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8. 你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根细的面条（如图2-4-2）。第一次捏合后，可以拉出2根面条；第二次捏合后，可以拉出4根面条；第三次捏合后，可以拉出8根面条；第四次捏合后，可以拉出
图2-4-2
16
根面条；第五次捏合后，可以拉出32
根面条……根据以上规律，你知道第几次捏合后，可以拉出128根面条吗？图2-4-2
答案
8. 解:16 32 因为$2^7=128$,所以第七次捏合之后,可以拉出128根面条。
解析
【分析】
首先观察每次捏合后面条数量的变化规律：第一次捏合后是2根，第二次是4根，第三次是8根，能发现每次捏合后面条数量都是上一次的2倍，即第n次捏合后面条的数量为2的n次方。按照这个规律可以依次计算第四次、第五次的面条数，再通过计算2的多少次方等于128，就能得到拉出128根面条对应的捏合次数。
【解析】
解：整理已知条件可得：
第1次捏合后，面条根数：$2=2^1$
第2次捏合后，面条根数：$4=2^2$
第3次捏合后，面条根数：$8=2^3$
由此总结规律：第$n$次捏合后，面条的根数为$2^n$。
1. 第四次捏合后，面条根数为$2^4=16$（根）
2. 第五次捏合后，面条根数为$2^5=32$（根）
3. 若拉出128根面条，即求满足$2^n=128$的$n$值，因为$2^7=128$，所以$n=7$。
【答案】
16；32；第七次捏合后，可以拉出128根面条。
【知识点】
有理数的乘方；规律探究
【点评】
本题结合生活中的拉面场景考查乘方的实际应用，解题核心是找到捏合次数与面条根数之间的指数增长规律，能帮助学生理解乘方在表示成倍增长问题时的便捷性。
【难度系数】
0.85
首先观察每次捏合后面条数量的变化规律：第一次捏合后是2根，第二次是4根，第三次是8根，能发现每次捏合后面条数量都是上一次的2倍，即第n次捏合后面条的数量为2的n次方。按照这个规律可以依次计算第四次、第五次的面条数，再通过计算2的多少次方等于128，就能得到拉出128根面条对应的捏合次数。
【解析】
解：整理已知条件可得：
第1次捏合后，面条根数：$2=2^1$
第2次捏合后，面条根数：$4=2^2$
第3次捏合后，面条根数：$8=2^3$
由此总结规律：第$n$次捏合后，面条的根数为$2^n$。
1. 第四次捏合后，面条根数为$2^4=16$（根）
2. 第五次捏合后，面条根数为$2^5=32$（根）
3. 若拉出128根面条，即求满足$2^n=128$的$n$值，因为$2^7=128$，所以$n=7$。
【答案】
16；32；第七次捏合后，可以拉出128根面条。
【知识点】
有理数的乘方；规律探究
【点评】
本题结合生活中的拉面场景考查乘方的实际应用，解题核心是找到捏合次数与面条根数之间的指数增长规律，能帮助学生理解乘方在表示成倍增长问题时的便捷性。
【难度系数】
0.85
9. 把有理数$(-3.2)^3, (-3.2)^4, (-3.2)^5$按从小到大的顺序排列，正确的是（
A.$(-3.2)^3 ＜ (-3.2)^4 ＜ (-3.2)^5$
B.$(-3.2)^5 ＜ (-3.2)^4 ＜ (-3.2)^3$
C.$(-3.2)^3 ＜ (-3.2)^5 ＜ (-3.2)^4$
D.$(-3.2)^5 ＜ (-3.2)^3 ＜ (-3.2)^4$
D
）。A.$(-3.2)^3 ＜ (-3.2)^4 ＜ (-3.2)^5$
B.$(-3.2)^5 ＜ (-3.2)^4 ＜ (-3.2)^3$
C.$(-3.2)^3 ＜ (-3.2)^5 ＜ (-3.2)^4$
D.$(-3.2)^5 ＜ (-3.2)^3 ＜ (-3.2)^4$
答案
9.D
解析
【分析】
要比较三个乘方的大小，首先可以根据有理数乘方的符号规律先判断三个数的正负：负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数，所以正数肯定大于负数，先确定最大的数，排除错误选项；再对剩下的两个负数按照“负数比较大小，绝对值大的反而小”的规则比较即可得出最终顺序。
【解析】
1. 判断三个数的正负：
根据乘方的符号规律：负数的奇次幂为负，偶次幂为正。
可得$(-3.2)^4$是偶次幂，结果为正，即$(-3.2)^4＞0$；
$(-3.2)^3$和$(-3.2)^5$是奇次幂，结果为负，即$(-3.2)^3＜0$，$(-3.2)^5＜0$。
因此三个数中$(-3.2)^4$最大，排除选项A、B。
2. 比较两个负数的大小：
负数比较大小，绝对值大的数反而更小。
计算两个负数的绝对值：$|(-3.2)^3|=3.2^3$，$|(-3.2)^5|=3.2^5$。
因为$3.2＞1$，当底数大于1时，指数越大幂越大，所以$3.2^5＞3.2^3$，因此$(-3.2)^5 ＜ (-3.2)^3$。
综上，从小到大的顺序为$(-3.2)^5 ＜ (-3.2)^3 ＜ (-3.2)^4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方的符号规律，有理数大小比较
【点评】
本题是有理数乘方相关的基础题型，解题的关键是先利用乘方的符号规则区分正负，快速缩小判断范围，再结合负数比较大小的规则完成排序，避免直接比较幂的数值而忽略符号导致出错。
【难度系数】
0.8
要比较三个乘方的大小，首先可以根据有理数乘方的符号规律先判断三个数的正负：负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数，所以正数肯定大于负数，先确定最大的数，排除错误选项；再对剩下的两个负数按照“负数比较大小，绝对值大的反而小”的规则比较即可得出最终顺序。
【解析】
1. 判断三个数的正负：
根据乘方的符号规律：负数的奇次幂为负，偶次幂为正。
可得$(-3.2)^4$是偶次幂，结果为正，即$(-3.2)^4＞0$；
$(-3.2)^3$和$(-3.2)^5$是奇次幂，结果为负，即$(-3.2)^3＜0$，$(-3.2)^5＜0$。
因此三个数中$(-3.2)^4$最大，排除选项A、B。
2. 比较两个负数的大小：
负数比较大小，绝对值大的数反而更小。
计算两个负数的绝对值：$|(-3.2)^3|=3.2^3$，$|(-3.2)^5|=3.2^5$。
因为$3.2＞1$，当底数大于1时，指数越大幂越大，所以$3.2^5＞3.2^3$，因此$(-3.2)^5 ＜ (-3.2)^3$。
综上，从小到大的顺序为$(-3.2)^5 ＜ (-3.2)^3 ＜ (-3.2)^4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方的符号规律，有理数大小比较
【点评】
本题是有理数乘方相关的基础题型，解题的关键是先利用乘方的符号规则区分正负，快速缩小判断范围，再结合负数比较大小的规则完成排序，避免直接比较幂的数值而忽略符号导致出错。
【难度系数】
0.8
10. 小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，他由$2^2×2^3=(2×2)×(2×2×2)=2^5$得到新的发现。请你进一步思考，和小聪一起完善这个新发现：
(1)拓展推广：$a^3·a^4=(a·a·a)·(a·a·a·a)=\_\_\_\_\_\_$；
(2)归纳概括：$a^m·a^n=\_\_\_\_\_\_$；
(3)实践应用：如果$x^m=4,x^n=25$，那么运用以上的结论，计算：$x^{m+n}=\_\_\_\_\_\_$。
(1)拓展推广：$a^3·a^4=(a·a·a)·(a·a·a·a)=\_\_\_\_\_\_$；
(2)归纳概括：$a^m·a^n=\_\_\_\_\_\_$；
(3)实践应用：如果$x^m=4,x^n=25$，那么运用以上的结论，计算：$x^{m+n}=\_\_\_\_\_\_$。
答案
10. (1)$a^7$ 解析:$a^3·a^4=(a·a·a)·(a·a·a·a)=a^7$。
(2)$a^{m+n}$
(3)100 解析:如果$x^m=4,x^n=25$,那么运用以上的结论,计算:$x^{m+n}=x^m·x^n=4×25=100$。
(2)$a^{m+n}$
(3)100 解析:如果$x^m=4,x^n=25$,那么运用以上的结论,计算:$x^{m+n}=x^m·x^n=4×25=100$。
解析
【分析】
本题围绕同底数幂的乘法规律展开：(1)先根据乘方的意义，数出相乘的a的总个数，即可得出结果；(2)从具体例子推广到一般情况，m个a相乘与n个a相乘，总个数为m+n，由此归纳出通用公式；(3)逆用归纳得到的同底数幂乘法法则，将$x^{m+n}$拆分为$x^m·x^n$，代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 根据乘方的意义，$a^3$是3个a相乘，$a^4$是4个a相乘，两者相乘后总共有$3+4=7$个a相乘，因此$a^3·a^4=a^7$；
(2) 推广到一般情况，$a^m$是m个a相乘，$a^n$是n个a相乘，相乘后总共有$m+n$个a相乘，因此$a^m·a^n=a^{m+n}$；
(3) 根据上述归纳的结论可得$x^{m+n}=x^m·x^n$，将$x^m=4$，$x^n=25$代入得：$x^{m+n}=4×25=100$。
【答案】
(1)$a^7$；(2)$a^{m+n}$；(3)$100$
【知识点】
同底数幂的乘法法则，乘方的意义
【点评】
本题从具体的乘方运算实例出发，引导学生自主归纳同底数幂的乘法规律，再进行规律的逆用计算，既考察了对乘方意义的理解，也锻炼了从特殊到一般的归纳推理能力，是考察幂的运算基础性质的典型题目。
【难度系数】
0.9
本题围绕同底数幂的乘法规律展开：(1)先根据乘方的意义，数出相乘的a的总个数，即可得出结果；(2)从具体例子推广到一般情况，m个a相乘与n个a相乘，总个数为m+n，由此归纳出通用公式；(3)逆用归纳得到的同底数幂乘法法则，将$x^{m+n}$拆分为$x^m·x^n$，代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 根据乘方的意义，$a^3$是3个a相乘，$a^4$是4个a相乘，两者相乘后总共有$3+4=7$个a相乘，因此$a^3·a^4=a^7$；
(2) 推广到一般情况，$a^m$是m个a相乘，$a^n$是n个a相乘，相乘后总共有$m+n$个a相乘，因此$a^m·a^n=a^{m+n}$；
(3) 根据上述归纳的结论可得$x^{m+n}=x^m·x^n$，将$x^m=4$，$x^n=25$代入得：$x^{m+n}=4×25=100$。
【答案】
(1)$a^7$；(2)$a^{m+n}$；(3)$100$
【知识点】
同底数幂的乘法法则，乘方的意义
【点评】
本题从具体的乘方运算实例出发，引导学生自主归纳同底数幂的乘法规律，再进行规律的逆用计算，既考察了对乘方意义的理解，也锻炼了从特殊到一般的归纳推理能力，是考察幂的运算基础性质的典型题目。
【难度系数】
0.9
