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1.某城市按以下规定收取每月的天然气费:用气不超过$60\ \mathrm{m}^3$,按每立方米2.5元收费;如果超过$60\ \mathrm{m}^3$,超过部分按每立方米3元收费.已知小明家某月共缴纳天然气费210元,那么他家这个月共用天然气().
A.$90\ \mathrm{m}^3$
B.$78\ \mathrm{m}^3$
C.$98\ \mathrm{m}^3$
D.$80\ \mathrm{m}^3$
A.$90\ \mathrm{m}^3$
B.$78\ \mathrm{m}^3$
C.$98\ \mathrm{m}^3$
D.$80\ \mathrm{m}^3$
答案
D
解析
【分析】这是典型的分段计费类应用题，解题时首先要判断用气量是否超出分段节点$60\ \mathrm{m}^3$：先计算用满$60\ \mathrm{m}^3$的天然气费用，和小明家缴纳的210元比较，判断是否超量；若超量，则总费用=$60\ \mathrm{m}^3$以内的费用+超出$60\ \mathrm{m}^3$部分的费用，据此设未知数列一元一次方程求解即可。
【解析】首先计算用气$60\ \mathrm{m}^3$时的费用：
$60 × 2.5 = 150$（元）
因为$210＞150$，所以小明家这个月用气量超过$60\ \mathrm{m}^3$。
设小明家这个月共用天然气$x\ \mathrm{m}^3$，超出$60\ \mathrm{m}^3$的部分为$(x-60)\ \mathrm{m}^3$，根据总费用列方程：
$60×2.5 + 3(x-60) = 210$
解方程：
$150 + 3x - 180 = 210$
$3x - 30 = 210$
$3x = 240$
$x = 80$
即小明家这个月共用天然气$80\ \mathrm{m}^3$。
【答案】D
【知识点】1. 分段计费问题 2. 一元一次方程的应用
【点评】本题是分段计费的常见题型，解题核心是先判断实际用量是否超过分段阈值，再根据费用计算规则找准等量关系列方程求解，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】首先计算用气$60\ \mathrm{m}^3$时的费用：
$60 × 2.5 = 150$（元）
因为$210＞150$，所以小明家这个月用气量超过$60\ \mathrm{m}^3$。
设小明家这个月共用天然气$x\ \mathrm{m}^3$，超出$60\ \mathrm{m}^3$的部分为$(x-60)\ \mathrm{m}^3$，根据总费用列方程：
$60×2.5 + 3(x-60) = 210$
解方程：
$150 + 3x - 180 = 210$
$3x - 30 = 210$
$3x = 240$
$x = 80$
即小明家这个月共用天然气$80\ \mathrm{m}^3$。
【答案】D
【知识点】1. 分段计费问题 2. 一元一次方程的应用
【点评】本题是分段计费的常见题型，解题核心是先判断实际用量是否超过分段阈值，再根据费用计算规则找准等量关系列方程求解，难度较低。
【难度系数】0.8
2.某中学七年级(2)班的同学举行“重走长征路”的野外考察活动，需要租用一辆大客车一天.现有甲、乙两辆客车的租用方案:甲车每天的租金为180元，另按实际路程每千米加收2元；乙车每天的租金为140元，另按实际路程每千米加收2.5元.当实际路程为多少千米时，两种方案的费用一样？
答案
解：设当实际路程为x千米时，两种方案的费用一样。
根据题意列方程得：
$180 + 2x = 140 + 2.5x$
移项，得：$2x - 2.5x = 140 - 180$
合并同类项，得：$-0.5x = -40$
系数化为1，得：$x = 80$
答：当实际路程为80千米时，两种方案的费用一样。
根据题意列方程得：
$180 + 2x = 140 + 2.5x$
移项，得：$2x - 2.5x = 140 - 180$
合并同类项，得：$-0.5x = -40$
系数化为1，得：$x = 80$
答：当实际路程为80千米时，两种方案的费用一样。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确题目要求是找到两种租车方案费用相等时的行驶路程。解题思路如下：第一步，设未知量，将所求的实际路程设为x千米；第二步，分别表示两种租车方案的总费用：总费用=固定日租金+每千米加收费用×行驶路程，分别写出甲、乙两车的总费用表达式；第三步，根据“两种方案费用一样”的等量关系列出一元一次方程；第四步，按照一元一次方程的解法步骤求解，即可得到对应的路程。
【解析】
解：设当实际路程为x千米时，两种方案的费用一样。
根据题意列方程得：
$180 + 2x = 140 + 2.5x$
移项，得：$2x - 2.5x = 140 - 180$
合并同类项，得：$-0.5x = -40$
系数化为1，得：$x = 80$
答：当实际路程为80千米时，两种方案的费用一样。
【答案】
当实际路程为80千米时，两种方案的费用一样。
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 方案选择问题
3. 一元一次方程解法
【点评】
本题是典型的费用类方案选择应用题，核心考查列方程解决实际问题的能力，解题关键是准确梳理不同方案的费用构成，找准等量关系列方程求解，掌握该题型的解法可用于解决生活中租车、购物等多种场景的费用核算问题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确题目要求是找到两种租车方案费用相等时的行驶路程。解题思路如下：第一步，设未知量，将所求的实际路程设为x千米；第二步，分别表示两种租车方案的总费用：总费用=固定日租金+每千米加收费用×行驶路程，分别写出甲、乙两车的总费用表达式；第三步，根据“两种方案费用一样”的等量关系列出一元一次方程；第四步，按照一元一次方程的解法步骤求解，即可得到对应的路程。
【解析】
解：设当实际路程为x千米时，两种方案的费用一样。
根据题意列方程得：
$180 + 2x = 140 + 2.5x$
移项，得：$2x - 2.5x = 140 - 180$
合并同类项，得：$-0.5x = -40$
系数化为1，得：$x = 80$
答：当实际路程为80千米时，两种方案的费用一样。
【答案】
当实际路程为80千米时，两种方案的费用一样。
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 方案选择问题
3. 一元一次方程解法
【点评】
本题是典型的费用类方案选择应用题，核心考查列方程解决实际问题的能力，解题关键是准确梳理不同方案的费用构成，找准等量关系列方程求解，掌握该题型的解法可用于解决生活中租车、购物等多种场景的费用核算问题。
【难度系数】
0.8
3.某市为了节约用水,对自来水的收费标准作如下规定:每月每户用水不超过10 m³的部分,按2元/m³收费;超过10 m³的部分按2.5元/m³收费.
(1)若小明家3月份用水12 m³,应缴水费多少元?
(2)若小明家4月份缴水费35元,那么小明家用水多少立方米?
(3)若5月份用水$x(x＞10)m^3$,则应缴水费多少元?
(1)若小明家3月份用水12 m³,应缴水费多少元?
(2)若小明家4月份缴水费35元,那么小明家用水多少立方米?
(3)若5月份用水$x(x＞10)m^3$,则应缴水费多少元?
答案
解：
(1) 不超过10 m³部分的水费为：$10×2=20$（元）
超过10 m³的水量为$12-10=2\ (\mathrm{m}^3)$，对应水费为：$2×2.5=5$（元）
总水费为：$20+5=25$（元）
(2) 用水10 m³时应缴水费为$10×2=20$元，$20＜35$，说明小明家4月份用水量超过10 m³。
设小明家4月份用水$y\ \mathrm{m}^3$，根据题意列方程：
$10×2 + 2.5(y-10)=35$
$20 + 2.5y -25 = 35$
$2.5y=40$
$y=16$
(3) 当$x＞10$时，应缴水费为：
$10×2 + 2.5(x-10)=20+2.5x-25=(2.5x-5)\mathrm{元}$
答：(1) 应缴水费25元；(2) 小明家用水16立方米；(3) 应缴水费$(2.5x-5)$元。
(1) 不超过10 m³部分的水费为：$10×2=20$（元）
超过10 m³的水量为$12-10=2\ (\mathrm{m}^3)$，对应水费为：$2×2.5=5$（元）
总水费为：$20+5=25$（元）
(2) 用水10 m³时应缴水费为$10×2=20$元，$20＜35$，说明小明家4月份用水量超过10 m³。
设小明家4月份用水$y\ \mathrm{m}^3$，根据题意列方程：
$10×2 + 2.5(y-10)=35$
$20 + 2.5y -25 = 35$
$2.5y=40$
$y=16$
(3) 当$x＞10$时，应缴水费为：
$10×2 + 2.5(x-10)=20+2.5x-25=(2.5x-5)\mathrm{元}$
答：(1) 应缴水费25元；(2) 小明家用水16立方米；(3) 应缴水费$(2.5x-5)$元。
解析
【分析】
这是典型的分段计费类应用题，收费分为两个区间：用水量不超过10m³时，单价2元/m³；用水量超过10m³时，10m³以内部分仍按2元/m³收费，超出10m³的部分按2.5元/m³收费。解题时首先判断用水量所属的收费区间，再按对应标准计算费用：
(1) 3月份用水12m³，超过10m³，先算10m³的费用，再算超出部分的费用，相加即可得到总水费；
(2) 先计算用水量刚好10m³时的水费，和35元对比可知4月份用水量超过10m³，设用水量为未知数，根据“10m³以内费用+超出部分费用=总水费”的等量关系列方程求解即可；
(3) 已知x＞10，直接按照分段收费规则列出代数式，再化简即可。
【解析】
(1) 不超过10 m³部分的水费为：$10×2=20$（元）
超过10 m³的水量为$12-10=2\ (\mathrm{m}^3)$，对应水费为：$2×2.5=5$（元）
总水费为：$20+5=25$（元）
(2) 用水10 m³时应缴水费为$10×2=20$元，$20＜35$，说明小明家4月份用水量超过10 m³。
设小明家4月份用水$y\ \mathrm{m}^3$，根据题意列方程：
$10×2 + 2.5(y-10)=35$
$20 + 2.5y -25 = 35$
$2.5y=40$
$y=16$
(3) 当$x＞10$时，应缴水费为：
$10×2 + 2.5(x-10)=20+2.5x-25=(2.5x-5)\mathrm{元}$
【答案】
(1) 应缴水费25元；(2) 小明家用水16立方米；(3) 应缴水费$(2.5x-5)$元
【知识点】
分段计费问题，一元一次方程的应用，列代数式
【点评】
本题紧密联系生活实际，属于分段计费的基础题型，解题核心是明确不同区间的收费标准，先判断实际用量所属的收费区间，再根据费用的计算逻辑列式或列方程求解，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
这是典型的分段计费类应用题，收费分为两个区间：用水量不超过10m³时，单价2元/m³；用水量超过10m³时，10m³以内部分仍按2元/m³收费，超出10m³的部分按2.5元/m³收费。解题时首先判断用水量所属的收费区间，再按对应标准计算费用：
(1) 3月份用水12m³，超过10m³，先算10m³的费用，再算超出部分的费用，相加即可得到总水费；
(2) 先计算用水量刚好10m³时的水费，和35元对比可知4月份用水量超过10m³，设用水量为未知数，根据“10m³以内费用+超出部分费用=总水费”的等量关系列方程求解即可；
(3) 已知x＞10，直接按照分段收费规则列出代数式，再化简即可。
【解析】
(1) 不超过10 m³部分的水费为：$10×2=20$（元）
超过10 m³的水量为$12-10=2\ (\mathrm{m}^3)$，对应水费为：$2×2.5=5$（元）
总水费为：$20+5=25$（元）
(2) 用水10 m³时应缴水费为$10×2=20$元，$20＜35$，说明小明家4月份用水量超过10 m³。
设小明家4月份用水$y\ \mathrm{m}^3$，根据题意列方程：
$10×2 + 2.5(y-10)=35$
$20 + 2.5y -25 = 35$
$2.5y=40$
$y=16$
(3) 当$x＞10$时，应缴水费为：
$10×2 + 2.5(x-10)=20+2.5x-25=(2.5x-5)\mathrm{元}$
【答案】
(1) 应缴水费25元；(2) 小明家用水16立方米；(3) 应缴水费$(2.5x-5)$元
【知识点】
分段计费问题，一元一次方程的应用，列代数式
【点评】
本题紧密联系生活实际，属于分段计费的基础题型，解题核心是明确不同区间的收费标准，先判断实际用量所属的收费区间，再根据费用的计算逻辑列式或列方程求解，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
1.某保险公司的汽车保险，对于汽车修理费按分段赔偿的方式进行赔偿，具体赔偿细则如下表.某人的汽车修理后，其在保险公司得到的赔偿金额是2 000元，那么此人的汽车修理费是元.
答案
解：
先计算各分段区间的最高赔偿金额：
当修理费满足$0＜x≤500$时，最高赔偿额为$500×60\%=300$元；
当修理费满足$500＜x≤1000$时，最高赔偿额为$300+(1000-500)×70\%=650$元；
当修理费满足$1000＜x≤3000$时，最高赔偿额为$650+(3000-1000)×80\%=2250$元。
因为$650＜2000＜2250$，可知此人的汽车修理费$x$满足$1000＜x≤3000$。
根据题意列方程：
$500×60\% + (1000-500)×70\% + 80\%(x-1000)=2000$
化简得：
$650 + 0.8x - 800 = 2000$
解得：
$x=2687.5$
答：此人的汽车修理费是2687.5元。
先计算各分段区间的最高赔偿金额：
当修理费满足$0＜x≤500$时，最高赔偿额为$500×60\%=300$元；
当修理费满足$500＜x≤1000$时，最高赔偿额为$300+(1000-500)×70\%=650$元；
当修理费满足$1000＜x≤3000$时，最高赔偿额为$650+(3000-1000)×80\%=2250$元。
因为$650＜2000＜2250$，可知此人的汽车修理费$x$满足$1000＜x≤3000$。
根据题意列方程：
$500×60\% + (1000-500)×70\% + 80\%(x-1000)=2000$
化简得：
$650 + 0.8x - 800 = 2000$
解得：
$x=2687.5$
答：此人的汽车修理费是2687.5元。
解析
【分析】
这是分段计费类的实际应用题，解题首先要明确各分段的赔偿规则。第一步先算出每个修理费分段对应的最高赔偿金额，将其与实际获得的2000元赔偿对比，确定修理费所在的区间，第二步再根据该区间的赔偿计算规则列一元一次方程，求解即可得到修理费金额。
【解析】
1. 计算各分段区间的最高赔偿金额：
当修理费满足$0＜x≤500$时，最高赔偿额为$500×60\%=300$元；
当修理费满足$500＜x≤1000$时，最高赔偿额为$300+(1000-500)×70\%=650$元；
当修理费满足$1000＜x≤3000$时，最高赔偿额为$650+(3000-1000)×80\%=2250$元。
2. 判断修理费所属区间：
已知实际赔偿金额为2000元，满足$650＜2000＜2250$，因此此人的汽车修理费$x$在$1000＜x≤3000$区间内。
3. 列方程求解：
根据分段赔偿规则列方程：
$500×60\% + (1000-500)×70\% + 80\%(x-1000)=2000$
化简得：
$650 + 0.8x - 800 = 2000$
移项计算得：
$0.8x=2150$
解得$x=2687.5$
【答案】
2687.5
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用；区间范围判断
【点评】
本题是典型的分段计费实际应用题，解题核心是先确定费用所属的分段区间，再按照分段规则列方程计算，要注意分段计算时需累加前面区间的对应费用，避免出现仅计算当前段费用的错误。
【难度系数】
0.6
这是分段计费类的实际应用题，解题首先要明确各分段的赔偿规则。第一步先算出每个修理费分段对应的最高赔偿金额，将其与实际获得的2000元赔偿对比，确定修理费所在的区间，第二步再根据该区间的赔偿计算规则列一元一次方程，求解即可得到修理费金额。
【解析】
1. 计算各分段区间的最高赔偿金额：
当修理费满足$0＜x≤500$时，最高赔偿额为$500×60\%=300$元；
当修理费满足$500＜x≤1000$时，最高赔偿额为$300+(1000-500)×70\%=650$元；
当修理费满足$1000＜x≤3000$时，最高赔偿额为$650+(3000-1000)×80\%=2250$元。
2. 判断修理费所属区间：
已知实际赔偿金额为2000元，满足$650＜2000＜2250$，因此此人的汽车修理费$x$在$1000＜x≤3000$区间内。
3. 列方程求解：
根据分段赔偿规则列方程：
$500×60\% + (1000-500)×70\% + 80\%(x-1000)=2000$
化简得：
$650 + 0.8x - 800 = 2000$
移项计算得：
$0.8x=2150$
解得$x=2687.5$
【答案】
2687.5
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用；区间范围判断
【点评】
本题是典型的分段计费实际应用题，解题核心是先确定费用所属的分段区间，再按照分段规则列方程计算，要注意分段计算时需累加前面区间的对应费用，避免出现仅计算当前段费用的错误。
【难度系数】
0.6
2. 为鼓励市民节约能源，某市电网公司特别推出了如下表所示的新的用电收费标准.
(1)小明家1月份用电180 kW·h,则小明家1月份应付的电费为元；
(2)小明家预计2月份需要给电网公司支付电费156元,小明家2月份的用电量是多少？
(1)小明家1月份用电180 kW·h,则小明家1月份应付的电费为元；
(2)小明家预计2月份需要给电网公司支付电费156元,小明家2月份的用电量是多少？
答案
解：(1) $180×0.5=90$
故此处填$\boldsymbol{90}$。
(2) 当用电量为$200\ \mathrm{kW·h}$时，应付电费为$200×0.5=100$元。
因为$156＞100$，所以小明家2月份用电量超过$200\ \mathrm{kW·h}$。
设小明家2月份的用电量为$x\ \mathrm{kW·h}$，根据题意列方程：
$200×0.5 + 0.8(x-200)=156$
解方程：
$100 + 0.8x - 160 = 156$
$0.8x = 216$
$x=270$
答：小明家2月份的用电量是$270\ \mathrm{kW·h}$。
故此处填$\boldsymbol{90}$。
(2) 当用电量为$200\ \mathrm{kW·h}$时，应付电费为$200×0.5=100$元。
因为$156＞100$，所以小明家2月份用电量超过$200\ \mathrm{kW·h}$。
设小明家2月份的用电量为$x\ \mathrm{kW·h}$，根据题意列方程：
$200×0.5 + 0.8(x-200)=156$
解方程：
$100 + 0.8x - 160 = 156$
$0.8x = 216$
$x=270$
答：小明家2月份的用电量是$270\ \mathrm{kW·h}$。
解析
【分析】
(1) 先对照收费标准判断：180kW·h小于200kW·h，属于第一档收费，直接用“总电费=用电量×对应单价”计算即可。
(2) 先计算200kW·h的电费，和156元比较，判断2月份用电量所属的收费区间：156元大于200kW·h的电费，说明用电量超过200kW·h，总电费由两部分组成：200kW·h的费用+超出200kW·h部分的费用，根据这个等量关系设未知数列方程求解即可。
【解析】
(1) 因为$180\ \mathrm{kW·h}＜200\ \mathrm{kW·h}$，对应单价为0.5元/$\mathrm{kW·h}$，所以1月份电费为：
$180×0.5=90$（元）
(2) 先计算用电量为$200\ \mathrm{kW·h}$时的电费：$200×0.5=100$（元）
因为$156＞100$，所以小明家2月份用电量超过$200\ \mathrm{kW·h}$。
设小明家2月份的用电量为$x\ \mathrm{kW·h}$，根据题意列方程：
$200×0.5 + 0.8(x-200)=156$
解方程：
$100 + 0.8x - 160 = 156$
$0.8x = 216$
$x=270$
【答案】
(1) $\boldsymbol{90}$；(2) $\boldsymbol{270\ \mathrm{kW·h}}$
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是和生活联系紧密的实际应用题，解题的关键是先判断用电量对应的收费档位，再根据对应收费规则找等量关系计算，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 先对照收费标准判断：180kW·h小于200kW·h，属于第一档收费，直接用“总电费=用电量×对应单价”计算即可。
(2) 先计算200kW·h的电费，和156元比较，判断2月份用电量所属的收费区间：156元大于200kW·h的电费，说明用电量超过200kW·h，总电费由两部分组成：200kW·h的费用+超出200kW·h部分的费用，根据这个等量关系设未知数列方程求解即可。
【解析】
(1) 因为$180\ \mathrm{kW·h}＜200\ \mathrm{kW·h}$，对应单价为0.5元/$\mathrm{kW·h}$，所以1月份电费为：
$180×0.5=90$（元）
(2) 先计算用电量为$200\ \mathrm{kW·h}$时的电费：$200×0.5=100$（元）
因为$156＞100$，所以小明家2月份用电量超过$200\ \mathrm{kW·h}$。
设小明家2月份的用电量为$x\ \mathrm{kW·h}$，根据题意列方程：
$200×0.5 + 0.8(x-200)=156$
解方程：
$100 + 0.8x - 160 = 156$
$0.8x = 216$
$x=270$
【答案】
(1) $\boldsymbol{90}$；(2) $\boldsymbol{270\ \mathrm{kW·h}}$
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是和生活联系紧密的实际应用题，解题的关键是先判断用电量对应的收费档位，再根据对应收费规则找等量关系计算，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
