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1. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高.设折断处离地面x尺，则可列方程 （
A.$x^2 + 3^2 = (1 - x)^2$
B.$x^2 + (1 - x)^2 = 3^2$
C.$x^2 + (10 - x)^2 = 3^2$
D.$x^2 + 3^2 = (10 - x)^2$
D
）A.$x^2 + 3^2 = (1 - x)^2$
B.$x^2 + (1 - x)^2 = 3^2$
C.$x^2 + (10 - x)^2 = 3^2$
D.$x^2 + 3^2 = (10 - x)^2$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先要统一单位，再明确直角三角形三条边对应的长度：①折断处离地面高度为x尺，是直角三角形的一条直角边；②竹梢触地处离竹根3尺，是另一条直角边；③竹子原高1丈即10尺，因此折断部分的长度为总高度减去直立部分高度，也就是(10 - x)尺，这部分是直角三角形的斜边。最后根据勾股定理“两条直角边的平方和等于斜边的平方”，即可列出对应的方程。
【解析】
首先换算单位：1丈=10尺。
设折断处离地面x尺，则直角三角形的两条直角边长分别为x尺、3尺，斜边长为折断部分的长度，即(10 - x)尺。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入得：
$x^2 + 3^2 = (10 - x)^2$
因此对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，一元二次方程的应用
【点评】
本题依托古代经典数学问题，考查勾股定理在实际问题中的应用，解题的关键是准确梳理出直角三角形各边对应的长度，避免出现单位未换算、边的对应关系混淆的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要统一单位，再明确直角三角形三条边对应的长度：①折断处离地面高度为x尺，是直角三角形的一条直角边；②竹梢触地处离竹根3尺，是另一条直角边；③竹子原高1丈即10尺，因此折断部分的长度为总高度减去直立部分高度，也就是(10 - x)尺，这部分是直角三角形的斜边。最后根据勾股定理“两条直角边的平方和等于斜边的平方”，即可列出对应的方程。
【解析】
首先换算单位：1丈=10尺。
设折断处离地面x尺，则直角三角形的两条直角边长分别为x尺、3尺，斜边长为折断部分的长度，即(10 - x)尺。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入得：
$x^2 + 3^2 = (10 - x)^2$
因此对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，一元二次方程的应用
【点评】
本题依托古代经典数学问题，考查勾股定理在实际问题中的应用，解题的关键是准确梳理出直角三角形各边对应的长度，避免出现单位未换算、边的对应关系混淆的错误。
【难度系数】
0.8
2. 某品牌新能源汽车2024年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2026年的销售量比2024年增加了31.2万辆. 设从2024年到2026年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为$x$，则可列方程（
A.$20(1+2x)=31.2$
B.$20(1+2x)-20=31.2$
C.$20(1+x)^2=31.2$
D.$20(1+x)^2-20=31.2$
D
）A.$20(1+2x)=31.2$
B.$20(1+2x)-20=31.2$
C.$20(1+x)^2=31.2$
D.$20(1+x)^2-20=31.2$
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道增长率类列方程问题，首先回忆平均增长率的数量关系：若初始量为a，平均增长率为x，经过n期后的量为$a(1+x)^n$。本题首先确定各年份的汽车销量：初始量是2024年的20万辆，年增长率为x，可依次求出2025年、2026年的销量；再找准题目等量关系：2026年的销售量 - 2024年的销售量 = 增加的31.2万辆，最后根据等量关系列方程匹配选项即可。
【解析】
已知2024年销售量为20万辆，平均年增长率为x：
1. 2025年的销售量为：$20(1+x)$ 万辆
2. 2026年的销售量是在2025年的基础上再增长x，因此为：$20(1+x) × (1+x) = 20(1+x)^2$ 万辆
3. 题目明确“2026年的销售量比2024年增加了31.2万辆”，即2026年销量减去2024年销量等于31.2万辆，据此列方程：
$20(1+x)^2 - 20 = 31.2$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
增长率问题，列一元二次方程
【点评】
本题是增长率问题的常规考法，解题核心是准确表示出增长后的量，尤其要注意题干中“增加了”和“增长到”的表述差异，避免因审题粗心选错答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道增长率类列方程问题，首先回忆平均增长率的数量关系：若初始量为a，平均增长率为x，经过n期后的量为$a(1+x)^n$。本题首先确定各年份的汽车销量：初始量是2024年的20万辆，年增长率为x，可依次求出2025年、2026年的销量；再找准题目等量关系：2026年的销售量 - 2024年的销售量 = 增加的31.2万辆，最后根据等量关系列方程匹配选项即可。
【解析】
已知2024年销售量为20万辆，平均年增长率为x：
1. 2025年的销售量为：$20(1+x)$ 万辆
2. 2026年的销售量是在2025年的基础上再增长x，因此为：$20(1+x) × (1+x) = 20(1+x)^2$ 万辆
3. 题目明确“2026年的销售量比2024年增加了31.2万辆”，即2026年销量减去2024年销量等于31.2万辆，据此列方程：
$20(1+x)^2 - 20 = 31.2$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
增长率问题，列一元二次方程
【点评】
本题是增长率问题的常规考法，解题核心是准确表示出增长后的量，尤其要注意题干中“增加了”和“增长到”的表述差异，避免因审题粗心选错答案。
【难度系数】
0.8
3. 某地今年的近视学生人数是前年近视学生人数的70％.设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，根据题意，可列方程
$(1-x)^2=70\%$
.答案
3. $(1-x)^2=70\%$
解析
【分析】
解决这类平均降低率的列方程问题，首先要确定基准量，我们可以将前年的近视学生人数看作单位“1”；其次明确连续两次降低的计算逻辑：每一年的近视人数都是在上一年的基础上乘以(1-降低率)；最后结合题目给出的今年与前年近视人数的等量关系，就能列出对应的方程。
【解析】
设前年近视学生人数为单位“1”，平均每年近视人数降低的百分率为x。
1. 计算去年的近视学生人数：去年人数 = 前年人数 × (1 - 降低率) = 1×(1-x) = 1-x；
2. 计算今年的近视学生人数：今年人数 = 去年人数 × (1 - 降低率) = (1-x)×(1-x) = (1-x)²；
3. 根据题意，今年近视学生人数是前年的70%，即今年人数 = 1×70% = 70%，因此可得方程：(1-x)² = 70%。
【答案】
$(1-x)^2=70\%$
【知识点】
平均变化率问题，列一元二次方程
【点评】
本题是平均变化率类的基础应用题，解题的核心是找准变化的基准量，理清连续两次变化后的量与初始量的对应关系，熟记变化率公式就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解决这类平均降低率的列方程问题，首先要确定基准量，我们可以将前年的近视学生人数看作单位“1”；其次明确连续两次降低的计算逻辑：每一年的近视人数都是在上一年的基础上乘以(1-降低率)；最后结合题目给出的今年与前年近视人数的等量关系，就能列出对应的方程。
【解析】
设前年近视学生人数为单位“1”，平均每年近视人数降低的百分率为x。
1. 计算去年的近视学生人数：去年人数 = 前年人数 × (1 - 降低率) = 1×(1-x) = 1-x；
2. 计算今年的近视学生人数：今年人数 = 去年人数 × (1 - 降低率) = (1-x)×(1-x) = (1-x)²；
3. 根据题意，今年近视学生人数是前年的70%，即今年人数 = 1×70% = 70%，因此可得方程：(1-x)² = 70%。
【答案】
$(1-x)^2=70\%$
【知识点】
平均变化率问题，列一元二次方程
【点评】
本题是平均变化率类的基础应用题，解题的核心是找准变化的基准量，理清连续两次变化后的量与初始量的对应关系，熟记变化率公式就能快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，$AC=8\ \mathrm{m}$，$BC=6\ \mathrm{m}$，点$P$，$Q$同时由$A$，$B$两点出发分别沿$AC$，$BC$方向向点$C$匀速移动(运动到点$C$停止)，它们的速度都是$1\ \mathrm{m/s}$，经过
2
$\mathrm{s}$，$△ PCQ$的面积是$△ ACB$面积的一半。答案
4. 2
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先计算出Rt△ACB的总面积，得到其一半的面积数值；接着设运动时间为t秒，结合P、Q的运动速度和方向，用含t的代数式分别表示出线段PC、CQ的长度；再根据△PCQ为直角三角形，结合面积关系列出关于t的一元二次方程；最后解方程后，结合P、Q运动到点C即停止的实际限制，舍去不符合题意的根，得到最终结果。
【解析】
解：
∵在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m
∴$S_{△ ACB}=\frac{1}{2} × AC × BC=\frac{1}{2} × 8 × 6=24\ \mathrm{m}^2$
设经过$t$秒，$△ PCQ$的面积是$△ ACB$面积的一半。
由题意得：$AP=BQ=t\ \mathrm{m}$，且$0 ≤ t ≤ 6$（点Q运动到C点停止，故运动时间最长为6s）
∴$PC=AC-AP=(8-t)\ \mathrm{m}$，$CQ=BC-BQ=(6-t)\ \mathrm{m}$
根据题意列方程：
$\frac{1}{2}(8-t)(6-t)=\frac{1}{2} × 24$
化简得：$(8-t)(6-t)=24$
整理得：$t^2-14t+24=0$
因式分解得：$(t-2)(t-12)=0$
解得：$t_1=2$，$t_2=12$
∵$t ≤ 6$，
∴$t=12$不符合题意，舍去。
∴$t=2$
【答案】
2
【知识点】
直角三角形面积计算，一元二次方程应用，方程根的检验
【点评】
本题是几何动点结合一元二次方程的典型基础题，解题关键是将动态线段的长度用含时间的代数式准确表示，根据面积等量关系建立方程，最后要注意结合运动的实际场景筛选方程的根，排除增根。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，首先计算出Rt△ACB的总面积，得到其一半的面积数值；接着设运动时间为t秒，结合P、Q的运动速度和方向，用含t的代数式分别表示出线段PC、CQ的长度；再根据△PCQ为直角三角形，结合面积关系列出关于t的一元二次方程；最后解方程后，结合P、Q运动到点C即停止的实际限制，舍去不符合题意的根，得到最终结果。
【解析】
解：
∵在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m
∴$S_{△ ACB}=\frac{1}{2} × AC × BC=\frac{1}{2} × 8 × 6=24\ \mathrm{m}^2$
设经过$t$秒，$△ PCQ$的面积是$△ ACB$面积的一半。
由题意得：$AP=BQ=t\ \mathrm{m}$，且$0 ≤ t ≤ 6$（点Q运动到C点停止，故运动时间最长为6s）
∴$PC=AC-AP=(8-t)\ \mathrm{m}$，$CQ=BC-BQ=(6-t)\ \mathrm{m}$
根据题意列方程：
$\frac{1}{2}(8-t)(6-t)=\frac{1}{2} × 24$
化简得：$(8-t)(6-t)=24$
整理得：$t^2-14t+24=0$
因式分解得：$(t-2)(t-12)=0$
解得：$t_1=2$，$t_2=12$
∵$t ≤ 6$，
∴$t=12$不符合题意，舍去。
∴$t=2$
【答案】
2
【知识点】
直角三角形面积计算，一元二次方程应用，方程根的检验
【点评】
本题是几何动点结合一元二次方程的典型基础题，解题关键是将动态线段的长度用含时间的代数式准确表示，根据面积等量关系建立方程，最后要注意结合运动的实际场景筛选方程的根，排除增根。
【难度系数】
0.7
5. 某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均1台服务器感染x台服务器，则可列方程（
A.$3x+(3+3x)x=147$
B.$3+3x+3x^2=147$
C.$3+3x+(3+3x)x=147$
D.$3x(3+3x)=147$
C
）A.$3x+(3+3x)x=147$
B.$3+3x+3x^2=147$
C.$3+3x+(3+3x)x=147$
D.$3x(3+3x)=147$
答案
5. C
解析
【分析】
这是典型的病毒传播类一元二次方程应用题，解题时需分阶段梳理每轮的感染数量：首先明确初始感染台数，再计算第一轮传播后的总感染数（作为第二轮的感染源），最后将初始数量、第一轮新增感染数、第二轮新增感染数相加，等于两轮后的总感染数即可列出方程。
【解析】
步骤1：明确初始感染数量：最初有3台服务器被感染。
步骤2：计算第一轮传播后的感染情况：每台感染x台，第一轮新增感染$3x$台，第一轮结束后总感染台数为$3+3x$台。
步骤3：计算第二轮传播的感染情况：第二轮的感染源是第一轮结束后的所有被感染服务器，因此第二轮新增感染$(3+3x)x$台。
步骤4：根据两轮后总感染数为147台列等式：总感染数=初始数+第一轮新增数+第二轮新增数，即$3+3x+(3+3x)x=147$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用、传播问题建模
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常见题型，解题核心是理清每一轮的感染源数量，避免混淆新增感染数和总感染数，掌握该类问题的建模逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这是典型的病毒传播类一元二次方程应用题，解题时需分阶段梳理每轮的感染数量：首先明确初始感染台数，再计算第一轮传播后的总感染数（作为第二轮的感染源），最后将初始数量、第一轮新增感染数、第二轮新增感染数相加，等于两轮后的总感染数即可列出方程。
【解析】
步骤1：明确初始感染数量：最初有3台服务器被感染。
步骤2：计算第一轮传播后的感染情况：每台感染x台，第一轮新增感染$3x$台，第一轮结束后总感染台数为$3+3x$台。
步骤3：计算第二轮传播的感染情况：第二轮的感染源是第一轮结束后的所有被感染服务器，因此第二轮新增感染$(3+3x)x$台。
步骤4：根据两轮后总感染数为147台列等式：总感染数=初始数+第一轮新增数+第二轮新增数，即$3+3x+(3+3x)x=147$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用、传播问题建模
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常见题型，解题核心是理清每一轮的感染源数量，避免混淆新增感染数和总感染数，掌握该类问题的建模逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.7
6. 某新能源汽车公司为提高电池能量密度，对电极材料进行迭代升级. 已知原电极材料的能量密度为$a$，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的$x$倍，最终能量密度达到$8a$，则可列方程（
A.$ax^2=8a$
B.$a(1+x)^2=8a$
C.$a+2x=8a$
D.$2ax=8a$
A
）A.$ax^2=8a$
B.$a(1+x)^2=8a$
C.$a+2x=8a$
D.$2ax=8a$
答案
6. A
解析
【分析】
解题时先梳理每次迭代后能量密度的变化规律：首先明确每次升级后的能量密度是升级前的$x$倍，不是增长$x$，因此不需要加1。第一步先求第一次升级后的能量密度，再以第一次升级后的数值为基础求第二次升级后的能量密度，最后根据最终能量密度为$8a$列出等式即可。
【解析】
已知原电极材料能量密度为$a$：
1. 第一次升级后，能量密度为升级前的$x$倍，因此第一次升级后的能量密度为：$a × x = ax$；
2. 第二次升级是在第一次升级后的基础上，能量密度依旧是升级前（即第一次升级后数值）的$x$倍，因此第二次升级后的能量密度为：$ax × x = ax^2$；
3. 由题可知最终能量密度为$8a$，因此可列方程：$ax^2=8a$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 倍数关系应用
【点评】
本题核心考查根据实际问题中的倍数关系列方程，需要注意区分“是前一次的$x$倍”和“增长率为$x$”的表述差异，避免误选B选项，理清两次迭代的递推关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理每次迭代后能量密度的变化规律：首先明确每次升级后的能量密度是升级前的$x$倍，不是增长$x$，因此不需要加1。第一步先求第一次升级后的能量密度，再以第一次升级后的数值为基础求第二次升级后的能量密度，最后根据最终能量密度为$8a$列出等式即可。
【解析】
已知原电极材料能量密度为$a$：
1. 第一次升级后，能量密度为升级前的$x$倍，因此第一次升级后的能量密度为：$a × x = ax$；
2. 第二次升级是在第一次升级后的基础上，能量密度依旧是升级前（即第一次升级后数值）的$x$倍，因此第二次升级后的能量密度为：$ax × x = ax^2$；
3. 由题可知最终能量密度为$8a$，因此可列方程：$ax^2=8a$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 倍数关系应用
【点评】
本题核心考查根据实际问题中的倍数关系列方程，需要注意区分“是前一次的$x$倍”和“增长率为$x$”的表述差异，避免误选B选项，理清两次迭代的递推关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
