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【例1】为有效治理污染，改善生态环境，山西太原成为国内首个实现全城纯电动出租车的城市.绿色环保的纯电动出租车受到市民的广泛欢迎，给市民的生活带来了很大的方便.下表是行驶路程在15 km以内时普通燃油出租车和纯电动出租车的运营价格.
张先生每天从家打出租车去单位上班(路程在15 km以内)，结果发现，正常情况下乘坐纯电动出租车比乘坐燃油出租车平均每千米节省0.6元，求张先生家到单位的路程.
张先生每天从家打出租车去单位上班(路程在15 km以内)，结果发现，正常情况下乘坐纯电动出租车比乘坐燃油出租车平均每千米节省0.6元，求张先生家到单位的路程.
答案
解：设张先生家到单位的路程为$ x $ km，由题意可知$ 3 ＜ x ＜ 15 $。
乘坐普通燃油出租车的费用为$ 13 + 2.2(x - 3) $元，
乘坐纯电动出租车的费用为$ 8 + 2(x - 3) $元。
根据题意列方程：
$13 + 2.2(x - 3) - [8 + 2(x - 3)] = 0.6x$
化简得：
$4.4 + 0.2x = 0.6x$
移项得：
$0.6x - 0.2x = 4.4$
合并同类项得：
$0.4x = 4.4$
系数化为1得：
$x = 11$
答：张先生家到单位的路程为11 km。
乘坐普通燃油出租车的费用为$ 13 + 2.2(x - 3) $元，
乘坐纯电动出租车的费用为$ 8 + 2(x - 3) $元。
根据题意列方程：
$13 + 2.2(x - 3) - [8 + 2(x - 3)] = 0.6x$
化简得：
$4.4 + 0.2x = 0.6x$
移项得：
$0.6x - 0.2x = 4.4$
合并同类项得：
$0.4x = 4.4$
系数化为1得：
$x = 11$
答：张先生家到单位的路程为11 km。
解析
【分析】
首先可判断张先生家到单位的路程超过3km（若路程≤3km，乘坐纯电动出租车平均每千米节省约1.67元，不符合题意），且路程小于15km。解题时先设总路程为x km，再根据两种车型的分段计费规则，分别表示出乘坐两类车的总费用：总费用=起步价+超出3km部分的费用。再结合“乘坐纯电动出租车比乘坐燃油出租车平均每千米节省0.6元”的条件，得到等量关系：燃油车总费用 - 电动车总费用 = 每千米节省的费用×总路程，据此列一元一次方程求解即可，最后验证结果是否在3~15km的范围内。
【解析】
设张先生家到单位的路程为$ x $ km，由题意可知$ 3 ＜ x ＜ 15 $。
乘坐普通燃油出租车的费用为$ 13 + 2.2(x - 3) $元，
乘坐纯电动出租车的费用为$ 8 + 2(x - 3) $元。
根据题意总节省费用为$0.6x$元，列方程：
$13 + 2.2(x - 3) - [8 + 2(x - 3)] = 0.6x$
化简得：
$4.4 + 0.2x = 0.6x$
移项得：
$0.6x - 0.2x = 4.4$
合并同类项得：
$0.4x = 4.4$
系数化为1得：
$x = 11$
经检验，$x=11$满足$3＜11＜15$，符合题意。
【答案】
张先生家到单位的路程为11 km
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 分段计费问题
【点评】
本题是分段计费类的典型应用题，解题核心是先确定路程所在的计费区间，准确写出不同收费方式的总费用，再结合题干给出的等量关系列方程求解，解题后要注意验证结果是否符合题目给出的范围限制。
【难度系数】
0.65
首先可判断张先生家到单位的路程超过3km（若路程≤3km，乘坐纯电动出租车平均每千米节省约1.67元，不符合题意），且路程小于15km。解题时先设总路程为x km，再根据两种车型的分段计费规则，分别表示出乘坐两类车的总费用：总费用=起步价+超出3km部分的费用。再结合“乘坐纯电动出租车比乘坐燃油出租车平均每千米节省0.6元”的条件，得到等量关系：燃油车总费用 - 电动车总费用 = 每千米节省的费用×总路程，据此列一元一次方程求解即可，最后验证结果是否在3~15km的范围内。
【解析】
设张先生家到单位的路程为$ x $ km，由题意可知$ 3 ＜ x ＜ 15 $。
乘坐普通燃油出租车的费用为$ 13 + 2.2(x - 3) $元，
乘坐纯电动出租车的费用为$ 8 + 2(x - 3) $元。
根据题意总节省费用为$0.6x$元，列方程：
$13 + 2.2(x - 3) - [8 + 2(x - 3)] = 0.6x$
化简得：
$4.4 + 0.2x = 0.6x$
移项得：
$0.6x - 0.2x = 4.4$
合并同类项得：
$0.4x = 4.4$
系数化为1得：
$x = 11$
经检验，$x=11$满足$3＜11＜15$，符合题意。
【答案】
张先生家到单位的路程为11 km
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 分段计费问题
【点评】
本题是分段计费类的典型应用题，解题核心是先确定路程所在的计费区间，准确写出不同收费方式的总费用，再结合题干给出的等量关系列方程求解，解题后要注意验证结果是否符合题目给出的范围限制。
【难度系数】
0.65
【例2】某班打算买一些乒乓球和乒乓球拍.现了解情况如下:甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍,乒乓球拍每副定价30元,乒乓球每盒定价5元.经洽谈后,甲店买一副球拍赠一盒乒乓球,乙店全部按定价的九折优惠.该班需球拍5副,乒乓球若干盒(不小于5盒).
(1)当购买乒乓球15盒时,去哪家店购买比较优惠?
(2)当购买乒乓球多少盒时,在两家店的付款一样多?
(1)当购买乒乓球15盒时,去哪家店购买比较优惠?
(2)当购买乒乓球多少盒时,在两家店的付款一样多?
答案
解：
(1) 当购买15盒乒乓球时：
在甲店需付款：
$30×5 + 5×(15-5) = 150 + 50 = 200$（元）
在乙店需付款：
$(30×5 + 5×15)×0.9 = 225×0.9 = 202.5$（元）
因为$200＜202.5$，所以此时去甲店购买比较优惠。
(2) 设购买乒乓球$x$盒（$x≥5$）时，在两家店的付款一样多。
此时在甲店的付款为：$30×5 + 5(x-5) = 5x + 125$
在乙店的付款为：$0.9×(30×5 + 5x) = 4.5x + 135$
根据题意列方程：
$5x + 125 = 4.5x + 135$
移项得：$5x - 4.5x = 135 - 125$
合并同类项得：$0.5x = 10$
系数化为1得：$x = 20$
答：(1) 当购买乒乓球15盒时，去甲店购买比较优惠；(2) 当购买乒乓球20盒时，在两家店的付款一样多。
(1) 当购买15盒乒乓球时：
在甲店需付款：
$30×5 + 5×(15-5) = 150 + 50 = 200$（元）
在乙店需付款：
$(30×5 + 5×15)×0.9 = 225×0.9 = 202.5$（元）
因为$200＜202.5$，所以此时去甲店购买比较优惠。
(2) 设购买乒乓球$x$盒（$x≥5$）时，在两家店的付款一样多。
此时在甲店的付款为：$30×5 + 5(x-5) = 5x + 125$
在乙店的付款为：$0.9×(30×5 + 5x) = 4.5x + 135$
根据题意列方程：
$5x + 125 = 4.5x + 135$
移项得：$5x - 4.5x = 135 - 125$
合并同类项得：$0.5x = 10$
系数化为1得：$x = 20$
答：(1) 当购买乒乓球15盒时，去甲店购买比较优惠；(2) 当购买乒乓球20盒时，在两家店的付款一样多。
解析
【分析】
（1）要判断哪家店更优惠，只需分别计算购买15盒乒乓球时甲、乙两店的付款金额，再比较大小即可。计算甲店费用时，买5副球拍会赠送5盒乒乓球，仅需支付超出5盒部分的乒乓球费用；乙店所有商品打九折，先算球拍和乒乓球的总定价，再乘0.9就是实际付款金额。
（2）设购买乒乓球$x$盒（$x≥5$）时两家付款一样多，先分别用含$x$的代数式表示出甲、乙两店的付款金额，再根据“付款金额相等”列一元一次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
(1) 当购买15盒乒乓球时：
在甲店需付款：
$30×5 + 5×(15-5) = 150 + 50 = 200$（元）
在乙店需付款：
$(30×5 + 5×15)×0.9 = 225×0.9 = 202.5$（元）
因为$200＜202.5$，所以此时去甲店购买比较优惠。
(2) 设购买乒乓球$x$盒（$x≥5$）时，在两家店的付款一样多。
此时在甲店的付款为：$30×5 + 5(x-5) = 5x + 125$
在乙店的付款为：$0.9×(30×5 + 5x) = 4.5x + 135$
根据题意列方程：
$5x + 125 = 4.5x + 135$
移项得：$5x - 4.5x = 135 - 125$
合并同类项得：$0.5x = 10$
系数化为1得：$x = 20$
【答案】
(1) 当购买乒乓球15盒时，去甲店购买比较优惠；(2) 当购买乒乓球20盒时，在两家店的付款一样多。
【知识点】
一元一次方程应用，方案选择，代数式求值
【点评】
本题结合生活消费场景出题，解题核心是准确理解两家店铺的优惠规则，正确列出对应费用的表达式，再通过比较大小或列方程求解，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）要判断哪家店更优惠，只需分别计算购买15盒乒乓球时甲、乙两店的付款金额，再比较大小即可。计算甲店费用时，买5副球拍会赠送5盒乒乓球，仅需支付超出5盒部分的乒乓球费用；乙店所有商品打九折，先算球拍和乒乓球的总定价，再乘0.9就是实际付款金额。
（2）设购买乒乓球$x$盒（$x≥5$）时两家付款一样多，先分别用含$x$的代数式表示出甲、乙两店的付款金额，再根据“付款金额相等”列一元一次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
(1) 当购买15盒乒乓球时：
在甲店需付款：
$30×5 + 5×(15-5) = 150 + 50 = 200$（元）
在乙店需付款：
$(30×5 + 5×15)×0.9 = 225×0.9 = 202.5$（元）
因为$200＜202.5$，所以此时去甲店购买比较优惠。
(2) 设购买乒乓球$x$盒（$x≥5$）时，在两家店的付款一样多。
此时在甲店的付款为：$30×5 + 5(x-5) = 5x + 125$
在乙店的付款为：$0.9×(30×5 + 5x) = 4.5x + 135$
根据题意列方程：
$5x + 125 = 4.5x + 135$
移项得：$5x - 4.5x = 135 - 125$
合并同类项得：$0.5x = 10$
系数化为1得：$x = 20$
【答案】
(1) 当购买乒乓球15盒时，去甲店购买比较优惠；(2) 当购买乒乓球20盒时，在两家店的付款一样多。
【知识点】
一元一次方程应用，方案选择，代数式求值
【点评】
本题结合生活消费场景出题，解题核心是准确理解两家店铺的优惠规则，正确列出对应费用的表达式，再通过比较大小或列方程求解，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
【变式】一家三口准备参加旅行团外出旅游.甲旅行社告知:“父母买全票,小孩按半价优惠.”乙旅行社告知:“家庭旅游可按团体票价,即每人均按全价的八折收费.”若这两家旅行社每人的原票价相同,则可以算出().
A.甲比乙优惠
B.乙比甲优惠
C.甲与乙相同
D.优惠力度与原票价有关
A.甲比乙优惠
B.乙比甲优惠
C.甲与乙相同
D.优惠力度与原票价有关
答案
B
解析
【分析】
这是一道方案选择类的应用题，解题思路是：因为两家旅行社的原票价相同，我们可以先设每人原票价为一个字母参数（不需要求具体数值，最后比较时会消去），再分别计算出在甲、乙两家旅行社购票的总费用，最后比较两个总费用的大小，费用更低的更优惠。
【解析】
设两家旅行社每人的原票价为$ a $元（$ a＞0 $）。
1. 计算甲旅行社总费用：父母买全票共$ 2a $元，小孩半价优惠为$ 0.5a $元，总费用为：
$ 2a + 0.5a = 2.5a $（元）
2. 计算乙旅行社总费用：3人均按全价的八折收费，总费用为：
$ 3 × 0.8a = 2.4a $（元）
3. 比较费用大小：因为$ a＞0 $，所以$ 2.5a ＞ 2.4a $，即乙旅行社的总费用更低，乙比甲优惠。
所以选B选项。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；代数式比较大小；方案选择问题
【点评】
本题属于典型的生活类方案选择应用题，解题时不需要求出原票价的具体数值，通过设参数表示费用后比较即可得出结论，核心是用代数方法解决实际生活中的优惠比较问题。
【难度系数】
0.7
这是一道方案选择类的应用题，解题思路是：因为两家旅行社的原票价相同，我们可以先设每人原票价为一个字母参数（不需要求具体数值，最后比较时会消去），再分别计算出在甲、乙两家旅行社购票的总费用，最后比较两个总费用的大小，费用更低的更优惠。
【解析】
设两家旅行社每人的原票价为$ a $元（$ a＞0 $）。
1. 计算甲旅行社总费用：父母买全票共$ 2a $元，小孩半价优惠为$ 0.5a $元，总费用为：
$ 2a + 0.5a = 2.5a $（元）
2. 计算乙旅行社总费用：3人均按全价的八折收费，总费用为：
$ 3 × 0.8a = 2.4a $（元）
3. 比较费用大小：因为$ a＞0 $，所以$ 2.5a ＞ 2.4a $，即乙旅行社的总费用更低，乙比甲优惠。
所以选B选项。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；代数式比较大小；方案选择问题
【点评】
本题属于典型的生活类方案选择应用题，解题时不需要求出原票价的具体数值，通过设参数表示费用后比较即可得出结论，核心是用代数方法解决实际生活中的优惠比较问题。
【难度系数】
0.7
