1. 韦达定理：若方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根$x_1$，$x_2$，则$x_1+x_2=$，$x_1· x_2=$。

1. $-\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$

【分析】
这道题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的基本结论，解题时可结合一元二次方程求根公式推导结果：首先明确方程有两个实数根时判别式$\Delta≥0$，写出两个根的求根公式表达式，再分别计算两根之和、两根之积，化简后即可得到对应结论。
【解析】
当一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根时，判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，此时两根分别为：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
2. 计算两根之积：
根据平方差公式计算分子，$x_1·x_2=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{(2a)^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$
【答案】
$-\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$
【知识点】
韦达定理；一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对韦达定理内容的识记与理解，掌握推导过程能避免记错公式符号，是运用根与系数关系解决复杂问题的基础。
【难度系数】
0.9

2. 已知方程$2x^2 - bx - 10 = 0$的一个根是-5，则方程的另一个根是。

2. 1

【分析】
本题已知一元二次方程的一个根求另一个根，可从两个方向思考：① 利用方程根的定义，将已知根代入方程求出未知系数b，再解方程得到另一个根；② 直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过两根之积的公式计算另一个根，第二种方法无需计算系数，解题更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的两个根为$x_1=-5$，$x_2$为待求根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积满足$x_1· x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=2$，$c=-10$，代入得：$-5· x_2=\frac{-10}{2}=-5$
解得：$x_2=1$
方法二（代入求系数法）：
将$x=-5$代入原方程$2x^2 - bx -10=0$，得：
$2×(-5)^2 - b×(-5) -10=0$
计算得：$50 +5b -10=0$，解得$b=-8$
原方程化为$2x^2 +8x -10=0$，化简为$x^2+4x-5=0$
因式分解得$(x+5)(x-1)=0$，解得$x=-5$或$x=1$
因此另一个根为1
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用，两种解题方法都需要熟练掌握，优先使用韦达定理可减少计算量，提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8

3. 已知方程$x^2 + 3x -1=0$的两根分别为$x_1$，$x_2$，则$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$的值为。

3. 3

【分析】
要求两个根的倒数和，首先可先对代数式$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$进行通分化简，变形为包含两根之和、两根之积的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出方程的两根之和与两根之积，代入化简后的式子即可计算出结果，不需要单独求解方程的两根，能简化运算。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 + 3x -1=0$的二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
两根之和 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{1} = -3$，
两根之积 $x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$。
对所求代数式通分化简：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$，
将$x_1 + x_2=-3$，$x_1x_2=-1$代入上式，得：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{-3}{-1} = 3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；分式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题的核心是先将所求代数式转化为用两根之和、两根之积表达的形式，再代入计算，能有效避免求解方程根的繁琐运算，是该章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

4. 下列一元二次方程的两个实数根之和为－4 的是 （）

A.$x^2 + 2x - 4 = 0$
B.$x^2 - 4x + 4 = 0$
C.$x^2 + 4x + 10 = 0$
D.$x^2 + 4x - 5 = 0$

4. D

【分析】
要选出两个实数根之和为-4的一元二次方程，需按两步判断各选项：①先验证方程是否存在两个实数根：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，只有当判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$时，才有两个实数根，否则直接排除；②对有实根的方程，根据根与系数的关系（韦达定理），两根之和为$-\frac{b}{a}$，计算后找到和为-4的选项即可。注意不能跳过判别式直接计算两根之和，否则容易误选无实根的选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^2-4ac$，有两个实根时满足$\Delta ≥0$，两根之和为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，逐一分析选项：
A. 方程$x^2 + 2x - 4 = 0$中，$a=1,b=2,c=-4$，$\Delta=2^2-4×1×(-4)=20＞0$，两根之和为$-\frac{2}{1}=-2≠-4$，不符合要求；
B. 方程$x^2 - 4x + 4 = 0$中，$a=1,b=-4,c=4$，$\Delta=(-4)^2-4×1×4=0$，两根之和为$-\frac{(-4)}{1}=4≠-4$，不符合要求；
C. 方程$x^2 + 4x + 10 = 0$中，$a=1,b=4,c=10$，$\Delta=4^2-4×1×10=-24＜0$，无实数根，不符合要求，直接排除；
D. 方程$x^2 + 4x - 5 = 0$中，$a=1,b=4,c=-5$，$\Delta=4^2-4×1×(-5)=36＞0$，两根之和为$-\frac{4}{1}=-4$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是根与系数关系的常见基础题型，解题的易错点是忽略“方程有两个实数根”的前提，直接套用韦达定理计算错选C，解题时要养成先判断根的存在性再计算根与系数关系的习惯。
【难度系数】
0.7

5. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x -5=0$，下列说法正确的是（）

A.方程没有实数根
B.方程有两个相等的实数根
C.方程有两个不相等的实数根，且两根之和为2
D.方程有两个不相等的实数根，且两根之积为$-5$

5. D

【分析】
要判断一元二次方程根的情况及根与系数的相关结论是否正确，解题分两步进行：第一步先通过根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的个数，排除不符合的选项；第二步利用一元二次方程根与系数的关系计算两根之和、两根之积，验证剩余选项即可得出答案。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a\ne0)$，本题中方程为$x^2 + 2x -5=0$，可得$a=1$，$b=2$，$c=-5$。
1. 判断根的情况：
计算判别式$\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4×1×(-5) = 4 + 20 = 24＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，A、B选项错误。
2. 利用根与系数的关系计算：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，因此C选项“两根之和为2”的说法错误；
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{1}=-5$，因此D选项说法正确。
综上本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的判别式、根与系数关系公式的应用，解题时需注意两根之和的符号不要混淆，代入系数计算时不要漏看负号。
【难度系数】
0.8

6. 已知关于$x$的方程$x^2 + 6x - k = 0$的两根分别是$x_1$，$x_2$，且$x_1 + x_2 - x_1x_2 = -9$，则$k$的值是（）

A.1
B.2
C.$-3$
D.$-4$

6. C

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程一般式$ax^2+bx+c=0$中各项的系数$a$、$b$、$c$；第二步，根据韦达定理写出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$的表达式；第三步，将其代入已知的等量关系$x_1+x_2 -x_1x_2=-9$，得到关于$k$的一元一次方程；第四步，解方程求出$k$的值，最后可验证判别式确保方程有两个实根即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 6x - k = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=6$，常数项$c=-k$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -6$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -k$。
将上述结果代入已知条件$x_1 + x_2 - x_1x_2 = -9$，得：
$-6 - (-k) = -9$
化简得：$-6 + k = -9$
解得：$k = -9 + 6 = -3$。
验证：当$k=-3$时，方程的判别式$\Delta = 6^2 - 4×1×(-k) = 36 + 4×(-3) = 24 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
因此$k$的值为$-3$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心是对韦达定理的直接应用，解题时要注意两根之积的符号不要记错，求出结果后可通过判别式验证结果的合理性。
【难度系数】
0.8

7. 已知$m$，$n$是方程$x^2 +5x -2=0$的两个实数根，则$m^2 +6m +n -2mn$的值为 （）

A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$5$

7. B

【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将m代入方程得到m²+5m的取值，对所求代数式中的m²降次，把原式转化为含两根之和m+n、两根之积mn的形式，再结合根与系数的关系（韦达定理）求出m+n和mn的值，整体代入计算即可得到结果，不需要单独求解m、n的具体取值。
【解析】
解：
∵ m是方程$x^2 +5x -2=0$的实数根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 +5m -2=0$，即$m^2 +5m=2$。
又
∵ m，n是方程$x^2 +5x -2=0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$m+n=-\frac{5}{1}=-5$，$mn=\frac{-2}{1}=-2$。
对所求代数式变形：
$m^2 +6m +n -2mn=(m^2 +5m)+(m+n)-2mn$
将$m^2 +5m=2$、$m+n=-5$、$mn=-2$代入上式得：
原式$=2 + (-5) - 2×(-2)=2-5+4=1$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系（韦达定理），代数式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心考查整体代入的数学思想，通过根的定义降次、结合韦达定理整体代入的方法，可大幅简化计算，避免求解方程根的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7

8. 若关于$x$的方程$x^2 - 2(1 - k)x + k^2 = 0$有实数根$m$和$n$，则$m+n$的取值范围是 （）

A.$m+n≥1$
B.$m+n≤1$
C.$m+n≥\frac{1}{2}$
D.$m+n≤\frac{1}{2}$

8. A

【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，方程有两个实数根，说明根的判别式大于等于0，我们可以先据此求出参数k的取值范围；第二步，根据一元二次方程根与系数的关系，写出两根之和m+n关于k的表达式；第三步，结合k的取值范围，推导得到m+n的取值范围即可。
【解析】
∵ 关于x的方程$x^2 - 2(1 - k)x + k^2 = 0$有实数根m和n
∴ 根的判别式$\Delta ≥ 0$，即：
$\Delta = [-2(1 - k)]^2 - 4 × 1 × k^2 ≥ 0$
展开化简得：
$4(1 - 2k + k^2) - 4k^2 ≥ 0$
$4 - 8k + 4k^2 - 4k^2 ≥ 0$
$4 - 8k ≥ 0$
解得：$k ≤ \frac{1}{2}$
根据根与系数的关系，两根之和$m + n = -\frac{b}{a}$，其中$a=1$，$b=-2(1-k)$，代入得：
$m + n = 2(1 - k) = 2 - 2k$
∵ $k ≤ \frac{1}{2}$，不等式两边同时乘$-2$，不等号方向改变，得$-2k ≥ -1$
两边同时加2得：$2 - 2k ≥ 2 - 1 = 1$
即$m + n ≥ 1$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，不等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的综合应用题，解题的关键是先通过判别式确定参数k的取值范围，再结合根与系数的关系转化为两根和的范围，要注意解不等式时两边乘负数，不等号方向需要改变，避免计算错误。
【难度系数】
0.7

写出一个一般形式的一元二次方程，其两根分别是$2+\sqrt{2}$，$2-\sqrt{2}$：

9. $x^2 -4x +2=0$

【分析】
要构造两根分别为$2+\sqrt{2}$、$2-\sqrt{2}$的一元二次方程，有两种常用思路：思路1：根据因式分解法解一元二次方程的逆过程，若方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可写为$(x-x_1)(x-x_2)=0$，展开整理即可得到一般形式；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系，先计算两根之和与两根之积，再代入二次项系数为1的一元二次方程形式$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$，即可快速得到所求方程。
【解析】
设方程的两根为$x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$，先计算两根之和与两根之积：
1. 计算两根和：$x_1+x_2=(2+\sqrt{2})+(2-\sqrt{2})=4$
2. 计算两根积：根据平方差公式，$x_1x_2=(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})=2^2-(\sqrt{2})^2=4-2=2$
根据根与系数的关系，二次项系数为1的一元二次方程的一般形式为$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$，将上述结果代入得：
$x^2-4x+2=0$
【答案】
$x^2 -4x +2=0$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 二次根式的运算 3. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是已知方程两根构造一元二次方程的基础题型，熟练运用根与系数的关系可大幅提升解题效率，计算两根乘积时可借助平方差公式简化运算，要注意避免符号计算错误。
【难度系数】
0.8

11. 不解方程，判断下列方程是否有实数根，若有，求两根的和与两根的积：
(1) $2x^2 - 4\sqrt{3}x + 3 = 0$；
(2) $3x^2 = x(x + 1)$。

11. (1) 由$a=2$，$b=-4\sqrt{3}$，$c=3$，$\Delta=b^2-4ac=24＞0$，可得原方程有两个不相等的实数根。设方程的两根分别是$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=2\sqrt{3}$，$x_1· x_2=\frac{3}{2}$
(2) 把方程$3x^2=x(x+1)$化成一般形式，得$2x^2 -x=0$。由$a=2$，$b=-1$，$c=0$，$\Delta=b^2-4ac=1＞0$，可得原方程有两个不相等的实数根。设方程的两根分别是$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=\frac{1}{2}$，$x_1· x_2=0$

【分析】
要解决这类问题，首先需明确解题逻辑：第一步先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定系数$a、b、c$；第二步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta＜0$则方程无实数根，若$\Delta≥0$则方程有实数根；第三步若方程有实根，可直接用韦达定理（根与系数的关系）计算，两根和为$-\frac{b}{a}$，两根积为$\frac{c}{a}$。本题第(1)问已为一般形式，可直接计算；第(2)问需先化简整理为一般形式再按步骤求解。
【解析】
(1) 方程$2x^2 - 4\sqrt{3}x + 3 = 0$为一元二次方程一般形式，得$a=2$，$b=-4\sqrt{3}$，$c=3$。
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-4\sqrt{3})^2-4×2×3=48-24=24＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
设方程两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，$x_1·x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$。
(2) 先将$3x^2 = x(x + 1)$化为一般形式：去括号得$3x^2=x^2+x$，移项合并同类项得$2x^2 -x=0$，得$a=2$，$b=-1$，$c=0$。
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×2×0=1＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
设方程两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}$，$x_1·x_2=\frac{c}{a}=\frac{0}{2}=0$。
【答案】
(1) 原方程有两个不相等的实数根，$x_1+x_2=2\sqrt{3}$，$x_1· x_2=\frac{3}{2}$
(2) 原方程有两个不相等的实数根，$x_1+x_2=\frac{1}{2}$，$x_1· x_2=0$
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程化简
【点评】
本题属于基础应用题型，核心要求是熟练掌握根的判别式的判断规则和韦达定理的公式，解题时要注意必须先将方程化为一般形式确定系数，且确认方程有实根后才能套用韦达定理计算两根的和与积。
【难度系数】
0.8