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一、基础性作业
1. 代数式$6^n$的意义是（
A.6个n相加
B.6个n相乘
C.n个6相加
D.n个6相乘
1. 代数式$6^n$的意义是（
D
）。A.6个n相加
B.6个n相乘
C.n个6相加
D.n个6相乘
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查乘方的意义，解题时先回忆乘方的定义：$a^n$表示n个相同因数a相乘，其中a是底数，n是指数。我们将$6^n$对应到乘方定义中，底数是6，指数是n，所以它的意义就是n个6相乘，再逐一核对选项排除错误项即可得到正确答案。
【解析】
根据乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，$a^n$表示n个a相乘。
对于代数式$6^n$，底数为6，指数为n，因此它表示n个6相乘。
逐一分析选项：
A. 6个n相加对应的代数式是$6n$，不符合，错误；
B. 6个n相乘对应的代数式是$n^6$，不符合，错误；
C. n个6相加对应的代数式是$6n$，不符合，错误；
D. n个6相乘对应的代数式是$6^n$，符合，正确。
【答案】
D
【知识点】
乘方的意义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对乘方定义的理解，解题时要注意区分乘方中底数和指数的含义，避免和乘法的意义混淆。
【难度系数】
0.9
这道题考查乘方的意义，解题时先回忆乘方的定义：$a^n$表示n个相同因数a相乘，其中a是底数，n是指数。我们将$6^n$对应到乘方定义中，底数是6，指数是n，所以它的意义就是n个6相乘，再逐一核对选项排除错误项即可得到正确答案。
【解析】
根据乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，$a^n$表示n个a相乘。
对于代数式$6^n$，底数为6，指数为n，因此它表示n个6相乘。
逐一分析选项：
A. 6个n相加对应的代数式是$6n$，不符合，错误；
B. 6个n相乘对应的代数式是$n^6$，不符合，错误；
C. n个6相加对应的代数式是$6n$，不符合，错误；
D. n个6相乘对应的代数式是$6^n$，符合，正确。
【答案】
D
【知识点】
乘方的意义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对乘方定义的理解，解题时要注意区分乘方中底数和指数的含义，避免和乘法的意义混淆。
【难度系数】
0.9
2. 计算$-2^3$的结果是(
A.$-8$
B.$8$
C.$-6$
D.$6$
A
)。A.$-8$
B.$8$
C.$-6$
D.$6$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先要明确乘方运算的含义，避免将乘方和乘法运算混淆。首先确定算式$-2^3$的意义：它表示的是2的3次方的相反数，运算时先计算乘方部分$2^3$的结果，再求其相反数即可得到最终答案。
【解析】
根据有理数乘方的定义，$a^n$表示n个相同因数a相乘的积，因此先计算乘方部分：
$2^3=2×2×2=8$
$-2^3$是$2^3$的相反数，因此可得：
$-2^3=-8$
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘方运算；相反数的概念
【点评】
本题是有理数乘方的基础常考题，易错点主要是容易误将乘方运算当作乘法运算，错算为$-2×3=-6$；此外要注意区分$-a^n$和$(-a)^n$的底数差异，若为偶次幂，二者的结果会互为相反数，计算时要格外注意。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确乘方运算的含义，避免将乘方和乘法运算混淆。首先确定算式$-2^3$的意义：它表示的是2的3次方的相反数，运算时先计算乘方部分$2^3$的结果，再求其相反数即可得到最终答案。
【解析】
根据有理数乘方的定义，$a^n$表示n个相同因数a相乘的积，因此先计算乘方部分：
$2^3=2×2×2=8$
$-2^3$是$2^3$的相反数，因此可得：
$-2^3=-8$
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘方运算；相反数的概念
【点评】
本题是有理数乘方的基础常考题，易错点主要是容易误将乘方运算当作乘法运算，错算为$-2×3=-6$；此外要注意区分$-a^n$和$(-a)^n$的底数差异，若为偶次幂，二者的结果会互为相反数，计算时要格外注意。
【难度系数】
0.8
3. 已知$2^2 × 8 = a^5$，则$a=$
2
。答案
3.2
解析
【分析】
解题时可先计算等式左侧的数值，或把左侧的不同底数的幂转化为同底数幂，再结合乘方的定义求出a的值。第一步，先计算等式左侧的结果，或将8改写为以2为底的幂的形式；第二步，根据同底数幂的乘法法则计算左侧的幂形式；第三步，对比等式两侧幂的指数，指数相同的情况下底数相等，即可求出a的值。
【解析】
解：方法1：先直接计算左侧数值
$2^2 × 8 = 4 × 8 = 32$
即$a^5=32$，结合乘方的定义，因为$2^5=32$，所以$a=2$。
方法2：统一底数计算
先把8转化为以2为底的幂：$8=2^3$
则左侧可改写为：$2^2 × 2^3$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^2 × 2^3 = 2^{2+3}=2^5$
即$2^5=a^5$，因此$a=2$。
【答案】
2
【知识点】
有理数的乘方，同底数幂的乘法运算
【点评】
本题属于乘方相关的基础题，解题核心是熟练掌握乘方的定义和同底数幂的运算规则，两种解题方法都可以快速得出结果，整体计算量很小。
【难度系数】
0.8
解题时可先计算等式左侧的数值，或把左侧的不同底数的幂转化为同底数幂，再结合乘方的定义求出a的值。第一步，先计算等式左侧的结果，或将8改写为以2为底的幂的形式；第二步，根据同底数幂的乘法法则计算左侧的幂形式；第三步，对比等式两侧幂的指数，指数相同的情况下底数相等，即可求出a的值。
【解析】
解：方法1：先直接计算左侧数值
$2^2 × 8 = 4 × 8 = 32$
即$a^5=32$，结合乘方的定义，因为$2^5=32$，所以$a=2$。
方法2：统一底数计算
先把8转化为以2为底的幂：$8=2^3$
则左侧可改写为：$2^2 × 2^3$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^2 × 2^3 = 2^{2+3}=2^5$
即$2^5=a^5$，因此$a=2$。
【答案】
2
【知识点】
有理数的乘方，同底数幂的乘法运算
【点评】
本题属于乘方相关的基础题，解题核心是熟练掌握乘方的定义和同底数幂的运算规则，两种解题方法都可以快速得出结果，整体计算量很小。
【难度系数】
0.8
4. 已知$|a + 2|$与$(b - 4)^2$互为相反数，则$a^b=$
16
。答案
4.16
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先根据相反数的性质，互为相反数的两个数相加和为0，据此列出等式；2. 回忆绝对值和平方数的性质：绝对值的结果≥0，平方的结果也≥0，也就是二者都是非负数；3. 两个非负数相加等于0，说明每一个非负数都必须等于0，据此分别列方程求出a、b的值；4. 最后将a、b的值代入$a^b$计算出结果即可。
【解析】
解：
∵ $|a + 2|$与$(b - 4)^2$互为相反数
∴ $|a + 2| + (b - 4)^2 = 0$
又
∵ $|a + 2|≥0$，$(b - 4)^2≥0$
∴ 要使两个非负数的和为0，需满足：
$\begin{cases}a+2=0\\b-4=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=-2\\b=4\end{cases}$
将$a=-2$，$b=4$代入得：
$a^b=(-2)^4=16$
【答案】
16
【知识点】
相反数的性质；非负数的性质；有理数乘方运算
【点评】
本题是基础常考题，核心是掌握绝对值、偶次幂的非负性，明确“若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的结论，代入计算时注意负数的偶次幂是正数，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 首先根据相反数的性质，互为相反数的两个数相加和为0，据此列出等式；2. 回忆绝对值和平方数的性质：绝对值的结果≥0，平方的结果也≥0，也就是二者都是非负数；3. 两个非负数相加等于0，说明每一个非负数都必须等于0，据此分别列方程求出a、b的值；4. 最后将a、b的值代入$a^b$计算出结果即可。
【解析】
解：
∵ $|a + 2|$与$(b - 4)^2$互为相反数
∴ $|a + 2| + (b - 4)^2 = 0$
又
∵ $|a + 2|≥0$，$(b - 4)^2≥0$
∴ 要使两个非负数的和为0，需满足：
$\begin{cases}a+2=0\\b-4=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=-2\\b=4\end{cases}$
将$a=-2$，$b=4$代入得：
$a^b=(-2)^4=16$
【答案】
16
【知识点】
相反数的性质；非负数的性质；有理数乘方运算
【点评】
本题是基础常考题，核心是掌握绝对值、偶次幂的非负性，明确“若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的结论，代入计算时注意负数的偶次幂是正数，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
5. 将一张长方形的纸按图2-4-1所示的方式对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕（图中虚线），第三次对折后可得到7条折痕（图中虚线），那么第七次对折后得到的折痕共有
127
条。答案
5.127
解析
【分析】
解题时先从已知的前三次对折的折痕数入手，对比对折次数和折痕数的数量关系：第一次折痕1条，对应$2^1-1$；第二次折痕3条，对应$2^2-1$；第三次折痕7条，对应$2^3-1$。由此可归纳出第n次对折的折痕数通用公式，再将$n=7$代入公式计算即可得到答案。
【解析】
根据题意整理前几次对折的折痕数：
第1次对折，折痕条数：$1=2^1 -1$
第2次对折，折痕条数：$3=2^2 -1$
第3次对折，折痕条数：$7=2^3 -1$
……
可归纳得出规律：第$n$次对折后，折痕的条数为$2^n -1$。
当$n=7$时，折痕条数为：
$2^7 -1=128-1=127$
【答案】
127
【知识点】
有理数的乘方；数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题型，核心是通过已知的几组对应数据总结出通用规律，再结合乘方运算求解，熟练掌握乘方的运算是解题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的前三次对折的折痕数入手，对比对折次数和折痕数的数量关系：第一次折痕1条，对应$2^1-1$；第二次折痕3条，对应$2^2-1$；第三次折痕7条，对应$2^3-1$。由此可归纳出第n次对折的折痕数通用公式，再将$n=7$代入公式计算即可得到答案。
【解析】
根据题意整理前几次对折的折痕数：
第1次对折，折痕条数：$1=2^1 -1$
第2次对折，折痕条数：$3=2^2 -1$
第3次对折，折痕条数：$7=2^3 -1$
……
可归纳得出规律：第$n$次对折后，折痕的条数为$2^n -1$。
当$n=7$时，折痕条数为：
$2^7 -1=128-1=127$
【答案】
127
【知识点】
有理数的乘方；数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题型，核心是通过已知的几组对应数据总结出通用规律，再结合乘方运算求解，熟练掌握乘方的运算是解题的基础。
【难度系数】
0.7
6. 把下列相同因数的乘积写成幂的形式，并说出底数和指数。
(1) $(-6)×(-6)×(-6)$；
(2) $\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}$。
(1) $(-6)×(-6)×(-6)$；
(2) $\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}$。
答案
6. 解:(1)$(-6)×(-6)×(-6)=(-6)^3$,底数是-6,指数是3。
(2)$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^4$,底数是$\frac{2}{3}$,指数是4。
(2)$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^4$,底数是$\frac{2}{3}$,指数是4。
解析
【分析】
解决这类问题首先要明确乘方的定义：n个相同因数a相乘的简便记法为$a^n$，其中a是相同的因数（即底数），n是相同因数的个数（即指数）。解题时先找出每一问中的相同因数，再数出相同因数的个数，即可将乘积写成幂的形式；需要注意当底数是负数或分数时，要给整个底数加上括号再标注指数，避免出现符号或运算顺序错误。
【解析】
(1) 观察算式$(-6)×(-6)×(-6)$，可得相同因数为$-6$，相同因数的个数是3个，根据乘方的定义，可将乘积写为$(-6)^3$，其中相同的因数$-6$是底数，因数的个数3是指数。
(2) 观察算式$\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}$，可得相同因数为$\dfrac{2}{3}$，相同因数的个数是4个，根据乘方的定义，可将乘积写为$(\dfrac{2}{3})^4$，其中相同的因数$\dfrac{2}{3}$是底数，因数的个数4是指数。
【答案】
(1)$(-6)×(-6)×(-6)=(-6)^3$，底数是-6，指数是3。
(2)$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^4$，底数是$\frac{2}{3}$，指数是4。
【知识点】
乘方的定义，底数与指数识别
【点评】
本题是乘方的基础概念题，核心考查对乘方意义的理解，解题的易错点是当底数为负数、分数时遗漏括号导致表意错误，学习时要注意规范书写格式。
【难度系数】
0.9
解决这类问题首先要明确乘方的定义：n个相同因数a相乘的简便记法为$a^n$，其中a是相同的因数（即底数），n是相同因数的个数（即指数）。解题时先找出每一问中的相同因数，再数出相同因数的个数，即可将乘积写成幂的形式；需要注意当底数是负数或分数时，要给整个底数加上括号再标注指数，避免出现符号或运算顺序错误。
【解析】
(1) 观察算式$(-6)×(-6)×(-6)$，可得相同因数为$-6$，相同因数的个数是3个，根据乘方的定义，可将乘积写为$(-6)^3$，其中相同的因数$-6$是底数，因数的个数3是指数。
(2) 观察算式$\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}$，可得相同因数为$\dfrac{2}{3}$，相同因数的个数是4个，根据乘方的定义，可将乘积写为$(\dfrac{2}{3})^4$，其中相同的因数$\dfrac{2}{3}$是底数，因数的个数4是指数。
【答案】
(1)$(-6)×(-6)×(-6)=(-6)^3$，底数是-6，指数是3。
(2)$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^4$，底数是$\frac{2}{3}$，指数是4。
【知识点】
乘方的定义，底数与指数识别
【点评】
本题是乘方的基础概念题，核心考查对乘方意义的理解，解题的易错点是当底数为负数、分数时遗漏括号导致表意错误，学习时要注意规范书写格式。
【难度系数】
0.9
7. 计算：
(1) $0^{10}$；
(2) $(-2)^3$；
(3) $-(\dfrac{1}{2})^5$；
(4) $0.3^3$；
(5) $-(-\dfrac{4}{3})^4$；
(6) $-\dfrac{7^2}{9}$。
(1) $0^{10}$；
(2) $(-2)^3$；
(3) $-(\dfrac{1}{2})^5$；
(4) $0.3^3$；
(5) $-(-\dfrac{4}{3})^4$；
(6) $-\dfrac{7^2}{9}$。
答案
7. 解:(1)0; (2)$-8$; (3)$-\frac{1}{32}$; (4)0.027; (5)$-\frac{256}{81}$;
(6)$-\frac{49}{9}$。
(6)$-\frac{49}{9}$。
解析
【分析】
解决这类有理数乘方运算题，首先要明确乘方的定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作$a^n$，其中a是底数，n是指数。计算时先确定底数，再按规则判断符号：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数、偶次幂是正数，0的正整数次幂都是0；还要注意运算顺序：有括号先算括号内的乘方，再处理括号外的符号，分数乘方要分子、分母分别乘方，注意区分底数是否带负号、是否带括号，避免符号出错。
【解析】
(1) $0^{10}$表示10个0相乘，根据0的正整数次幂都是0，得$0^{10}=0$；
(2) $(-2)^3$表示3个-2相乘，即$(-2)×(-2)×(-2)=4×(-2)=-8$；
(3) 先计算$(\frac{1}{2})^5$：表示5个$\frac{1}{2}$相乘，$(\frac{1}{2})^5=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{32}$，再加上前面的负号，得$-(\frac{1}{2})^5=-\frac{1}{32}$；
(4) $0.3^3$表示3个0.3相乘，即$0.3×0.3×0.3=0.09×0.3=0.027$；
(5) 先计算$(-\frac{4}{3})^4$：4个$-\frac{4}{3}$相乘，负数的偶次幂为正，得$(-\frac{4}{3})^4=(\frac{4}{3})^4=\frac{4×4×4×4}{3×3×3×3}=\frac{256}{81}$，再加上前面的负号，得$-(-\frac{4}{3})^4=-\frac{256}{81}$；
(6) 先计算分子的$7^2$：$7^2=7×7=49$，再添上前面的负号，得$-\frac{7^2}{9}=-\frac{49}{9}$。
【答案】
(1)0; (2)$-8$; (3)$-\frac{1}{32}$; (4)0.027; (5)$-\frac{256}{81}$; (6)$-\frac{49}{9}$
【知识点】
乘方的定义，乘方符号法则，有理数乘方运算
【点评】
本题是有理数乘方的基础运算题，核心考察对乘方定义的理解和运算中符号的判断，计算时需注意区分底数是否带括号、负号是否属于底数，是巩固乘方运算基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
解决这类有理数乘方运算题，首先要明确乘方的定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作$a^n$，其中a是底数，n是指数。计算时先确定底数，再按规则判断符号：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数、偶次幂是正数，0的正整数次幂都是0；还要注意运算顺序：有括号先算括号内的乘方，再处理括号外的符号，分数乘方要分子、分母分别乘方，注意区分底数是否带负号、是否带括号，避免符号出错。
【解析】
(1) $0^{10}$表示10个0相乘，根据0的正整数次幂都是0，得$0^{10}=0$；
(2) $(-2)^3$表示3个-2相乘，即$(-2)×(-2)×(-2)=4×(-2)=-8$；
(3) 先计算$(\frac{1}{2})^5$：表示5个$\frac{1}{2}$相乘，$(\frac{1}{2})^5=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{32}$，再加上前面的负号，得$-(\frac{1}{2})^5=-\frac{1}{32}$；
(4) $0.3^3$表示3个0.3相乘，即$0.3×0.3×0.3=0.09×0.3=0.027$；
(5) 先计算$(-\frac{4}{3})^4$：4个$-\frac{4}{3}$相乘，负数的偶次幂为正，得$(-\frac{4}{3})^4=(\frac{4}{3})^4=\frac{4×4×4×4}{3×3×3×3}=\frac{256}{81}$，再加上前面的负号，得$-(-\frac{4}{3})^4=-\frac{256}{81}$；
(6) 先计算分子的$7^2$：$7^2=7×7=49$，再添上前面的负号，得$-\frac{7^2}{9}=-\frac{49}{9}$。
【答案】
(1)0; (2)$-8$; (3)$-\frac{1}{32}$; (4)0.027; (5)$-\frac{256}{81}$; (6)$-\frac{49}{9}$
【知识点】
乘方的定义，乘方符号法则，有理数乘方运算
【点评】
本题是有理数乘方的基础运算题，核心考察对乘方定义的理解和运算中符号的判断，计算时需注意区分底数是否带括号、负号是否属于底数，是巩固乘方运算基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
