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1.某家具厂生产方桌，$1\ \mathrm{m}^3$木材可制作50个桌面或300条桌腿，一张方桌按1个桌面、4条桌腿配套.现有$15\ \mathrm{m}^3$木材，怎样分配木材才能使生产的桌面和桌腿恰好配套？一共可生产多少张方桌？
答案
解：设用$x\ \mathrm{m}^3$木材制作桌面，则用$(15-x)\ \mathrm{m}^3$木材制作桌腿。
根据桌腿总数量是桌面总数量的4倍，列方程得：
$4×50x = 300(15-x)$
解方程：
$200x = 4500 - 300x$
$200x + 300x = 4500$
$500x = 4500$
$x=9$
制作桌腿的木材为$15-9=6\ (\mathrm{m}^3)$
可生产方桌的数量为$50×9=450$（张）
答：分配$9\ \mathrm{m}^3$木材制作桌面，$6\ \mathrm{m}^3$木材制作桌腿，能使生产的桌面和桌腿恰好配套，一共可生产450张方桌。
根据桌腿总数量是桌面总数量的4倍，列方程得：
$4×50x = 300(15-x)$
解方程：
$200x = 4500 - 300x$
$200x + 300x = 4500$
$500x = 4500$
$x=9$
制作桌腿的木材为$15-9=6\ (\mathrm{m}^3)$
可生产方桌的数量为$50×9=450$（张）
答：分配$9\ \mathrm{m}^3$木材制作桌面，$6\ \mathrm{m}^3$木材制作桌腿，能使生产的桌面和桌腿恰好配套，一共可生产450张方桌。
解析
【分析】
这是典型的一元一次方程配套类应用题，解题核心是找准配套对应的数量关系。首先设制作桌面的木材体积为未知数，那么制作桌腿的木材体积可用总木材体积减去该未知数表示；再分别计算出可生产的桌面总数量、桌腿总数量，根据“1张方桌需配4条桌腿，即桌腿总数量=桌面总数量×4”的等量关系列方程；最后求解方程，依次算出制作桌腿的木材体积和可生产的方桌总数即可。
【解析】
解：设用$x\ \mathrm{m}^3$木材制作桌面，则用$(15-x)\ \mathrm{m}^3$木材制作桌腿。
根据桌腿总数量是桌面总数量的4倍，列方程得：
$4×50x = 300(15-x)$
解方程：
$200x = 4500 - 300x$
$200x + 300x = 4500$
$500x = 4500$
$x=9$
制作桌腿的木材为$15-9=6\ (\mathrm{m}^3)$
可生产方桌的数量为$50×9=450$（张）
【答案】
分配$9\ \mathrm{m}^3$木材制作桌面，$6\ \mathrm{m}^3$木材制作桌腿，能使生产的桌面和桌腿恰好配套，一共可生产450张方桌。
【知识点】
一元一次方程应用、配套问题
【点评】
本题属于配套类基础应用题，解题的关键是准确找到两个配套量之间的倍数关系作为等量关系列方程，熟练掌握该方法后可快速解决同类型的配套问题。
【难度系数】
0.7
这是典型的一元一次方程配套类应用题，解题核心是找准配套对应的数量关系。首先设制作桌面的木材体积为未知数，那么制作桌腿的木材体积可用总木材体积减去该未知数表示；再分别计算出可生产的桌面总数量、桌腿总数量，根据“1张方桌需配4条桌腿，即桌腿总数量=桌面总数量×4”的等量关系列方程；最后求解方程，依次算出制作桌腿的木材体积和可生产的方桌总数即可。
【解析】
解：设用$x\ \mathrm{m}^3$木材制作桌面，则用$(15-x)\ \mathrm{m}^3$木材制作桌腿。
根据桌腿总数量是桌面总数量的4倍，列方程得：
$4×50x = 300(15-x)$
解方程：
$200x = 4500 - 300x$
$200x + 300x = 4500$
$500x = 4500$
$x=9$
制作桌腿的木材为$15-9=6\ (\mathrm{m}^3)$
可生产方桌的数量为$50×9=450$（张）
【答案】
分配$9\ \mathrm{m}^3$木材制作桌面，$6\ \mathrm{m}^3$木材制作桌腿，能使生产的桌面和桌腿恰好配套，一共可生产450张方桌。
【知识点】
一元一次方程应用、配套问题
【点评】
本题属于配套类基础应用题，解题的关键是准确找到两个配套量之间的倍数关系作为等量关系列方程，熟练掌握该方法后可快速解决同类型的配套问题。
【难度系数】
0.7
2.一份工作，由2个人做要6个月完成，现计划由一部分人先做1个月，然后再增加4个人和他们一起做1个月，完成这份工作的$\frac{5}{6}$。假设这些人的工作效率相同，应先安排多少个人工作？
答案
解：设应先安排$x$个人工作。
由2个人做6个月完成全部工作，可知每个人的月工作效率为$\frac{1}{2×6}=\frac{1}{12}$。
根据题意列方程：
$\frac{1}{12}x + \frac{1}{12}(x+4) = \frac{5}{6}$
去分母，得：
$x + x + 4 = 10$
合并同类项，得：
$2x = 6$
系数化为1，得：
$x=3$
答：应先安排3个人工作。
由2个人做6个月完成全部工作，可知每个人的月工作效率为$\frac{1}{2×6}=\frac{1}{12}$。
根据题意列方程：
$\frac{1}{12}x + \frac{1}{12}(x+4) = \frac{5}{6}$
去分母，得：
$x + x + 4 = 10$
合并同类项，得：
$2x = 6$
系数化为1，得：
$x=3$
答：应先安排3个人工作。
解析
【分析】
这是典型的工程类一元一次方程应用题，解题时首先将总工作量看作单位“1”。第一步先计算单人月工作效率：已知2人工作6个月完成全部工作，总工作量为1，因此单人每月的工作效率为$\frac{1}{2×6}=\frac{1}{12}$。接着找等量关系：先安排的x人1个月的工作量 + 增加4人后(x+4)人1个月的工作量 = 总工作量的$\frac{5}{6}$，再根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设应先安排$x$个人工作。
由2个人做6个月完成全部工作，可知每个人的月工作效率为$\frac{1}{2×6}=\frac{1}{12}$。
根据题意列方程：
$\frac{1}{12}x + \frac{1}{12}(x+4) = \frac{5}{6}$
去分母，两边同时乘12，得：
$x + x + 4 = 10$
合并同类项，得：
$2x = 6$
系数化为1，得：
$x=3$
【答案】
应先安排3个人工作。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工程问题
3. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题核心是明确工程问题中总工作量、工作效率、工作时间、人数之间的关系，准确找到等量关系列方程，同时要熟练掌握一元一次方程的解法。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类一元一次方程应用题，解题时首先将总工作量看作单位“1”。第一步先计算单人月工作效率：已知2人工作6个月完成全部工作，总工作量为1，因此单人每月的工作效率为$\frac{1}{2×6}=\frac{1}{12}$。接着找等量关系：先安排的x人1个月的工作量 + 增加4人后(x+4)人1个月的工作量 = 总工作量的$\frac{5}{6}$，再根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设应先安排$x$个人工作。
由2个人做6个月完成全部工作，可知每个人的月工作效率为$\frac{1}{2×6}=\frac{1}{12}$。
根据题意列方程：
$\frac{1}{12}x + \frac{1}{12}(x+4) = \frac{5}{6}$
去分母，两边同时乘12，得：
$x + x + 4 = 10$
合并同类项，得：
$2x = 6$
系数化为1，得：
$x=3$
【答案】
应先安排3个人工作。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工程问题
3. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题核心是明确工程问题中总工作量、工作效率、工作时间、人数之间的关系，准确找到等量关系列方程，同时要熟练掌握一元一次方程的解法。
【难度系数】
0.7
3.已知一个两位数,它的十位上的数字x比个位上的数字y大1.若对调个位与十位上的数字,得到的新数比原数小9.求这个两位数.
答案
解：
根据题意，原两位数为$10x+y$，对调后得到的新数为$10y+x$。
由十位上的数字$x$比个位上的数字$y$大1，可得$y = x - 1$。
根据新数比原数小9，列方程：
$10x + y - (10y + x) = 9$
将$y = x - 1$代入方程：
$10x + (x-1) - [10(x-1) + x] = 9$
化简得：
$11x - 1 - 11x + 10 = 9$
$9 = 9$
该等式恒成立，说明所有满足十位数字$x$比个位数字$y$大1的两位数均符合条件。
其中$x$是十位数字，取值为$1 ≤ x ≤ 9$的整数，$y=x-1$是个位数字，取值为$0 ≤ y ≤ 8$的整数。
因此符合条件的两位数为10、21、32、43、54、65、76、87、98。
答：符合条件的两位数为10、21、32、43、54、65、76、87、98。
根据题意，原两位数为$10x+y$，对调后得到的新数为$10y+x$。
由十位上的数字$x$比个位上的数字$y$大1，可得$y = x - 1$。
根据新数比原数小9，列方程：
$10x + y - (10y + x) = 9$
将$y = x - 1$代入方程：
$10x + (x-1) - [10(x-1) + x] = 9$
化简得：
$11x - 1 - 11x + 10 = 9$
$9 = 9$
该等式恒成立，说明所有满足十位数字$x$比个位数字$y$大1的两位数均符合条件。
其中$x$是十位数字，取值为$1 ≤ x ≤ 9$的整数，$y=x-1$是个位数字，取值为$0 ≤ y ≤ 8$的整数。
因此符合条件的两位数为10、21、32、43、54、65、76、87、98。
答：符合条件的两位数为10、21、32、43、54、65、76、87、98。
解析
【分析】
首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字，先分别表示出原两位数和对调后的新两位数。再根据题目给出的两个等量关系：①十位数字x比个位数字y大1；②新数比原数小9，分别列出关系式，将第一个关系式代入第二个方程，若得到恒等式，说明只要满足第一个条件的两位数都符合要求，最后结合数位的取值限制（十位数字是1~9的整数，个位数字是0~9的整数），列举出所有符合条件的数即可。
【解析】
解：根据两位数的表示方法，原两位数为$10x+y$，对调个位与十位数字后得到的新数为$10y+x$。
由“十位上的数字x比个位上的数字y大1”，可得：$y = x - 1$。
由“新数比原数小9”，可列方程：
$10x + y - (10y + x) = 9$
将$y = x - 1$代入上述方程：
$10x + (x-1) - [10(x-1) + x] = 9$
化简得：
$11x - 1 - 11x + 10 = 9$
即$9 = 9$，该等式恒成立，说明所有满足“十位数字x比个位数字y大1”的两位数都符合题意。
结合数位的取值要求：x是十位数字，为$1 ≤ x ≤ 9$的整数；y=x-1是个位数字，为$0 ≤ y ≤ 8$的整数。
依次代入x的值，得到符合条件的两位数为：10、21、32、43、54、65、76、87、98。
【答案】
符合条件的两位数为10、21、32、43、54、65、76、87、98。
【知识点】
1.两位数的表示
2.一元一次方程的应用
3.数位取值规则
【点评】
本题易错点是当方程化简为恒等式时，容易误以为无解或漏解，解题时要结合数位的实际意义确定数字的取值范围，逐一列举出所有符合条件的结果，同时要注意不能直接将两个数位数字相加表示两位数，需掌握多位数的正确表示方法。
【难度系数】
0.6
首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字，先分别表示出原两位数和对调后的新两位数。再根据题目给出的两个等量关系：①十位数字x比个位数字y大1；②新数比原数小9，分别列出关系式，将第一个关系式代入第二个方程，若得到恒等式，说明只要满足第一个条件的两位数都符合要求，最后结合数位的取值限制（十位数字是1~9的整数，个位数字是0~9的整数），列举出所有符合条件的数即可。
【解析】
解：根据两位数的表示方法，原两位数为$10x+y$，对调个位与十位数字后得到的新数为$10y+x$。
由“十位上的数字x比个位上的数字y大1”，可得：$y = x - 1$。
由“新数比原数小9”，可列方程：
$10x + y - (10y + x) = 9$
将$y = x - 1$代入上述方程：
$10x + (x-1) - [10(x-1) + x] = 9$
化简得：
$11x - 1 - 11x + 10 = 9$
即$9 = 9$，该等式恒成立，说明所有满足“十位数字x比个位数字y大1”的两位数都符合题意。
结合数位的取值要求：x是十位数字，为$1 ≤ x ≤ 9$的整数；y=x-1是个位数字，为$0 ≤ y ≤ 8$的整数。
依次代入x的值，得到符合条件的两位数为：10、21、32、43、54、65、76、87、98。
【答案】
符合条件的两位数为10、21、32、43、54、65、76、87、98。
【知识点】
1.两位数的表示
2.一元一次方程的应用
3.数位取值规则
【点评】
本题易错点是当方程化简为恒等式时，容易误以为无解或漏解，解题时要结合数位的实际意义确定数字的取值范围，逐一列举出所有符合条件的结果，同时要注意不能直接将两个数位数字相加表示两位数，需掌握多位数的正确表示方法。
【难度系数】
0.6
4.为了促进全民健身运动的开展,某市组织了一次足球比赛.下表记录了比赛过程中部分代表队的积分情况.
(1)本次比赛中,胜一场积分;
(2)参加此次比赛的F代表队完成10场比赛后,只输了一场,积分是23分.请你求出F代表队胜出的场数.
(1)本次比赛中,胜一场积分;
(2)参加此次比赛的F代表队完成10场比赛后,只输了一场,积分是23分.请你求出F代表队胜出的场数.
答案
解：(1) 3
(2) 由表格数据可得，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分。
设F代表队胜出x场，则平的场数为$10 - 1 - x = (9 - x)$场。
根据题意列方程：
$3x + 1×(9 - x) = 23$
去括号，得：$3x + 9 - x = 23$
移项、合并同类项，得：$2x = 14$
系数化为1，得：$x = 7$
答：F代表队胜出的场数为7场。
(2) 由表格数据可得，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分。
设F代表队胜出x场，则平的场数为$10 - 1 - x = (9 - x)$场。
根据题意列方程：
$3x + 1×(9 - x) = 23$
去括号，得：$3x + 9 - x = 23$
移项、合并同类项，得：$2x = 14$
系数化为1，得：$x = 7$
答：F代表队胜出的场数为7场。
解析
【分析】
(1) 求胜一场的积分可直接参考B队数据：B队6场全胜总积分18分，用总积分除以胜场数即可得到胜一场的积分。
(2) 先结合A队的胜场、平场数和已算出的胜场积分，求出平一场的积分，再通过其他队数据验证负一场积0分；接下来分析F队赛况：10场比赛仅输1场，说明胜场和平场总和为9场，设胜出x场，则平场数为(9-x)场，根据“总积分=胜场总积分+平场总积分”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到胜场数。
【解析】
(1) 观察B队比赛数据，6场全胜积18分，因此胜一场积分为：$18÷6=3$（分）。
(2) 先计算平一场的积分：观察A队数据，胜5场、平1场总积分16分，胜场总积分为$5×3=15$分，因此平一场积分为$16-15=1$分；再验证负一场积分，参考D队数据：胜3场、平1场、负2场总积分10分，$3×3+1×1+2×0=10$，和表格一致，可得负一场积0分。
设F代表队胜出x场，已知F队10场仅输1场，因此平场数为$10-1-x=9-x$场。
根据总积分23分列方程：
$3x + 1×(9-x) = 23$
去括号得：$3x + 9 - x = 23$
移项、合并同类项得：$2x = 14$
系数化为1得：$x = 7$
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) F代表队胜出的场数为$\boxed{7}$场。
【知识点】
比赛积分问题；一元一次方程的应用；表格信息提取
【点评】
本题属于基础实际应用题，解题核心是先从表格中推导胜、平、负的单场积分，再结合题干等量关系列方程求解，能有效锻炼学生读取信息、建立方程模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求胜一场的积分可直接参考B队数据：B队6场全胜总积分18分，用总积分除以胜场数即可得到胜一场的积分。
(2) 先结合A队的胜场、平场数和已算出的胜场积分，求出平一场的积分，再通过其他队数据验证负一场积0分；接下来分析F队赛况：10场比赛仅输1场，说明胜场和平场总和为9场，设胜出x场，则平场数为(9-x)场，根据“总积分=胜场总积分+平场总积分”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到胜场数。
【解析】
(1) 观察B队比赛数据，6场全胜积18分，因此胜一场积分为：$18÷6=3$（分）。
(2) 先计算平一场的积分：观察A队数据，胜5场、平1场总积分16分，胜场总积分为$5×3=15$分，因此平一场积分为$16-15=1$分；再验证负一场积分，参考D队数据：胜3场、平1场、负2场总积分10分，$3×3+1×1+2×0=10$，和表格一致，可得负一场积0分。
设F代表队胜出x场，已知F队10场仅输1场，因此平场数为$10-1-x=9-x$场。
根据总积分23分列方程：
$3x + 1×(9-x) = 23$
去括号得：$3x + 9 - x = 23$
移项、合并同类项得：$2x = 14$
系数化为1得：$x = 7$
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) F代表队胜出的场数为$\boxed{7}$场。
【知识点】
比赛积分问题；一元一次方程的应用；表格信息提取
【点评】
本题属于基础实际应用题，解题核心是先从表格中推导胜、平、负的单场积分，再结合题干等量关系列方程求解，能有效锻炼学生读取信息、建立方程模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
