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10. 已知关于$x$的方程$mx^2 -4x +4=0$有实数根，则$m$的取值范围为
$m≤1$
。答案
10. $m≤1$
解析
【分析】
这道题考查含参数的方程有实根的参数范围求解，解题时首先注意方程的二次项系数含参数m，需分两种情况讨论：①当m=0时，方程为一元一次方程，直接判断是否有实根；②当m≠0时，方程为一元二次方程，此时需满足根的判别式Δ≥0，求解出对应m的范围，最后合并两种情况的结果，即可得到m的最终取值范围。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$m=0$时，原方程化简为$-4x+4=0$，解得$x=1$，方程有实数根，符合题意；
2. 当$m≠0$时，原方程为一元二次方程，若方程有实数根，则根的判别式$\Delta ≥ 0$。
其中$a=m$，$b=-4$，$c=4$，代入判别式公式得：
$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4× m×4 = 16-16m$
令$\Delta ≥ 0$，即$16-16m≥0$，解得$m≤1$，结合$m≠0$的前提，此时$m$的取值范围为$m≤1$且$m≠0$。
综合两种情况，可得$m$的取值范围是$m≤1$。
【答案】
$m≤1$
【知识点】
1. 分类讨论思想 2. 一元二次方程根的判别式 3. 一元一次方程的解
【点评】
本题易错点是忽略二次项系数为0的情况，直接将方程当作一元二次方程求解，得到错误的$m≤1$且$m≠0$的结论。遇到二次项系数含参数的方程问题时，要先判断方程类型，分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
这道题考查含参数的方程有实根的参数范围求解，解题时首先注意方程的二次项系数含参数m，需分两种情况讨论：①当m=0时，方程为一元一次方程，直接判断是否有实根；②当m≠0时，方程为一元二次方程，此时需满足根的判别式Δ≥0，求解出对应m的范围，最后合并两种情况的结果，即可得到m的最终取值范围。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$m=0$时，原方程化简为$-4x+4=0$，解得$x=1$，方程有实数根，符合题意；
2. 当$m≠0$时，原方程为一元二次方程，若方程有实数根，则根的判别式$\Delta ≥ 0$。
其中$a=m$，$b=-4$，$c=4$，代入判别式公式得：
$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4× m×4 = 16-16m$
令$\Delta ≥ 0$，即$16-16m≥0$，解得$m≤1$，结合$m≠0$的前提，此时$m$的取值范围为$m≤1$且$m≠0$。
综合两种情况，可得$m$的取值范围是$m≤1$。
【答案】
$m≤1$
【知识点】
1. 分类讨论思想 2. 一元二次方程根的判别式 3. 一元一次方程的解
【点评】
本题易错点是忽略二次项系数为0的情况，直接将方程当作一元二次方程求解，得到错误的$m≤1$且$m≠0$的结论。遇到二次项系数含参数的方程问题时，要先判断方程类型，分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
11. 已知矩形ABCD的一条边长为3，对角线AC，BD的长是关于x的方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 9 = 0$的两个根，则矩形ABCD的面积为
$12$
.答案
11. 12
解析
【分析】
解题时先结合矩形的性质分析：矩形的两条对角线长度相等，因此题中关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，可先通过根的判别式Δ=0求出参数m的值；再将m代回方程求出对角线的长度；最后结合已知的矩形边长，用勾股定理求出另一条边长，即可计算矩形面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴对角线AC=BD，
∴关于x的方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 9 = 0$有两个相等的实数根，
根据一元二次方程根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=1$，$b=-2(m+1)$，$c=m^2+9$，可得：
$\Delta = [-2(m+1)]^2 - 4×1×(m^2+9) = 4(m^2+2m+1) - 4m^2 - 36 = 8m - 32$
令$\Delta=0$，即$8m - 32 = 0$，解得$m=4$。
将$m=4$代入原方程，得$x^2 - 10x + 25 = 0$，
解方程得$x_1=x_2=5$，即矩形的对角线长为5。
已知矩形一条边长为3，设另一条边长为$a$（$a＞0$），由勾股定理得：
$a^2 + 3^2 = 5^2$，解得$a^2=16$，$a=4$（负根舍去）。
∴矩形ABCD的面积为$3×4=12$。
【答案】
12
【知识点】
矩形的性质；一元二次方程根的判别式；勾股定理
【点评】
本题是几何性质与代数方程的综合基础题，解题的核心是利用矩形对角线相等的特征，将几何问题转化为一元二次方程根的分布问题，再结合勾股定理求解，侧重考查基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合矩形的性质分析：矩形的两条对角线长度相等，因此题中关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，可先通过根的判别式Δ=0求出参数m的值；再将m代回方程求出对角线的长度；最后结合已知的矩形边长，用勾股定理求出另一条边长，即可计算矩形面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴对角线AC=BD，
∴关于x的方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 9 = 0$有两个相等的实数根，
根据一元二次方程根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=1$，$b=-2(m+1)$，$c=m^2+9$，可得：
$\Delta = [-2(m+1)]^2 - 4×1×(m^2+9) = 4(m^2+2m+1) - 4m^2 - 36 = 8m - 32$
令$\Delta=0$，即$8m - 32 = 0$，解得$m=4$。
将$m=4$代入原方程，得$x^2 - 10x + 25 = 0$，
解方程得$x_1=x_2=5$，即矩形的对角线长为5。
已知矩形一条边长为3，设另一条边长为$a$（$a＞0$），由勾股定理得：
$a^2 + 3^2 = 5^2$，解得$a^2=16$，$a=4$（负根舍去）。
∴矩形ABCD的面积为$3×4=12$。
【答案】
12
【知识点】
矩形的性质；一元二次方程根的判别式；勾股定理
【点评】
本题是几何性质与代数方程的综合基础题，解题的核心是利用矩形对角线相等的特征，将几何问题转化为一元二次方程根的分布问题，再结合勾股定理求解，侧重考查基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
12. 不解方程，判别下列方程根的情况：
(1) $x^2 -4x +3=0$；
(2) $3x^2 -2x +1=0$；
(3) $3x(x-8)=-48$。
(1) $x^2 -4x +3=0$；
(2) $3x^2 -2x +1=0$；
(3) $3x(x-8)=-48$。
答案
12. (1) $\Delta=4＞0$，有两个不相等的实数根；(2) $\Delta=-8＜0$，无实数根；(3) $\Delta=0$，有两个相等的实数根。
解析
【分析】
不解方程判别一元二次方程根的情况，核心是使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$判断：首先需将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确找出对应系数$a$、$b$、$c$，代入判别式计算后根据结果判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。第三小题不是一般形式，需要先去括号、移项整理为一般形式再计算。
【解析】
(1) 方程$x^2 -4x +3=0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-4$，$c=3$，
代入判别式得：$\Delta = (-4)^2 - 4×1×3 = 16-12=4＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
(2) 方程$3x^2 -2x +1=0$为一般形式，其中$a=3$，$b=-2$，$c=1$，
代入判别式得：$\Delta = (-2)^2 - 4×3×1 =4-12=-8＜0$，
因此方程无实数根。
(3) 先整理方程：
展开左边得$3x^2 -24x = -48$，
移项化为一般形式：$3x^2 -24x +48=0$，其中$a=3$，$b=-24$，$c=48$，
代入判别式得：$\Delta = (-24)^2 - 4×3×48 = 576 - 576=0$，
因此方程有两个相等的实数根。
【答案】
(1) $\Delta=4＞0$，有两个不相等的实数根；(2) $\Delta=-8＜0$，无实数根；(3) $\Delta=0$，有两个相等的实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题时需注意先将非标准形式的方程化为一般形式，确定系数时不要遗漏符号，代入判别式计算时要准确，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
不解方程判别一元二次方程根的情况，核心是使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$判断：首先需将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确找出对应系数$a$、$b$、$c$，代入判别式计算后根据结果判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。第三小题不是一般形式，需要先去括号、移项整理为一般形式再计算。
【解析】
(1) 方程$x^2 -4x +3=0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-4$，$c=3$，
代入判别式得：$\Delta = (-4)^2 - 4×1×3 = 16-12=4＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
(2) 方程$3x^2 -2x +1=0$为一般形式，其中$a=3$，$b=-2$，$c=1$，
代入判别式得：$\Delta = (-2)^2 - 4×3×1 =4-12=-8＜0$，
因此方程无实数根。
(3) 先整理方程：
展开左边得$3x^2 -24x = -48$，
移项化为一般形式：$3x^2 -24x +48=0$，其中$a=3$，$b=-24$，$c=48$，
代入判别式得：$\Delta = (-24)^2 - 4×3×48 = 576 - 576=0$，
因此方程有两个相等的实数根。
【答案】
(1) $\Delta=4＞0$，有两个不相等的实数根；(2) $\Delta=-8＜0$，无实数根；(3) $\Delta=0$，有两个相等的实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题时需注意先将非标准形式的方程化为一般形式，确定系数时不要遗漏符号，代入判别式计算时要准确，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
13. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + (2k + 1)x + k^2 = 0 $ 有两个不相等的实数根.
（1）求 $ k $ 的取值范围.
（2）证明：无论 $ k $ 取何值，$ x = 2 $ 都不可能是原方程的根.
（1）求 $ k $ 的取值范围.
（2）证明：无论 $ k $ 取何值，$ x = 2 $ 都不可能是原方程的根.
答案
13. (1) $k＞-\dfrac{1}{4}$
(2) 将 $x=2$ 代入原方程，得 $4+2(2k+1)+k^2=0$，整理得 $k^2+4k+6=0$，$\therefore\Delta=b^2-4ac=-8＜0$，$\therefore$ 方程 $k^2+4k+6=0$ 无解，$\therefore$ 无论 $k$ 取何值，$x=2$ 都不可能是原方程的根。
(2) 将 $x=2$ 代入原方程，得 $4+2(2k+1)+k^2=0$，整理得 $k^2+4k+6=0$，$\therefore\Delta=b^2-4ac=-8＜0$，$\therefore$ 方程 $k^2+4k+6=0$ 无解，$\therefore$ 无论 $k$ 取何值，$x=2$ 都不可能是原方程的根。
解析
【分析】
（1）题目给出一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根。我们先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入Δ=b²-4ac得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围。
（2）要证明x=2不可能是原方程的根，可先假设x=2是原方程的根，将x=2代入原方程得到关于k的一元二次方程，再计算这个新方程的判别式，若判别式小于0，说明不存在满足条件的实数k，即可证明结论成立。
【解析】
（1）解：
∵ 关于x的方程$x^2 + (2k + 1)x + k^2 = 0$有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1$，$b=2k+1$，$c=k^2$，代入得：
$\Delta = (2k+1)^2 - 4×1× k^2$
$=4k^2 + 4k +1 -4k^2$
$=4k +1$
∴ $4k +1 ＞ 0$
解得：$k ＞ -\dfrac{1}{4}$
（2）证明：将$x=2$代入原方程，得：
$4 + 2(2k+1) + k^2 = 0$
整理得：$k^2 +4k +6 =0$
计算该方程的判别式：
$\Delta = 4^2 - 4×1×6 =16 -24 = -8 ＜0$
∴ 方程$k^2 +4k +6 =0$无实数解，即不存在实数k使得x=2是原方程的根
∴ 无论k取何值，$x=2$都不可能是原方程的根。
【答案】
(1) $k＞-\dfrac{1}{4}$
(2) 无论$k$取何值，$x=2$都不可能是原方程的根，证明如上。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，方程的根的定义，解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，第一问直接考查根的判别式与根的个数的对应关系，解题时要注意判别式符号的选择；第二问采用代入验证的思路，将问题转化为新方程有无实根的判断，侧重对基础概念的掌握。
【难度系数】
0.85
（1）题目给出一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根。我们先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入Δ=b²-4ac得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围。
（2）要证明x=2不可能是原方程的根，可先假设x=2是原方程的根，将x=2代入原方程得到关于k的一元二次方程，再计算这个新方程的判别式，若判别式小于0，说明不存在满足条件的实数k，即可证明结论成立。
【解析】
（1）解：
∵ 关于x的方程$x^2 + (2k + 1)x + k^2 = 0$有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1$，$b=2k+1$，$c=k^2$，代入得：
$\Delta = (2k+1)^2 - 4×1× k^2$
$=4k^2 + 4k +1 -4k^2$
$=4k +1$
∴ $4k +1 ＞ 0$
解得：$k ＞ -\dfrac{1}{4}$
（2）证明：将$x=2$代入原方程，得：
$4 + 2(2k+1) + k^2 = 0$
整理得：$k^2 +4k +6 =0$
计算该方程的判别式：
$\Delta = 4^2 - 4×1×6 =16 -24 = -8 ＜0$
∴ 方程$k^2 +4k +6 =0$无实数解，即不存在实数k使得x=2是原方程的根
∴ 无论k取何值，$x=2$都不可能是原方程的根。
【答案】
(1) $k＞-\dfrac{1}{4}$
(2) 无论$k$取何值，$x=2$都不可能是原方程的根，证明如上。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，方程的根的定义，解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，第一问直接考查根的判别式与根的个数的对应关系，解题时要注意判别式符号的选择；第二问采用代入验证的思路，将问题转化为新方程有无实根的判断，侧重对基础概念的掌握。
【难度系数】
0.85
14. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 3x^2 + (3k + 1)x - 2(k + 1) = 0 $.
（1）证明：无论 $ k $ 为何值，该方程总有实数根.
（2）若该方程的实数根有一个是正整数，求 $ k $ 的最大值.
（1）证明：无论 $ k $ 为何值，该方程总有实数根.
（2）若该方程的实数根有一个是正整数，求 $ k $ 的最大值.
答案
14. (1) $\Delta=(3k+5)^2$，因为 $(3k+5)^2≥0$，故 $\Delta≥0$，所以该方程总有实数根
(2) $x=-\dfrac{3k+1}{6}\pm\dfrac{3k+5}{6}$，$\therefore x_1=\dfrac{2}{3}$，$x_2=-k-1$，可知 $-k-1＞0$，即 $k＜-1$，$k$ 的最大值是 $-2$
(2) $x=-\dfrac{3k+1}{6}\pm\dfrac{3k+5}{6}$，$\therefore x_1=\dfrac{2}{3}$，$x_2=-k-1$，可知 $-k-1＞0$，即 $k＜-1$，$k$ 的最大值是 $-2$
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程无论k取何值总有实数根，只需计算方程的根的判别式Δ，证明Δ恒大于等于0即可；（2）先利用求根公式求出方程的两个根，根据其中一个根为正整数的条件，判断哪个根可以为正整数，再结合正整数的性质求出k的最大值。
【解析】
（1）在一元二次方程$3x^2 + (3k + 1)x - 2(k + 1) = 0$中，$a=3$，$b=3k+1$，$c=-2(k+1)$，
则判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (3k+1)^2 - 4×3×[-2(k+1)]$
展开计算得：
$\Delta = 9k^2 + 6k + 1 + 24(k+1) = 9k^2 + 6k + 1 + 24k + 24 = 9k^2 + 30k + 25 = (3k+5)^2$
因为任何数的平方都是非负数，即$(3k+5)^2≥0$，也就是$\Delta≥0$，
所以无论$k$为何值，该方程总有实数根。
（2）根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入对应系数可得：
$x=\frac{-(3k+1)\pm(3k+5)}{6}$
分两种情况计算根：
当取加号时，$x_1=\frac{-3k-1+3k+5}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$；
当取减号时，$x_2=\frac{-3k-1-3k-5}{6}=\frac{-6k-6}{6}=-k-1$。
已知方程有一个实数根是正整数，$x_1=\frac{2}{3}$不是正整数，因此只能是$x_2=-k-1$为正整数，
即$-k-1＞0$，解得$k＜-1$。
要使$k$取最大值，需让正整数$-k-1$取最小的正整数值1，此时$-k-1=1$，解得$k=-2$，即k的最大值为-2。
【答案】
（1）无论$k$为何值，该方程总有实数根，证明见解析；（2）$k$的最大值为$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式；2. 公式法解一元二次方程；3. 整数解求值
【点评】
本题第一问是一元二次方程根的判别式的基础应用，掌握判别式与方程根的对应关系即可解答；第二问需要先准确求出方程的根，结合正整数的限定条件分析参数的取值，整体难度适中，需要注意计算过程的准确性。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程无论k取何值总有实数根，只需计算方程的根的判别式Δ，证明Δ恒大于等于0即可；（2）先利用求根公式求出方程的两个根，根据其中一个根为正整数的条件，判断哪个根可以为正整数，再结合正整数的性质求出k的最大值。
【解析】
（1）在一元二次方程$3x^2 + (3k + 1)x - 2(k + 1) = 0$中，$a=3$，$b=3k+1$，$c=-2(k+1)$，
则判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (3k+1)^2 - 4×3×[-2(k+1)]$
展开计算得：
$\Delta = 9k^2 + 6k + 1 + 24(k+1) = 9k^2 + 6k + 1 + 24k + 24 = 9k^2 + 30k + 25 = (3k+5)^2$
因为任何数的平方都是非负数，即$(3k+5)^2≥0$，也就是$\Delta≥0$，
所以无论$k$为何值，该方程总有实数根。
（2）根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入对应系数可得：
$x=\frac{-(3k+1)\pm(3k+5)}{6}$
分两种情况计算根：
当取加号时，$x_1=\frac{-3k-1+3k+5}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$；
当取减号时，$x_2=\frac{-3k-1-3k-5}{6}=\frac{-6k-6}{6}=-k-1$。
已知方程有一个实数根是正整数，$x_1=\frac{2}{3}$不是正整数，因此只能是$x_2=-k-1$为正整数，
即$-k-1＞0$，解得$k＜-1$。
要使$k$取最大值，需让正整数$-k-1$取最小的正整数值1，此时$-k-1=1$，解得$k=-2$，即k的最大值为-2。
【答案】
（1）无论$k$为何值，该方程总有实数根，证明见解析；（2）$k$的最大值为$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式；2. 公式法解一元二次方程；3. 整数解求值
【点评】
本题第一问是一元二次方程根的判别式的基础应用，掌握判别式与方程根的对应关系即可解答；第二问需要先准确求出方程的根，结合正整数的限定条件分析参数的取值，整体难度适中，需要注意计算过程的准确性。
【难度系数】
0.7
15. 如果关于$ x $的一元二次方程$ ax^2 + bx + c = 0 $满足$ a + b + c = 0 $，那么称这样的方程为“美好方程”。例如，方程$ x^2 - 4x + 3 = 0 $，有$ 1 - 4 + 3 = 0 $，这个方程就是“美好方程”。
（1）下列方程是“美好方程”的是________。
① $ x^2 + 2x - 3 = 0 $，② $ x^2 - 3x = 0 $，③ $ x^2 + 1 = 0 $，④ $ x(x - 1) = 2(x - 1) $。
（2）求证：“美好方程”$ ax^2 + bx + c = 0 $总有两个实数根。
（3）若美好方程$ (b - c)x^2 + (c - a)x + (a - b) = 0 $有两个相等的实数根，求证：$ a + c = 2b $。
（1）下列方程是“美好方程”的是________。
① $ x^2 + 2x - 3 = 0 $，② $ x^2 - 3x = 0 $，③ $ x^2 + 1 = 0 $，④ $ x(x - 1) = 2(x - 1) $。
（2）求证：“美好方程”$ ax^2 + bx + c = 0 $总有两个实数根。
（3）若美好方程$ (b - c)x^2 + (c - a)x + (a - b) = 0 $有两个相等的实数根，求证：$ a + c = 2b $。
答案
15. (1) ①④
(2) $\because a+b+c=0$，$\therefore -b=a+c$，$\therefore \Delta=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2≥0$，$\therefore$ 美好方程 $ax^2+bx+c=0$ 总有两个实数根
(3) $\because$ 美好方程 $(b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0$ 有两个相等的实数根，$\therefore (b-c)+(c-a)+(a-b)=0$，$\therefore \Delta=(c-a)^2-4(b-c)(a-b)=0$，$\therefore c^2-2ac+a^2-4ab+4b^2+4ac-4bc=0$，$\therefore c^2+2ac+a^2-4ab-4bc+4b^2=0$，$\therefore (c+a)^2-2(a+c)·(2b)+(2b)^2=0$，$\therefore (c+a-2b)^2=0$，故 $c+a-2b=0$，得 $a+c=2b$
(2) $\because a+b+c=0$，$\therefore -b=a+c$，$\therefore \Delta=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2≥0$，$\therefore$ 美好方程 $ax^2+bx+c=0$ 总有两个实数根
(3) $\because$ 美好方程 $(b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0$ 有两个相等的实数根，$\therefore (b-c)+(c-a)+(a-b)=0$，$\therefore \Delta=(c-a)^2-4(b-c)(a-b)=0$，$\therefore c^2-2ac+a^2-4ab+4b^2+4ac-4bc=0$，$\therefore c^2+2ac+a^2-4ab-4bc+4b^2=0$，$\therefore (c+a)^2-2(a+c)·(2b)+(2b)^2=0$，$\therefore (c+a-2b)^2=0$，故 $c+a-2b=0$，得 $a+c=2b$
解析
【分析】
（1）根据“美好方程”的定义，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$满足$a+b+c=0$，而当$x=1$时，方程左边正好为$a+b+c$，因此只需将$x=1$代入各方程，判断左边是否等于0即可筛选出符合要求的方程；
（2）要证明一元二次方程总有两个实数根，只需证明根的判别式$\Delta ≥ 0$。结合已知$a+b+c=0$，将$b=-(a+c)$代入判别式，化简后得到完全平方的形式，利用平方的非负性即可完成证明；
（3）已知方程有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta = 0$，先写出该方程对应的判别式，再展开化简，通过完全平方公式因式分解，即可推导出$a+c=2b$的结论。
【解析】
（1）逐个验证各方程：
① 对于$x^2 + 2x - 3 = 0$，代入$x=1$，左边$=1^2+2×1-3=0$，满足$a+b+c=0$，是“美好方程”；
② 对于$x^2 - 3x = 0$，代入$x=1$，左边$=1^2-3×1=-2≠0$，不是“美好方程”；
③ 对于$x^2 + 1 = 0$，代入$x=1$，左边$=1^2+1=2≠0$，不是“美好方程”；
④ 先整理$x(x - 1) = 2(x - 1)$为标准形式：$x^2-3x+2=0$，代入$x=1$，左边$=1^2-3×1+2=0$，满足$a+b+c=0$，是“美好方程”；
因此是“美好方程”的为①④。
（2）证明：$\because$ 方程$ax^2 + bx + c = 0$是“美好方程”，$\therefore a+b+c=0$，即$b=-(a+c)$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = [-(a+c)]^2 - 4ac = (a+c)^2 - 4ac = (a-c)^2$，
$\because$ 平方数具有非负性，$\therefore (a-c)^2≥0$，即$\Delta ≥0$，
$\therefore$ “美好方程”$ax^2 + bx + c = 0$总有两个实数根。
（3）证明：$\because$ 方程$(b - c)x^2 + (c - a)x + (a - b) = 0$是“美好方程”，$\therefore (b-c)+(c-a)+(a-b)=0$，符合“美好方程”定义，
又$\because$ 方程有两个相等的实数根，$\therefore$ 判别式$\Delta = 0$，
即$\Delta = (c-a)^2 - 4(b-c)(a-b) = 0$，
展开得：$c^2 - 2ac + a^2 - 4(ab - b^2 - ac + bc) = 0$，
去括号得：$c^2 - 2ac + a^2 - 4ab + 4b^2 + 4ac - 4bc = 0$，
合并同类项得：$a^2 + 2ac + c^2 - 4ab - 4bc + 4b^2 = 0$，
变形为完全平方形式：$(a+c)^2 - 2· (a+c)· 2b + (2b)^2 = 0$，
即$(a + c - 2b)^2 = 0$，
$\therefore a + c - 2b = 0$，即$a + c = 2b$，得证。
【答案】
(1) ①④
(2) “美好方程”$ax^2 + bx + c = 0$总有两个实数根，证明见解析
(3) $a + c = 2b$，证明见解析
【知识点】
新定义问题、一元二次方程根的判别式、完全平方公式
【点评】
本题以新定义“美好方程”为载体，综合考查了一元二次方程根的判别式的应用、代数式化简及完全平方公式的因式分解，解题的关键是准确理解新定义的含义，熟练掌握判别式与方程根的对应关系，这类题型是代数部分的常考类型，需要注重对代数变形能力的训练。
【难度系数】
0.7
（1）根据“美好方程”的定义，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$满足$a+b+c=0$，而当$x=1$时，方程左边正好为$a+b+c$，因此只需将$x=1$代入各方程，判断左边是否等于0即可筛选出符合要求的方程；
（2）要证明一元二次方程总有两个实数根，只需证明根的判别式$\Delta ≥ 0$。结合已知$a+b+c=0$，将$b=-(a+c)$代入判别式，化简后得到完全平方的形式，利用平方的非负性即可完成证明；
（3）已知方程有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta = 0$，先写出该方程对应的判别式，再展开化简，通过完全平方公式因式分解，即可推导出$a+c=2b$的结论。
【解析】
（1）逐个验证各方程：
① 对于$x^2 + 2x - 3 = 0$，代入$x=1$，左边$=1^2+2×1-3=0$，满足$a+b+c=0$，是“美好方程”；
② 对于$x^2 - 3x = 0$，代入$x=1$，左边$=1^2-3×1=-2≠0$，不是“美好方程”；
③ 对于$x^2 + 1 = 0$，代入$x=1$，左边$=1^2+1=2≠0$，不是“美好方程”；
④ 先整理$x(x - 1) = 2(x - 1)$为标准形式：$x^2-3x+2=0$，代入$x=1$，左边$=1^2-3×1+2=0$，满足$a+b+c=0$，是“美好方程”；
因此是“美好方程”的为①④。
（2）证明：$\because$ 方程$ax^2 + bx + c = 0$是“美好方程”，$\therefore a+b+c=0$，即$b=-(a+c)$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = [-(a+c)]^2 - 4ac = (a+c)^2 - 4ac = (a-c)^2$，
$\because$ 平方数具有非负性，$\therefore (a-c)^2≥0$，即$\Delta ≥0$，
$\therefore$ “美好方程”$ax^2 + bx + c = 0$总有两个实数根。
（3）证明：$\because$ 方程$(b - c)x^2 + (c - a)x + (a - b) = 0$是“美好方程”，$\therefore (b-c)+(c-a)+(a-b)=0$，符合“美好方程”定义，
又$\because$ 方程有两个相等的实数根，$\therefore$ 判别式$\Delta = 0$，
即$\Delta = (c-a)^2 - 4(b-c)(a-b) = 0$，
展开得：$c^2 - 2ac + a^2 - 4(ab - b^2 - ac + bc) = 0$，
去括号得：$c^2 - 2ac + a^2 - 4ab + 4b^2 + 4ac - 4bc = 0$，
合并同类项得：$a^2 + 2ac + c^2 - 4ab - 4bc + 4b^2 = 0$，
变形为完全平方形式：$(a+c)^2 - 2· (a+c)· 2b + (2b)^2 = 0$，
即$(a + c - 2b)^2 = 0$，
$\therefore a + c - 2b = 0$，即$a + c = 2b$，得证。
【答案】
(1) ①④
(2) “美好方程”$ax^2 + bx + c = 0$总有两个实数根，证明见解析
(3) $a + c = 2b$，证明见解析
【知识点】
新定义问题、一元二次方程根的判别式、完全平方公式
【点评】
本题以新定义“美好方程”为载体，综合考查了一元二次方程根的判别式的应用、代数式化简及完全平方公式的因式分解，解题的关键是准确理解新定义的含义，熟练掌握判别式与方程根的对应关系，这类题型是代数部分的常考类型，需要注重对代数变形能力的训练。
【难度系数】
0.7
