登录
3.某通信公司为迎接元旦推出了“亲情卡”和“校园卡”.两种电话卡的收费方式如下表所示.
(1)若一个月本地通话时间为$x$ min,则用“亲情卡”要收费元,用“校园卡”要收费元;(用含$x$的式子表示)
(2)当一个月本地通话时间为多少分钟时,两种收费方式的收费一样？
(1)若一个月本地通话时间为$x$ min,则用“亲情卡”要收费元,用“校园卡”要收费元;(用含$x$的式子表示)
(2)当一个月本地通话时间为多少分钟时,两种收费方式的收费一样？
答案
解：
(1) 用“亲情卡”要收费$\boldsymbol{(18+0.1x)}$元，用“校园卡”要收费$\boldsymbol{0.3x}$元；
(2) 设当一个月本地通话时间为$x$分钟时，两种收费方式的收费一样。
根据题意列方程：
$18 + 0.1x = 0.3x$
移项，得：$0.3x - 0.1x = 18$
合并同类项，得：$0.2x = 18$
系数化为1，得：$x = 90$
答：当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样。
(1) 用“亲情卡”要收费$\boldsymbol{(18+0.1x)}$元，用“校园卡”要收费$\boldsymbol{0.3x}$元；
(2) 设当一个月本地通话时间为$x$分钟时，两种收费方式的收费一样。
根据题意列方程：
$18 + 0.1x = 0.3x$
移项，得：$0.3x - 0.1x = 18$
合并同类项，得：$0.2x = 18$
系数化为1，得：$x = 90$
答：当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样。
解析
【分析】
（1）求解两种卡的收费表达式，首先明确收费构成：亲情卡有固定月租，总费用为月租费加通话时长对应的通话费；校园卡无月租，总费用就等于通话时长对应的通话费，据此分别列式即可。
（2）两种收费方式费用一样，即两种卡的收费表达式数值相等，以此为等量关系建立一元一次方程，再按照一元一次方程的求解步骤计算就能得到对应的通话时长。
【解析】
(1) 亲情卡总收费=月租费+通话费用：月租18元，通话$x$分钟的费用为$0.1x$元，因此总收费为$\boldsymbol{(18+0.1x)}$元；
校园卡无月租，总收费=通话费用：通话$x$分钟的费用为$0.3x$元，因此总收费为$\boldsymbol{0.3x}$元。
(2) 设当一个月本地通话时间为$x$分钟时，两种收费方式的收费一样。
根据费用相等的等量关系列方程：
$18 + 0.1x = 0.3x$
移项，得：$0.3x - 0.1x = 18$
合并同类项，得：$0.2x = 18$
系数化为1，得：$x = 90$
答：当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(18+0.1x)}$，$\boldsymbol{0.3x}$；
(2) $\boldsymbol{90}$分钟
【知识点】
列代数式，一元一次方程应用，计费问题
【点评】
本题是典型的生活类计费应用题，解题核心是理清不同收费方案的费用组成，找准等量关系转化为数学式子求解，掌握这类题的解法可以解决很多生活中的消费方案选择问题。
【难度系数】
0.8
（1）求解两种卡的收费表达式，首先明确收费构成：亲情卡有固定月租，总费用为月租费加通话时长对应的通话费；校园卡无月租，总费用就等于通话时长对应的通话费，据此分别列式即可。
（2）两种收费方式费用一样，即两种卡的收费表达式数值相等，以此为等量关系建立一元一次方程，再按照一元一次方程的求解步骤计算就能得到对应的通话时长。
【解析】
(1) 亲情卡总收费=月租费+通话费用：月租18元，通话$x$分钟的费用为$0.1x$元，因此总收费为$\boldsymbol{(18+0.1x)}$元；
校园卡无月租，总收费=通话费用：通话$x$分钟的费用为$0.3x$元，因此总收费为$\boldsymbol{0.3x}$元。
(2) 设当一个月本地通话时间为$x$分钟时，两种收费方式的收费一样。
根据费用相等的等量关系列方程：
$18 + 0.1x = 0.3x$
移项，得：$0.3x - 0.1x = 18$
合并同类项，得：$0.2x = 18$
系数化为1，得：$x = 90$
答：当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(18+0.1x)}$，$\boldsymbol{0.3x}$；
(2) $\boldsymbol{90}$分钟
【知识点】
列代数式，一元一次方程应用，计费问题
【点评】
本题是典型的生活类计费应用题，解题核心是理清不同收费方案的费用组成，找准等量关系转化为数学式子求解，掌握这类题的解法可以解决很多生活中的消费方案选择问题。
【难度系数】
0.8
4.某商场举行促销活动，有两种优惠办法：第一种，顾客所购买商品一律按九折优惠；第二种，采取“满一百元送十元，并且连环赠送”的酬宾方式，即顾客消费每满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者合计）就送10元购物券，满200元就送20元购物券……以此类推.现有甲、乙两位顾客，甲顾客选择第一种优惠办法，共付费10 000元；乙顾客选择第二种优惠办法，第一次就付了10 000元进行购物，并用所得购物券继续购物.按所享受的折扣算，享受折扣更优惠的是().
A.甲、乙一样
B.甲
C.乙
D.无法比较
A.甲、乙一样
B.甲
C.乙
D.无法比较
答案
B
解析
【分析】
要判断哪种优惠更划算，我们可以通过对比相同实付金额下，两人能购买的商品总价值来判断，总价值越高说明优惠力度越大。解题思路分三步：第一步先计算甲用10000元能买到的商品原价，已知九折优惠，实付金额是原价的90%，用除法即可求出原价；第二步按照“满100送10元、连环赠送”的规则，逐步计算乙每次获得的购物券金额，累加后得到乙总共能购买的商品总价值；第三步对比两人的商品总价值，即可得出结论。
【解析】
1. 计算甲可购买的商品总价值：
第一种优惠为九折，即实付金额=商品原价×90%，已知甲实付10000元，因此：
甲可买商品原价 = $ 10000 ÷ 90\% = \frac{100000}{9} \approx 11111.11 $ 元
2. 计算乙可购买的商品总价值：
按照连环赠送规则分步计算购物券：
① 第一次付10000元现金，获赠购物券：$ 10000 ÷ 100 × 10 = 1000 $ 元
② 用1000元购物券消费，获赠购物券：$ 1000 ÷ 100 × 10 = 100 $ 元
③ 用100元购物券消费，获赠购物券：$ 100 ÷ 100 × 10 = 10 $ 元
④ 剩余10元购物券不满100元，不再赠送
因此乙总共可买商品价值 = $ 10000 + 1000 + 100 + 10 = 11110 $ 元
3. 对比可知：$ 11111.11 ＞ 11110 $，相同实付金额下甲能购买的商品价值更高，因此甲享受的折扣更优惠。
【答案】
B
【知识点】
折扣问题，方案选择，有理数运算
【点评】
本题结合生活中的促销场景出题，解题核心是准确理解不同优惠规则的计算逻辑，连环赠券类问题要注意逐次计算赠额，直到不符合赠送条件为止，再通过对比相同支出下的消费总额判断优惠力度。
【难度系数】
0.7
要判断哪种优惠更划算，我们可以通过对比相同实付金额下，两人能购买的商品总价值来判断，总价值越高说明优惠力度越大。解题思路分三步：第一步先计算甲用10000元能买到的商品原价，已知九折优惠，实付金额是原价的90%，用除法即可求出原价；第二步按照“满100送10元、连环赠送”的规则，逐步计算乙每次获得的购物券金额，累加后得到乙总共能购买的商品总价值；第三步对比两人的商品总价值，即可得出结论。
【解析】
1. 计算甲可购买的商品总价值：
第一种优惠为九折，即实付金额=商品原价×90%，已知甲实付10000元，因此：
甲可买商品原价 = $ 10000 ÷ 90\% = \frac{100000}{9} \approx 11111.11 $ 元
2. 计算乙可购买的商品总价值：
按照连环赠送规则分步计算购物券：
① 第一次付10000元现金，获赠购物券：$ 10000 ÷ 100 × 10 = 1000 $ 元
② 用1000元购物券消费，获赠购物券：$ 1000 ÷ 100 × 10 = 100 $ 元
③ 用100元购物券消费，获赠购物券：$ 100 ÷ 100 × 10 = 10 $ 元
④ 剩余10元购物券不满100元，不再赠送
因此乙总共可买商品价值 = $ 10000 + 1000 + 100 + 10 = 11110 $ 元
3. 对比可知：$ 11111.11 ＞ 11110 $，相同实付金额下甲能购买的商品价值更高，因此甲享受的折扣更优惠。
【答案】
B
【知识点】
折扣问题，方案选择，有理数运算
【点评】
本题结合生活中的促销场景出题，解题核心是准确理解不同优惠规则的计算逻辑，连环赠券类问题要注意逐次计算赠额，直到不符合赠送条件为止，再通过对比相同支出下的消费总额判断优惠力度。
【难度系数】
0.7
5.某学校开展“足球进校园”活动，计划采购一批足球.现有两种购买方式：
方式一:直接从工厂批发,每个足球68元,但需要额外支付运费300元；
方式二:从商场购买,同样品牌型号的足球的标价为110元/个,学校采购可以打八折.
(1)当学校采购多少个足球时,两种方式的费用相等？
(2)若学校需要采购30个足球,采用哪种购买方式更划算？节省了多少钱？
方式一:直接从工厂批发,每个足球68元,但需要额外支付运费300元；
方式二:从商场购买,同样品牌型号的足球的标价为110元/个,学校采购可以打八折.
(1)当学校采购多少个足球时,两种方式的费用相等？
(2)若学校需要采购30个足球,采用哪种购买方式更划算？节省了多少钱？
答案
解：
(1) 设当学校采购x个足球时，两种方式的费用相等。
依题意列方程：
68x + 300 = 110×0.8x
68x + 300 = 88x
20x = 300
x = 15
(2) 采购30个足球时：
方式一总费用：68×30 + 300 = 2340（元）
方式二总费用：110×0.8×30 = 2640（元）
因为2340 ＜ 2640，所以选择方式一更划算。
节省的金额为：2640 - 2340 = 300（元）
答：(1) 当学校采购15个足球时，两种方式的费用相等；(2) 采用直接从工厂批发的方式一更划算，节省了300元。
(1) 设当学校采购x个足球时，两种方式的费用相等。
依题意列方程：
68x + 300 = 110×0.8x
68x + 300 = 88x
20x = 300
x = 15
(2) 采购30个足球时：
方式一总费用：68×30 + 300 = 2340（元）
方式二总费用：110×0.8×30 = 2640（元）
因为2340 ＜ 2640，所以选择方式一更划算。
节省的金额为：2640 - 2340 = 300（元）
答：(1) 当学校采购15个足球时，两种方式的费用相等；(2) 采用直接从工厂批发的方式一更划算，节省了300元。
解析
【分析】
(1) 要解决两种购买方式费用相等的问题，首先需明确两种方式的总费用计算规则：方式一总费用=足球单价×采购数量+固定运费，方式二总费用=打折后足球单价×采购数量。我们设采购足球的数量为x个，先用含x的代数式分别表示出两种方式的总费用，再根据“费用相等”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到对应的采购数量。
(2) 判断采购30个足球时哪种方式更划算，只需将x=30分别代入两种方式的总费用代数式，计算出各自的总费用后比较大小，费用更低的方案更划算，用较高的总费用减去较低的总费用就能算出节省的金额。
【解析】
(1) 设当学校采购x个足球时，两种方式的费用相等。
依题意列方程：
$68x + 300 = 110×0.8x$
化简得：$68x + 300 = 88x$
移项计算得：$20x = 300$
解得：$x = 15$
(2) 采购30个足球时，分别计算两种方式的总费用：
方式一总费用：$68×30 + 300 = 2340$（元）
方式二总费用：$110×0.8×30 = 2640$（元）
因为$2340 ＜ 2640$，所以选择方式一更划算。
节省的金额为：$2640 - 2340 = 300$（元）
【答案】
(1) 当学校采购15个足球时，两种方式的费用相等；
(2) 采购30个足球时采用直接从工厂批发的方式一更划算，节省了300元。
【知识点】
一元一次方程的应用，方案选择问题，代数式求值
【点评】
本题是贴合生活消费场景的应用题，解题核心是准确梳理不同方案的费用计算逻辑，根据题意列方程或代入数值计算即可，能有效考察学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 要解决两种购买方式费用相等的问题，首先需明确两种方式的总费用计算规则：方式一总费用=足球单价×采购数量+固定运费，方式二总费用=打折后足球单价×采购数量。我们设采购足球的数量为x个，先用含x的代数式分别表示出两种方式的总费用，再根据“费用相等”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到对应的采购数量。
(2) 判断采购30个足球时哪种方式更划算，只需将x=30分别代入两种方式的总费用代数式，计算出各自的总费用后比较大小，费用更低的方案更划算，用较高的总费用减去较低的总费用就能算出节省的金额。
【解析】
(1) 设当学校采购x个足球时，两种方式的费用相等。
依题意列方程：
$68x + 300 = 110×0.8x$
化简得：$68x + 300 = 88x$
移项计算得：$20x = 300$
解得：$x = 15$
(2) 采购30个足球时，分别计算两种方式的总费用：
方式一总费用：$68×30 + 300 = 2340$（元）
方式二总费用：$110×0.8×30 = 2640$（元）
因为$2340 ＜ 2640$，所以选择方式一更划算。
节省的金额为：$2640 - 2340 = 300$（元）
【答案】
(1) 当学校采购15个足球时，两种方式的费用相等；
(2) 采购30个足球时采用直接从工厂批发的方式一更划算，节省了300元。
【知识点】
一元一次方程的应用，方案选择问题，代数式求值
【点评】
本题是贴合生活消费场景的应用题，解题核心是准确梳理不同方案的费用计算逻辑，根据题意列方程或代入数值计算即可，能有效考察学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
6.(运算能力、应用意识)为了美化环境，某社区需要进行绿化改造.现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200 m²，甲队与乙队合作一天能完成800 m²的绿化改造面积.
(1)甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
(2)该社区需要进行绿化改造的区域共有12 000 m²，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成.哪一种方案的施工费用最少？
(1)甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
(2)该社区需要进行绿化改造的区域共有12 000 m²，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成.哪一种方案的施工费用最少？
答案
解：(1) 设乙工程队每天能完成$x\ \mathrm{m}^2$的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成$(x+200)\ \mathrm{m}^2$的绿化改造面积。
根据题意列方程：
$x + (x+200) = 800$
解得：$x=300$
甲工程队每天完成的绿化改造面积为：$300+200=500\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 分别计算三种方案的施工费用：
① 甲队单独完成：
施工天数：$12000÷500=24$（天）
总施工费用：$24×600=14400$（元）
② 乙队单独完成：
施工天数：$12000÷300=40$（天）
总施工费用：$40×400=16000$（元）
③ 甲、乙两队全程合作完成：
施工天数：$12000÷800=15$（天）
总施工费用：$15×(600+400)=15000$（元）
因为$14400＜15000＜16000$，所以方案①的施工费用最少。
答：(1) 甲工程队每天能完成$500\ \mathrm{m}^2$的绿化改造面积，乙工程队每天能完成$300\ \mathrm{m}^2$的绿化改造面积；(2) 甲队单独完成的方案施工费用最少。
根据题意列方程：
$x + (x+200) = 800$
解得：$x=300$
甲工程队每天完成的绿化改造面积为：$300+200=500\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 分别计算三种方案的施工费用：
① 甲队单独完成：
施工天数：$12000÷500=24$（天）
总施工费用：$24×600=14400$（元）
② 乙队单独完成：
施工天数：$12000÷300=40$（天）
总施工费用：$40×400=16000$（元）
③ 甲、乙两队全程合作完成：
施工天数：$12000÷800=15$（天）
总施工费用：$15×(600+400)=15000$（元）
因为$14400＜15000＜16000$，所以方案①的施工费用最少。
答：(1) 甲工程队每天能完成$500\ \mathrm{m}^2$的绿化改造面积，乙工程队每天能完成$300\ \mathrm{m}^2$的绿化改造面积；(2) 甲队单独完成的方案施工费用最少。
解析
【分析】
(1) 第一问可通过找等量关系列一元一次方程求解：已知甲队每天改造面积比乙队多200㎡，且两队合作一天共完成800㎡，可设乙队每天改造面积为未知数，用含未知数的式子表示甲队每天改造面积，代入“两队一天总改造面积为800㎡”的等量关系即可求解。
(2) 第二问为方案选择问题，需先明确“总施工费用=每日施工费用×施工天数”“施工天数=总改造面积÷每日完成改造面积”两个计算公式，分别代入三种方案的施工方式计算总费用，再比较费用大小即可得出最优方案。
【解析】
(1) 设乙工程队每天能完成$x\ \mathrm{m}^2$的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成$(x+200)\ \mathrm{m}^2$的绿化改造面积。
根据题意列方程：
$x + (x+200) = 800$
解方程得$2x=600$，即$x=300$
甲工程队每天完成的绿化改造面积为：$300+200=500\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 分别计算三种方案的施工费用：
① 甲队单独完成：
施工天数：$12000÷500=24$（天）
总施工费用：$24×600=14400$（元）
② 乙队单独完成：
施工天数：$12000÷300=40$（天）
总施工费用：$40×400=16000$（元）
③ 甲、乙两队全程合作完成：
施工天数：$12000÷800=15$（天）
总施工费用：$15×(600+400)=15000$（元）
因为$14400＜15000＜16000$，所以方案①的施工费用最少。
【答案】
(1) 甲工程队每天能完成$500\ \mathrm{m}^2$的绿化改造面积，乙工程队每天能完成$300\ \mathrm{m}^2$的绿化改造面积；(2) 甲队单独完成的方案施工费用最少。
【知识点】
一元一次方程应用、方案选择、有理数运算
【点评】
本题结合实际生活的绿化改造场景命题，既考查一元一次方程的列解能力，又考查实际问题的方案优选逻辑，能够有效锻炼学生的运算能力和应用意识。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问可通过找等量关系列一元一次方程求解：已知甲队每天改造面积比乙队多200㎡，且两队合作一天共完成800㎡，可设乙队每天改造面积为未知数，用含未知数的式子表示甲队每天改造面积，代入“两队一天总改造面积为800㎡”的等量关系即可求解。
(2) 第二问为方案选择问题，需先明确“总施工费用=每日施工费用×施工天数”“施工天数=总改造面积÷每日完成改造面积”两个计算公式，分别代入三种方案的施工方式计算总费用，再比较费用大小即可得出最优方案。
【解析】
(1) 设乙工程队每天能完成$x\ \mathrm{m}^2$的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成$(x+200)\ \mathrm{m}^2$的绿化改造面积。
根据题意列方程：
$x + (x+200) = 800$
解方程得$2x=600$，即$x=300$
甲工程队每天完成的绿化改造面积为：$300+200=500\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 分别计算三种方案的施工费用：
① 甲队单独完成：
施工天数：$12000÷500=24$（天）
总施工费用：$24×600=14400$（元）
② 乙队单独完成：
施工天数：$12000÷300=40$（天）
总施工费用：$40×400=16000$（元）
③ 甲、乙两队全程合作完成：
施工天数：$12000÷800=15$（天）
总施工费用：$15×(600+400)=15000$（元）
因为$14400＜15000＜16000$，所以方案①的施工费用最少。
【答案】
(1) 甲工程队每天能完成$500\ \mathrm{m}^2$的绿化改造面积，乙工程队每天能完成$300\ \mathrm{m}^2$的绿化改造面积；(2) 甲队单独完成的方案施工费用最少。
【知识点】
一元一次方程应用、方案选择、有理数运算
【点评】
本题结合实际生活的绿化改造场景命题，既考查一元一次方程的列解能力，又考查实际问题的方案优选逻辑，能够有效锻炼学生的运算能力和应用意识。
【难度系数】
0.8
