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7. 在一幅长 90 cm、宽 40 cm 的风景画四周外围镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图。如果要求金色纸边的面积是整个挂图面积的 28%，那么金色纸边的宽是多少？
答案
7. 5 cm
解析
【分析】
这是典型的用一元二次方程解决的面积类实际问题，解题思路如下：第一步设未知数，设金色纸边的宽度为x cm；第二步找等量关系：题目给出金色纸边面积是整个挂图面积的28%，可转化为风景画面积=整个挂图面积×(1-28%)，计算更简便；第三步表示相关量：因为风景画四周都有宽度为x的纸边，所以挂图的长为(90+2x)cm，宽为(40+2x)cm；第四步列方程求解，最后根据实际意义（宽度为正数）舍去不符合要求的根即可。
【解析】
解：设金色纸边的宽为$ x $ cm，根据题意可知，挂图的长为$ (90+2x) $ cm，宽为$ (40+2x) $ cm。
由“金色纸边的面积是整个挂图面积的28%”可得等量关系：风景画面积 = 整个挂图面积×(1-28%)，列方程得：
$90 × 40 = (90+2x)(40+2x) × (1-28\%)$
整理计算：
$3600 = 0.72 × (90+2x)(40+2x)$
两边同时除以0.72得：
$(90+2x)(40+2x) = 5000$
展开并整理方程：
$3600 + 260x + 4x^2 = 5000$
$4x^2 + 260x - 1400 = 0$
两边除以4化简得：
$x^2 + 65x - 350 = 0$
因式分解得：
$(x + 70)(x - 5) = 0$
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = -70 $
因为纸边宽度不能为负数，所以舍去$ x_2 = -70 $，即$ x = 5 $。
【答案】
5 cm
【知识点】
一元二次方程的应用，面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于镶边类的实际应用题，解题核心是准确表示出镶边后图形的长宽，结合面积的比例关系列方程，求解后要注意结合实际意义验根，避免出现不符合常识的解。
【难度系数】
0.7
这是典型的用一元二次方程解决的面积类实际问题，解题思路如下：第一步设未知数，设金色纸边的宽度为x cm；第二步找等量关系：题目给出金色纸边面积是整个挂图面积的28%，可转化为风景画面积=整个挂图面积×(1-28%)，计算更简便；第三步表示相关量：因为风景画四周都有宽度为x的纸边，所以挂图的长为(90+2x)cm，宽为(40+2x)cm；第四步列方程求解，最后根据实际意义（宽度为正数）舍去不符合要求的根即可。
【解析】
解：设金色纸边的宽为$ x $ cm，根据题意可知，挂图的长为$ (90+2x) $ cm，宽为$ (40+2x) $ cm。
由“金色纸边的面积是整个挂图面积的28%”可得等量关系：风景画面积 = 整个挂图面积×(1-28%)，列方程得：
$90 × 40 = (90+2x)(40+2x) × (1-28\%)$
整理计算：
$3600 = 0.72 × (90+2x)(40+2x)$
两边同时除以0.72得：
$(90+2x)(40+2x) = 5000$
展开并整理方程：
$3600 + 260x + 4x^2 = 5000$
$4x^2 + 260x - 1400 = 0$
两边除以4化简得：
$x^2 + 65x - 350 = 0$
因式分解得：
$(x + 70)(x - 5) = 0$
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = -70 $
因为纸边宽度不能为负数，所以舍去$ x_2 = -70 $，即$ x = 5 $。
【答案】
5 cm
【知识点】
一元二次方程的应用，面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于镶边类的实际应用题，解题核心是准确表示出镶边后图形的长宽，结合面积的比例关系列方程，求解后要注意结合实际意义验根，避免出现不符合常识的解。
【难度系数】
0.7
8. 有一张边长为10 cm 的正方形硬纸板，在硬纸板的四个角上剪去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子(如图)。如果这个长方体盒子的底面面积与一个侧面的面积恰好相等，求剪去的小正方形的边长。
答案
8. 设剪去的小正方形的边长为$x$ cm，则长方体盒子的底面是边长为$(10-2x)$ cm的正方形，侧面相邻两边长分别为$(10-2x)$ cm，$x$ cm，根据题意得$(10-2x)^2=(10-2x)x$，整理，得$3x^2-25x+50=0$，解得$x_1=\frac{10}{3}$，$x_2=5$，又$\because x$，$(10-2x)$均为正数，$\therefore x=\frac{10}{3}$。答：剪去的小正方形的边长为$\frac{10}{3}$ cm
解析
【分析】
解题首先明确未知量，我们要求剪去的小正方形边长，可直接设其为$x$ cm。接着分析折叠后长方体的参数：原正方形硬纸板边长为10 cm，四个角各剪去边长为$x$的小正方形后，折叠成的无盖长方体底面是正方形，边长等于原边长减去2倍的小正方形边长，即$(10-2x)$ cm，长方体的高就是小正方形的边长$x$ cm。再结合题目给出的“底面面积与一个侧面的面积相等”的等量关系，分别表示出底面面积和侧面面积，列一元二次方程求解即可，最后要注意边长必须为正数，需对解出的根进行检验，舍去不符合实际意义的根。
【解析】
解：设剪去的小正方形的边长为$x$ cm。
则折叠后无盖长方体盒子的底面边长为$(10-2x)$ cm，盒子的高为$x$ cm。
根据题意列方程得：
$(10-2x)^2=(10-2x)x$
整理得：
$3x^2-25x+50=0$
因式分解得$(3x-10)(x-5)=0$，解得：
$x_1=\frac{10}{3}$，$x_2=5$
检验：当$x=5$时，$10-2x=0$，不符合实际，舍去；当$x=\frac{10}{3}$时，$10-2x=\frac{10}{3}＞0$，符合题意。
答：剪去的小正方形的边长为$\frac{10}{3}$ cm。
【答案】
$\frac{10}{3}$ cm
【知识点】
一元二次方程应用，几何体折叠，方程根的检验
【点评】
本题是几何背景下的一元二次方程应用题，解题核心是结合折叠的性质正确表示出长方体各边的长度，再根据等量关系列方程求解，需要特别注意实际问题中方程的解要符合几何意义，避免出现无效解。
【难度系数】
0.7
解题首先明确未知量，我们要求剪去的小正方形边长，可直接设其为$x$ cm。接着分析折叠后长方体的参数：原正方形硬纸板边长为10 cm，四个角各剪去边长为$x$的小正方形后，折叠成的无盖长方体底面是正方形，边长等于原边长减去2倍的小正方形边长，即$(10-2x)$ cm，长方体的高就是小正方形的边长$x$ cm。再结合题目给出的“底面面积与一个侧面的面积相等”的等量关系，分别表示出底面面积和侧面面积，列一元二次方程求解即可，最后要注意边长必须为正数，需对解出的根进行检验，舍去不符合实际意义的根。
【解析】
解：设剪去的小正方形的边长为$x$ cm。
则折叠后无盖长方体盒子的底面边长为$(10-2x)$ cm，盒子的高为$x$ cm。
根据题意列方程得：
$(10-2x)^2=(10-2x)x$
整理得：
$3x^2-25x+50=0$
因式分解得$(3x-10)(x-5)=0$，解得：
$x_1=\frac{10}{3}$，$x_2=5$
检验：当$x=5$时，$10-2x=0$，不符合实际，舍去；当$x=\frac{10}{3}$时，$10-2x=\frac{10}{3}＞0$，符合题意。
答：剪去的小正方形的边长为$\frac{10}{3}$ cm。
【答案】
$\frac{10}{3}$ cm
【知识点】
一元二次方程应用，几何体折叠，方程根的检验
【点评】
本题是几何背景下的一元二次方程应用题，解题核心是结合折叠的性质正确表示出长方体各边的长度，再根据等量关系列方程求解，需要特别注意实际问题中方程的解要符合几何意义，避免出现无效解。
【难度系数】
0.7
9. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动.
已知花圃一边靠墙(墙的长度不限)，其余部分用总长为60 m的栅栏围成. 兴趣小组设计了以下两种方案：
方案一：如图①，围成一个面积为450 m²的矩形花圃.
方案二：如图②，围成矩形花圃时，用栅栏(栅栏宽度忽略不计)将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3 m的进出口(此处不用栅栏).
(1) 求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2) 求方案二中花圃的最大面积.
已知花圃一边靠墙(墙的长度不限)，其余部分用总长为60 m的栅栏围成. 兴趣小组设计了以下两种方案：
方案一：如图①，围成一个面积为450 m²的矩形花圃.
方案二：如图②，围成矩形花圃时，用栅栏(栅栏宽度忽略不计)将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3 m的进出口(此处不用栅栏).
(1) 求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2) 求方案二中花圃的最大面积.
答案
9.（1）设与墙垂直的边的长度为$x$ m，则与墙平行的边的长度为$(60-2x)$ m，$\therefore x(60-2x)=450$。$\therefore x_1=x_2=15$。答：与墙垂直的边的长度为15 m （2）$\because 66-3a＞0$，且$a-3＞0$，$\therefore 3＜a＜22$。设与墙垂直的边的长度为$a$ m，则与墙平行的边的长度为$(60-3a)$ m，花圃的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，$\therefore S=a(66-3a)=-3a^2+66a$，$\therefore S=-3(a-11)^2+363$，$\because -3＜0$，$\therefore$ 当$a=11$时，$S$有最大值363。答：方案二中花圃的最大面积是$363\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
（1）方案一中栅栏由2条与墙垂直的边、1条与墙平行的边组成，总长为60m。我们设与墙垂直的边长为$x$ m，即可用含$x$的式子表示出平行边的长度，再结合矩形面积公式和已知面积列一元二次方程求解即可。
（2）方案二中栅栏由3条与墙垂直的边组成，且两侧各有3m宽的进出口无需栅栏，因此平行边长度需要额外加上两个3m的长度。设与墙垂直的边长为$a$ m，先确定$a$的取值范围，再写出面积关于$a$的二次函数解析式，结合二次函数的开口方向和顶点坐标即可求出最大面积。
【解析】
（1）设方案一中与墙垂直的边的长度为$x$ m，则与墙平行的边的长度为$(60-2x)$ m。
根据矩形面积公式列方程：
$x(60-2x)=450$
整理得$x^2-30x+225=0$，即$(x-15)^2=0$，解得$x_1=x_2=15$。
（2）设方案二中与墙垂直的边的长度为$a$ m，首先确定自变量取值范围：
平行边长度需大于0，即$60+3×2-3a＞0$，解得$a＜22$；
进出口宽3m，因此垂直边长度需大于3m，即$a＞3$，故$3＜a＜22$。
此时与墙平行的边的长度为$(66-3a)$ m，设花圃面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则：
$S=a(66-3a)=-3a^2+66a$
配方得$S=-3(a-11)^2+363$，
$\because -3＜0$，抛物线开口向下，且$a=11$在$3＜a＜22$的范围内，
$\therefore$当$a=11$时，$S$取得最大值363。
【答案】
（1）与墙垂直的边的长度为15 m；
（2）方案二中花圃的最大面积是$363\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数最值应用；矩形面积计算
【点评】
本题结合实际设计场景考查方程与函数的应用，解题时需注意审题，不要遗漏进出口无需栅栏的隐藏条件，求解二次函数最值时要结合自变量的实际取值范围验证结果合理性。
【难度系数】
0.7
（1）方案一中栅栏由2条与墙垂直的边、1条与墙平行的边组成，总长为60m。我们设与墙垂直的边长为$x$ m，即可用含$x$的式子表示出平行边的长度，再结合矩形面积公式和已知面积列一元二次方程求解即可。
（2）方案二中栅栏由3条与墙垂直的边组成，且两侧各有3m宽的进出口无需栅栏，因此平行边长度需要额外加上两个3m的长度。设与墙垂直的边长为$a$ m，先确定$a$的取值范围，再写出面积关于$a$的二次函数解析式，结合二次函数的开口方向和顶点坐标即可求出最大面积。
【解析】
（1）设方案一中与墙垂直的边的长度为$x$ m，则与墙平行的边的长度为$(60-2x)$ m。
根据矩形面积公式列方程：
$x(60-2x)=450$
整理得$x^2-30x+225=0$，即$(x-15)^2=0$，解得$x_1=x_2=15$。
（2）设方案二中与墙垂直的边的长度为$a$ m，首先确定自变量取值范围：
平行边长度需大于0，即$60+3×2-3a＞0$，解得$a＜22$；
进出口宽3m，因此垂直边长度需大于3m，即$a＞3$，故$3＜a＜22$。
此时与墙平行的边的长度为$(66-3a)$ m，设花圃面积为$S\ \mathrm{m}^2$，则：
$S=a(66-3a)=-3a^2+66a$
配方得$S=-3(a-11)^2+363$，
$\because -3＜0$，抛物线开口向下，且$a=11$在$3＜a＜22$的范围内，
$\therefore$当$a=11$时，$S$取得最大值363。
【答案】
（1）与墙垂直的边的长度为15 m；
（2）方案二中花圃的最大面积是$363\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数最值应用；矩形面积计算
【点评】
本题结合实际设计场景考查方程与函数的应用，解题时需注意审题，不要遗漏进出口无需栅栏的隐藏条件，求解二次函数最值时要结合自变量的实际取值范围验证结果合理性。
【难度系数】
0.7
