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例1 两个图形成中心对称:(1)对应点的连线必过;(2)对应线段平行(或在同一条直线上)且;(3)对应角,两个图形是全等的图形.
【思路导析】运用两个图形成中心对称的特征作答.
【请你解答】(1);
(2);
(3).
【思路导析】运用两个图形成中心对称的特征作答.
【请你解答】(1);
(2);
(3).
答案
解：
(1) 对称中心
(2) 相等
(3) 相等
(1) 对称中心
(2) 相等
(3) 相等
解析
【分析】本题考查中心对称的基本性质，解题时可结合中心对称的定义推导答案：两个图形成中心对称的本质是其中一个图形绕某一点（即对称中心）旋转180°后，能与另一个图形完全重合。(1)对应点是旋转前后重合的点，旋转中心为对称中心，因此对应点的连线必然经过对称中心；(2)旋转不改变线段的长度，且旋转180°后对应线段的位置关系为平行或在同一条直线上，因此对应线段长度相等；(3)旋转不改变角的大小，因此对应角相等，且两个图形完全重合，是全等图形，符合题干描述。
【解析】根据中心对称的性质逐一作答：
(1) 成中心对称的两个图形，所有对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，故第一空填对称中心；
(2) 成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且长度相等，故第二空填相等；
(3) 成中心对称的两个图形，对应角大小相等，且两个图形全等，故第三空填相等。
【答案】(1)对称中心；(2)相等；(3)相等
【知识点】中心对称的性质
【点评】本题属于基础概念识记类题目，直接考查中心对称的核心性质，熟练记忆相关知识点即可快速准确作答。
【难度系数】0.9
【解析】根据中心对称的性质逐一作答：
(1) 成中心对称的两个图形，所有对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，故第一空填对称中心；
(2) 成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且长度相等，故第二空填相等；
(3) 成中心对称的两个图形，对应角大小相等，且两个图形全等，故第三空填相等。
【答案】(1)对称中心；(2)相等；(3)相等
【知识点】中心对称的性质
【点评】本题属于基础概念识记类题目，直接考查中心对称的核心性质，熟练记忆相关知识点即可快速准确作答。
【难度系数】0.9
例2 如图，已知△ABC，以△ABC内一点P为对称中心，画出△ABC关于点P的对称图形△A'B'C'.
【思路导析】先分别作点A，B，C关于点P对称的点A'，B'，C'，则△A'B'C'即为所作.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】先分别作点A，B，C关于点P对称的点A'，B'，C'，则△A'B'C'即为所作.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：作法如下：
1. 连接AP并延长AP到点A'，使PA' = AP，得到点A关于点P的对称点A'；
2. 连接BP并延长BP到点B'，使PB' = BP，得到点B关于点P的对称点B'；
3. 连接CP并延长CP到点C'，使PC' = CP，得到点C关于点P的对称点C'；
4. 依次连接A'B'、B'C'、C'A'，则△A'B'C'即为所求作的△ABC关于点P的对称图形。
1. 连接AP并延长AP到点A'，使PA' = AP，得到点A关于点P的对称点A'；
2. 连接BP并延长BP到点B'，使PB' = BP，得到点B关于点P的对称点B'；
3. 连接CP并延长CP到点C'，使PC' = CP，得到点C关于点P的对称点C'；
4. 依次连接A'B'、B'C'、C'A'，则△A'B'C'即为所求作的△ABC关于点P的对称图形。
解析
【分析】
要画出△ABC关于点P的对称图形，依据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。因此解题思路为：先分别找到△ABC三个顶点A、B、C关于点P的对称点，再顺次连接三个对称点，即可得到所求的对称三角形。找对称点时，只需将顶点与点P连接后延长，在延长线上截取与原顶点到P的长度相等的线段，线段另一端就是对应对称点。
【解析】
作图步骤如下：
1. 连接AP并延长AP到点A'，使PA' = AP，得到点A关于点P的对称点A'；
2. 连接BP并延长BP到点B'，使PB' = BP，得到点B关于点P的对称点B'；
3. 连接CP并延长CP到点C'，使PC' = CP，得到点C关于点P的对称点C'；
4. 依次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到△A'B'C'。
【答案】
作法如下：
1. 连接AP并延长AP到点A'，使PA' = AP，得到点A关于点P的对称点A'；
2. 连接BP并延长BP到点B'，使PB' = BP，得到点B关于点P的对称点B'；
3. 连接CP并延长CP到点C'，使PC' = CP，得到点C关于点P的对称点C'；
4. 依次连接A'B'、B'C'、C'A'，则△A'B'C'即为所求作的△ABC关于点P的对称图形。
【知识点】
中心对称的性质；中心对称作图
【点评】
本题是中心对称作图的基础题，解题的关键是熟练掌握中心对称对应点的作图方法，牢记“连点、延长、截等长”的作图要领，即可快速完成任意多边形关于某点的中心对称图形绘制。
【难度系数】
0.8
要画出△ABC关于点P的对称图形，依据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。因此解题思路为：先分别找到△ABC三个顶点A、B、C关于点P的对称点，再顺次连接三个对称点，即可得到所求的对称三角形。找对称点时，只需将顶点与点P连接后延长，在延长线上截取与原顶点到P的长度相等的线段，线段另一端就是对应对称点。
【解析】
作图步骤如下：
1. 连接AP并延长AP到点A'，使PA' = AP，得到点A关于点P的对称点A'；
2. 连接BP并延长BP到点B'，使PB' = BP，得到点B关于点P的对称点B'；
3. 连接CP并延长CP到点C'，使PC' = CP，得到点C关于点P的对称点C'；
4. 依次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到△A'B'C'。
【答案】
作法如下：
1. 连接AP并延长AP到点A'，使PA' = AP，得到点A关于点P的对称点A'；
2. 连接BP并延长BP到点B'，使PB' = BP，得到点B关于点P的对称点B'；
3. 连接CP并延长CP到点C'，使PC' = CP，得到点C关于点P的对称点C'；
4. 依次连接A'B'、B'C'、C'A'，则△A'B'C'即为所求作的△ABC关于点P的对称图形。
【知识点】
中心对称的性质；中心对称作图
【点评】
本题是中心对称作图的基础题，解题的关键是熟练掌握中心对称对应点的作图方法，牢记“连点、延长、截等长”的作图要领，即可快速完成任意多边形关于某点的中心对称图形绘制。
【难度系数】
0.8
例3 如图，$△ ABC$是等边三角形，$AO=OB=2$，$OC⊥ AB$，$∠ AOP=60°$，$OP$绕$O$逆时针旋转$60°$，点$P$落在$P'$处，求点$P$，$P'$的坐标.
【探究点拨】过点$P$作$PD⊥ OC$，运用勾股定理求$PD$，$OD$，运用对称性求点$P'$的坐标.
【规范解答】$OP=2$，$∠ POC=30°$，
过点$P$作$PD⊥ OC$，则$PD=1$，
$OD=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$.
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(-1,-\sqrt{3})$.
又因为点$P$与点$P'$关于$y$轴对称，
$\therefore$ 点$P'$的坐标为$(1,-\sqrt{3})$.
【探究点拨】过点$P$作$PD⊥ OC$，运用勾股定理求$PD$，$OD$，运用对称性求点$P'$的坐标.
【规范解答】$OP=2$，$∠ POC=30°$，
过点$P$作$PD⊥ OC$，则$PD=1$，
$OD=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$.
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(-1,-\sqrt{3})$.
又因为点$P$与点$P'$关于$y$轴对称，
$\therefore$ 点$P'$的坐标为$(1,-\sqrt{3})$.
答案
解：
∵ △ABC是等边三角形，OC⊥AB，AO=OB=2，
∴ ∠AOC=30°，
又∠AOP=60°，
∴ ∠POC=∠AOP - ∠AOC=30°，且OP=OA=2。
过点P作PD⊥OC，垂足为D，
在Rt△OPD中，∠POD=30°，OP=2，
∴ $PD=\frac{1}{2}OP=1$，
由勾股定理得：$OD=\sqrt{OP^2-PD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
∵ 点P位于第三象限，
∴ 点P的坐标为$(-1,-\sqrt{3})$。
∵ OP绕点O逆时针旋转60°得到OP'，
∴ ∠POP'=60°，OP'=OP=2，
可得点P与点P'关于y轴对称，
∴ 点P'的坐标为$(1,-\sqrt{3})$。
∵ △ABC是等边三角形，OC⊥AB，AO=OB=2，
∴ ∠AOC=30°，
又∠AOP=60°，
∴ ∠POC=∠AOP - ∠AOC=30°，且OP=OA=2。
过点P作PD⊥OC，垂足为D，
在Rt△OPD中，∠POD=30°，OP=2，
∴ $PD=\frac{1}{2}OP=1$，
由勾股定理得：$OD=\sqrt{OP^2-PD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
∵ 点P位于第三象限，
∴ 点P的坐标为$(-1,-\sqrt{3})$。
∵ OP绕点O逆时针旋转60°得到OP'，
∴ ∠POP'=60°，OP'=OP=2，
可得点P与点P'关于y轴对称，
∴ 点P'的坐标为$(1,-\sqrt{3})$。
解析
【分析】
解题时首先结合等边三角形三线合一的性质，先求出∠AOC的度数，再结合已知∠AOP=60°，推导得到∠POC的度数，同时确定OP的长度；接下来过点P作PD⊥OC构造直角三角形，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半求出PD的长度，再用勾股定理求出OD的长度，结合点P所在的第三象限确定P的坐标；最后根据旋转的性质得出点P和P'关于y轴对称，利用关于y轴对称的点的坐标特征直接写出P'的坐标即可。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，OC⊥AB，AO=OB=2，
∴ ∠AOC=30°，
又
∵ ∠AOP=60°，
∴ ∠POC=∠AOP - ∠AOC=30°，且OP=OA=2。
过点P作PD⊥OC，垂足为D，
在Rt△OPD中，∠POD=30°，OP=2，
∴ $PD=\frac{1}{2}OP=1$，
由勾股定理得：$OD=\sqrt{OP^2-PD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
∵ 点P位于第三象限，横、纵坐标均为负，
∴ 点P的坐标为$(-1,-\sqrt{3})$。
∵ OP绕点O逆时针旋转60°得到OP'，
∴ ∠POP'=60°，OP'=OP=2，
可得点P与点P'关于y轴对称，关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴ 点P'的坐标为$(1,-\sqrt{3})$。
【答案】
点P的坐标为$\boldsymbol{(-1,-\sqrt{3})}$，点P'的坐标为$\boldsymbol{(1,-\sqrt{3})}$
【知识点】
等边三角形的性质；直角三角形的性质；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何性质的综合题，解题的核心是先通过角度推导得到直角三角形的特殊角度，再利用直角三角形的性质计算线段长度，结合象限确定坐标，最后利用对称性快速求出对应点坐标，侧重考查基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合等边三角形三线合一的性质，先求出∠AOC的度数，再结合已知∠AOP=60°，推导得到∠POC的度数，同时确定OP的长度；接下来过点P作PD⊥OC构造直角三角形，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半求出PD的长度，再用勾股定理求出OD的长度，结合点P所在的第三象限确定P的坐标；最后根据旋转的性质得出点P和P'关于y轴对称，利用关于y轴对称的点的坐标特征直接写出P'的坐标即可。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，OC⊥AB，AO=OB=2，
∴ ∠AOC=30°，
又
∵ ∠AOP=60°，
∴ ∠POC=∠AOP - ∠AOC=30°，且OP=OA=2。
过点P作PD⊥OC，垂足为D，
在Rt△OPD中，∠POD=30°，OP=2，
∴ $PD=\frac{1}{2}OP=1$，
由勾股定理得：$OD=\sqrt{OP^2-PD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
∵ 点P位于第三象限，横、纵坐标均为负，
∴ 点P的坐标为$(-1,-\sqrt{3})$。
∵ OP绕点O逆时针旋转60°得到OP'，
∴ ∠POP'=60°，OP'=OP=2，
可得点P与点P'关于y轴对称，关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴ 点P'的坐标为$(1,-\sqrt{3})$。
【答案】
点P的坐标为$\boldsymbol{(-1,-\sqrt{3})}$，点P'的坐标为$\boldsymbol{(1,-\sqrt{3})}$
【知识点】
等边三角形的性质；直角三角形的性质；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何性质的综合题，解题的核心是先通过角度推导得到直角三角形的特殊角度，再利用直角三角形的性质计算线段长度，结合象限确定坐标，最后利用对称性快速求出对应点坐标，侧重考查基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
变式探究
如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,3),B(2,5),C(4,2)(每个方格的边长均为1个单位长度).
(1)平移△ABC使点A移动到点A₁,请在图中画出△A₁B₁C₁;
(2)作出△ABC关于点O成中心对称的△A₂B₂C₂,并直接写出点A₂,B₂,C₂的坐标;
(3)△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂是否成中心对称?若是,请写出对称中心的坐标;若不是,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,3),B(2,5),C(4,2)(每个方格的边长均为1个单位长度).
(1)平移△ABC使点A移动到点A₁,请在图中画出△A₁B₁C₁;
(2)作出△ABC关于点O成中心对称的△A₂B₂C₂,并直接写出点A₂,B₂,C₂的坐标;
(3)△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂是否成中心对称?若是,请写出对称中心的坐标;若不是,请说明理由.
答案
解：
(1) 由A(1,3)、A₁(-3,1)，可得平移规则为将△ABC向左平移4个单位，向下平移2个单位，得到B₁(-2,3)，C₁(0,0)，依次连接A₁、B₁、C₁，即可画出△A₁B₁C₁。
(2) 根据关于原点成中心对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，可得：
$A_2(-1,-3)$，$B_2(-2,-5)$，$C_2(-4,-2)$，依次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，即可得到△$A_2B_2C_2$。
(3) △$A_1B_1C_1$与△$A_2B_2C_2$成中心对称，对称中心的坐标为$(-2,-1)$。
(1) 由A(1,3)、A₁(-3,1)，可得平移规则为将△ABC向左平移4个单位，向下平移2个单位，得到B₁(-2,3)，C₁(0,0)，依次连接A₁、B₁、C₁，即可画出△A₁B₁C₁。
(2) 根据关于原点成中心对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，可得：
$A_2(-1,-3)$，$B_2(-2,-5)$，$C_2(-4,-2)$，依次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，即可得到△$A_2B_2C_2$。
(3) △$A_1B_1C_1$与△$A_2B_2C_2$成中心对称，对称中心的坐标为$(-2,-1)$。
解析
【分析】
(1) 解决平移作图问题，首先根据已知对应点A和A₁的坐标，计算横、纵坐标的差值，确定平移的方向和距离；再将B、C两点按相同平移规则计算得到对应点B₁、C₁的坐标，最后顺次连接三个对应点即可得到平移后的三角形。
(2) 关于原点O成中心对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，直接根据该特征写出A₂、B₂、C₂的坐标，再顺次连接得到对称图形。
(3) 判断两个图形是否成中心对称，只需验证所有对应点连线的中点是否为同一个点：若所有对应点连线的中点坐标相同，则两图形成中心对称，该中点就是对称中心；否则不成中心对称。
【解析】
(1) 已知A(1,3)，平移后对应点A₁(-3,1)，横坐标变化：$-3-1=-4$，即向左平移4个单位；纵坐标变化：$1-3=-2$，即向下平移2个单位。
按照该平移规则计算：
点B(2,5)平移后坐标为$(2-4,5-2)$，即$B₁(-2,3)$；
点C(4,2)平移后坐标为$(4-4,2-2)$，即$C₁(0,0)$；
在坐标系中找到$A₁、B₁、C₁$三点，顺次连接即可得到$△ A₁B₁C₁$。
(2) 根据关于原点成中心对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$，可得：
A(1,3)的对称点$A₂(-1,-3)$；
B(2,5)的对称点$B₂(-2,-5)$；
C(4,2)的对称点$C₂(-4,-2)$；
在坐标系中找到$A₂、B₂、C₂$三点，顺次连接即可得到$△ A₂B₂C₂$。
(3) 分别计算三组对应点连线的中点坐标：
$A₁(-3,1)$与$A₂(-1,-3)$的中点：横坐标$\frac{-3+(-1)}{2}=-2$，纵坐标$\frac{1+(-3)}{2}=-1$，即中点为$(-2,-1)$；
$B₁(-2,3)$与$B₂(-2,-5)$的中点：横坐标$\frac{-2+(-2)}{2}=-2$，纵坐标$\frac{3+(-5)}{2}=-1$，即中点为$(-2,-1)$；
$C₁(0,0)$与$C₂(-4,-2)$的中点：横坐标$\frac{0+(-4)}{2}=-2$，纵坐标$\frac{0+(-2)}{2}=-1$，即中点为$(-2,-1)$；
三组对应点连线的中点均为$(-2,-1)$，因此$△ A₁B₁C₁$与$△ A₂B₂C₂$成中心对称。
【答案】
(1) 得到$B₁(-2,3)$、$C₁(0,0)$，顺次连接$A₁、B₁、C₁$即可画出$△ A₁B₁C₁$；
(2) $A₂(-1,-3)$，$B₂(-2,-5)$，$C₂(-4,-2)$，顺次连接三点得到$△ A₂B₂C₂$；
(3) 成中心对称，对称中心的坐标为$(-2,-1)$。
【知识点】
平移作图；中心对称的性质；中心对称的判定
【点评】
本题考查平移和中心对称的坐标变换规则及作图方法，解题的关键是熟练掌握坐标变化规律，是图形变换类的基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 解决平移作图问题，首先根据已知对应点A和A₁的坐标，计算横、纵坐标的差值，确定平移的方向和距离；再将B、C两点按相同平移规则计算得到对应点B₁、C₁的坐标，最后顺次连接三个对应点即可得到平移后的三角形。
(2) 关于原点O成中心对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，直接根据该特征写出A₂、B₂、C₂的坐标，再顺次连接得到对称图形。
(3) 判断两个图形是否成中心对称，只需验证所有对应点连线的中点是否为同一个点：若所有对应点连线的中点坐标相同，则两图形成中心对称，该中点就是对称中心；否则不成中心对称。
【解析】
(1) 已知A(1,3)，平移后对应点A₁(-3,1)，横坐标变化：$-3-1=-4$，即向左平移4个单位；纵坐标变化：$1-3=-2$，即向下平移2个单位。
按照该平移规则计算：
点B(2,5)平移后坐标为$(2-4,5-2)$，即$B₁(-2,3)$；
点C(4,2)平移后坐标为$(4-4,2-2)$，即$C₁(0,0)$；
在坐标系中找到$A₁、B₁、C₁$三点，顺次连接即可得到$△ A₁B₁C₁$。
(2) 根据关于原点成中心对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$，可得：
A(1,3)的对称点$A₂(-1,-3)$；
B(2,5)的对称点$B₂(-2,-5)$；
C(4,2)的对称点$C₂(-4,-2)$；
在坐标系中找到$A₂、B₂、C₂$三点，顺次连接即可得到$△ A₂B₂C₂$。
(3) 分别计算三组对应点连线的中点坐标：
$A₁(-3,1)$与$A₂(-1,-3)$的中点：横坐标$\frac{-3+(-1)}{2}=-2$，纵坐标$\frac{1+(-3)}{2}=-1$，即中点为$(-2,-1)$；
$B₁(-2,3)$与$B₂(-2,-5)$的中点：横坐标$\frac{-2+(-2)}{2}=-2$，纵坐标$\frac{3+(-5)}{2}=-1$，即中点为$(-2,-1)$；
$C₁(0,0)$与$C₂(-4,-2)$的中点：横坐标$\frac{0+(-4)}{2}=-2$，纵坐标$\frac{0+(-2)}{2}=-1$，即中点为$(-2,-1)$；
三组对应点连线的中点均为$(-2,-1)$，因此$△ A₁B₁C₁$与$△ A₂B₂C₂$成中心对称。
【答案】
(1) 得到$B₁(-2,3)$、$C₁(0,0)$，顺次连接$A₁、B₁、C₁$即可画出$△ A₁B₁C₁$；
(2) $A₂(-1,-3)$，$B₂(-2,-5)$，$C₂(-4,-2)$，顺次连接三点得到$△ A₂B₂C₂$；
(3) 成中心对称，对称中心的坐标为$(-2,-1)$。
【知识点】
平移作图；中心对称的性质；中心对称的判定
【点评】
本题考查平移和中心对称的坐标变换规则及作图方法，解题的关键是熟练掌握坐标变化规律，是图形变换类的基础题型。
【难度系数】
0.8
