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7. 在计算$4÷(-\dfrac{2}{5})×(-5)$时，小明的解题过程如图2-3-2：
图2-3-2
判断小明的解法是否正确。若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答。
图2-3-2
判断小明的解法是否正确。若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答。
答案
7. 解:不正确,原因是同级运算的运算顺序错误。
正确解答如下：
$4÷(-\dfrac{2}{5})×(-5)$
$=4×(-\dfrac{5}{2})×(-5)$
$=(-10)×(-5)$
$=50$。
正确解答如下：
$4÷(-\dfrac{2}{5})×(-5)$
$=4×(-\dfrac{5}{2})×(-5)$
$=(-10)×(-5)$
$=50$。
解析
【分析】
要判断小明的解法是否正确，首先回忆有理数乘除混合运算的规则：乘除是同级运算，同级运算需按照从左到右的顺序依次计算，不得随意更改运算顺序。小明跳过左侧的除法优先计算右侧的乘法，违背了运算顺序要求，因此解法错误。正确解法需先将除法转化为乘法，再按从左到右的顺序计算，同时注意负号的运算规则：负负得正。
【解析】
小明的解法不正确，错误原因：乘除属于同级运算，应按从左到右的顺序依次计算，小明错误优先计算后两个数的乘法，违反了同级运算的运算顺序。
正确解答：
$4÷(-\dfrac{2}{5})×(-5)$
$=4×(-\dfrac{5}{2})×(-5)$
$=(-10)×(-5)$
$=50$
【答案】
小明解法不正确，错误原因为同级运算的运算顺序错误，正确结果为$\boldsymbol{50}$。
【知识点】
有理数乘除混合运算、同级运算顺序、有理数乘法法则
【点评】
本题是有理数运算的常见易错题，重点考查乘除同级运算的顺序规则，解题时将除法转化为乘法后再计算可降低出错概率，同时要注意符号的判断，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
要判断小明的解法是否正确，首先回忆有理数乘除混合运算的规则：乘除是同级运算，同级运算需按照从左到右的顺序依次计算，不得随意更改运算顺序。小明跳过左侧的除法优先计算右侧的乘法，违背了运算顺序要求，因此解法错误。正确解法需先将除法转化为乘法，再按从左到右的顺序计算，同时注意负号的运算规则：负负得正。
【解析】
小明的解法不正确，错误原因：乘除属于同级运算，应按从左到右的顺序依次计算，小明错误优先计算后两个数的乘法，违反了同级运算的运算顺序。
正确解答：
$4÷(-\dfrac{2}{5})×(-5)$
$=4×(-\dfrac{5}{2})×(-5)$
$=(-10)×(-5)$
$=50$
【答案】
小明解法不正确，错误原因为同级运算的运算顺序错误，正确结果为$\boldsymbol{50}$。
【知识点】
有理数乘除混合运算、同级运算顺序、有理数乘法法则
【点评】
本题是有理数运算的常见易错题，重点考查乘除同级运算的顺序规则，解题时将除法转化为乘法后再计算可降低出错概率，同时要注意符号的判断，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
8. 若$ab≠0$,则$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}$的值为
$\pm2或0$
.答案
8. $\pm2或0$
解析
【分析】
首先由条件$ab≠0$可知$a$、$b$均不为0，根据绝对值的性质，任意非零数$x$，$\frac{x}{|x|}$或$\frac{|x|}{x}$的取值只有两种：当$x$为正数时结果为1，当$x$为负数时结果为-1。因此我们可以通过对$a$、$b$的正负性分类讨论，分别计算不同情况下式子的结果，即可得到所有可能的取值。
【解析】
∵$ab≠0$，
∴$a≠0$，$b≠0$，分以下四种情况讨论：
1. 当$a＞0$，$b＞0$时：
$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}=1+1=2$
2. 当$a＞0$，$b＜0$时：
$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}=\frac{a}{a}+\frac{-b}{b}=1+(-1)=0$
3. 当$a＜0$，$b＞0$时：
$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}=\frac{a}{-a}+\frac{b}{b}=-1+1=0$
4. 当$a＜0$，$b＜0$时：
$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}=\frac{a}{-a}+\frac{-b}{b}=-1+(-1)=-2$
综上，$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}$的值为$\pm2$或$0$。
【答案】
$\pm2或0$
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 有理数运算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题核心考查绝对值的化简，解题关键是明确非零数与其绝对值的商的取值仅为$\pm1$，通过完整分类讨论$a$、$b$的正负情况即可求出所有结果，解题时注意不要遗漏两数异号的情况。
【难度系数】
0.7
首先由条件$ab≠0$可知$a$、$b$均不为0，根据绝对值的性质，任意非零数$x$，$\frac{x}{|x|}$或$\frac{|x|}{x}$的取值只有两种：当$x$为正数时结果为1，当$x$为负数时结果为-1。因此我们可以通过对$a$、$b$的正负性分类讨论，分别计算不同情况下式子的结果，即可得到所有可能的取值。
【解析】
∵$ab≠0$，
∴$a≠0$，$b≠0$，分以下四种情况讨论：
1. 当$a＞0$，$b＞0$时：
$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}=1+1=2$
2. 当$a＞0$，$b＜0$时：
$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}=\frac{a}{a}+\frac{-b}{b}=1+(-1)=0$
3. 当$a＜0$，$b＞0$时：
$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}=\frac{a}{-a}+\frac{b}{b}=-1+1=0$
4. 当$a＜0$，$b＜0$时：
$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}=\frac{a}{-a}+\frac{-b}{b}=-1+(-1)=-2$
综上，$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}$的值为$\pm2$或$0$。
【答案】
$\pm2或0$
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 有理数运算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题核心考查绝对值的化简，解题关键是明确非零数与其绝对值的商的取值仅为$\pm1$，通过完整分类讨论$a$、$b$的正负情况即可求出所有结果，解题时注意不要遗漏两数异号的情况。
【难度系数】
0.7
9. 数学老师布置了一道思考题“计算：$(-\frac{1}{12})÷(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})$。”小明仔细思考了一番，用下面的方法解决了这个问题。
小明的解法：原式的倒数为$(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})÷(-\frac{1}{12})=(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})×(-12)=-4+10=6$，所以$(-\frac{1}{12})÷(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})=\frac{1}{6}$。
(1)请你判断小明的解法是否正确，并说明理由；
(2)请你运用小明的解法计算：$(-\frac{1}{24})÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{3}{8})$。
小明的解法：原式的倒数为$(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})÷(-\frac{1}{12})=(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})×(-12)=-4+10=6$，所以$(-\frac{1}{12})÷(\frac{1}{3}-\frac{5}{6})=\frac{1}{6}$。
(1)请你判断小明的解法是否正确，并说明理由；
(2)请你运用小明的解法计算：$(-\frac{1}{24})÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{3}{8})$。
答案
9. 解:(1)正确。
理由:一个数的倒数的倒数等于原数。
(2) 原 式 的 倒 数 为 $(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{8}) ÷ (-\dfrac{1}{24}) =(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{8}) × (-24) =-8+4-9=-13$,
则 $(-\dfrac{1}{24}) ÷ (\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{8}) =-\dfrac{1}{13}$。
理由:一个数的倒数的倒数等于原数。
(2) 原 式 的 倒 数 为 $(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{8}) ÷ (-\dfrac{1}{24}) =(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{8}) × (-24) =-8+4-9=-13$,
则 $(-\dfrac{1}{24}) ÷ (\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{8}) =-\dfrac{1}{13}$。
解析
【分析】
(1) 判断小明解法是否正确可结合倒数的性质分析：当除数不为0时，非零数的倒数的倒数等于原数，小明先计算原式的倒数，再对倒数取倒数得到原式结果，思路符合数学规律，可据此判断正误。
(2) 仿照小明的解法，先求待计算算式的倒数，将除法转换为乘法后，用乘法分配律简化计算，得到倒数的值后再取倒数，即可得到原式的结果，计算过程中需重点注意符号的处理。
【解析】
(1) 小明的解法正确。
理由：当除数不为0时，一个非零数的倒数的倒数等于原数，小明的计算过程符合该性质，运算步骤也无错误。
(2) 先计算原式的倒数：
$\begin{split}&(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{3}{8}) ÷ (-\frac{1}{24}) \\=&(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{3}{8}) × (-24) \\=&\frac{1}{3}×(-24) - \frac{1}{6}×(-24) + \frac{3}{8}×(-24) \\=&-8 + 4 - 9 \\=&-13\end{split}$
对倒数的结果取倒数，可得原式的值：$(-\frac{1}{24})÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{3}{8})=-\frac{1}{13}$
【答案】
(1) 正确，理由：一个数的倒数的倒数等于原数；
(2) $-\dfrac{1}{13}$
【知识点】
倒数的性质；有理数除法运算；乘法分配律
【点评】
本题考查有理数除法的简便运算，通过先求原式倒数的方法，可将复杂的除法运算转化为能用乘法分配律简化的乘法运算，大幅降低计算难度，解题时需注意运算符号的准确性，不要忘记最后对倒数结果取倒数得到原式的值。
【难度系数】
0.7
(1) 判断小明解法是否正确可结合倒数的性质分析：当除数不为0时，非零数的倒数的倒数等于原数，小明先计算原式的倒数，再对倒数取倒数得到原式结果，思路符合数学规律，可据此判断正误。
(2) 仿照小明的解法，先求待计算算式的倒数，将除法转换为乘法后，用乘法分配律简化计算，得到倒数的值后再取倒数，即可得到原式的结果，计算过程中需重点注意符号的处理。
【解析】
(1) 小明的解法正确。
理由：当除数不为0时，一个非零数的倒数的倒数等于原数，小明的计算过程符合该性质，运算步骤也无错误。
(2) 先计算原式的倒数：
$\begin{split}&(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{3}{8}) ÷ (-\frac{1}{24}) \\=&(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{3}{8}) × (-24) \\=&\frac{1}{3}×(-24) - \frac{1}{6}×(-24) + \frac{3}{8}×(-24) \\=&-8 + 4 - 9 \\=&-13\end{split}$
对倒数的结果取倒数，可得原式的值：$(-\frac{1}{24})÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{3}{8})=-\frac{1}{13}$
【答案】
(1) 正确，理由：一个数的倒数的倒数等于原数；
(2) $-\dfrac{1}{13}$
【知识点】
倒数的性质；有理数除法运算；乘法分配律
【点评】
本题考查有理数除法的简便运算，通过先求原式倒数的方法，可将复杂的除法运算转化为能用乘法分配律简化的乘法运算，大幅降低计算难度，解题时需注意运算符号的准确性，不要忘记最后对倒数结果取倒数得到原式的值。
【难度系数】
0.7
