\because c＞0$，不等式两边同时乘$c$，不等号方向不变，可得$c^3 ≥ 64$
解得$c ≥ 4$
$\therefore$正数$c$的最小值为4
【答案】
4
【知识点】
韦达定理，根的判别式，解不等式
【点评】
本题是韦达定理应用的典型题型，通过构造一元二次方程，将求最值的问题转化为解不等式的问题，核心是用待求量$c$表示出另外两个变量的和与积，再结合根的判别式建立不等关系，考查了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先从已知的$a+b+c=0$和$abc=16$出发，将$a+b$和$ab$用含正数$c$的代数式表示；再逆用韦达定理，把$a$、$b$看作某一元二次方程的两个实数根，构造出含参数$c$的一元二次方程；接着根据一元二次方程有实根的条件是判别式非负，列出关于$c$的不等式；最后结合$c$是正数的条件解不等式，得到$c$的取值范围，即可求出$c$的最小值。
【解析】
解：$\because a+b+c=0$，$abc=16$，且$c$为正数
$\therefore a+b=-c$，$ab=\frac{16}{c}$
由韦达定理可知，$a$、$b$是一元二次方程$x^2 + cx + \frac{16}{c}=0$的两个实数根
$\because$该方程有两个实数根
$\therefore$判别式$\Delta = c^2 - 4×1×\frac{16}{c} ≥ 0$
整理得：$c^2 - \frac{64}{c} ≥ 0$
$\because c＞0$，不等式两边同时乘$c$，不等号方向不变，可得$c^3 ≥ 64$
解得$c ≥ 4$
$\therefore$正数$c$的最小值为4
【答案】
4
【知识点】
韦达定理，根的判别式，解不等式
【点评】
本题是韦达定理应用的典型题型，通过构造一元二次方程，将求最值的问题转化为解不等式的问题，核心是用待求量$c$表示出另外两个变量的和与积，再结合根的判别式建立不等关系，考查了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
