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7. 如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转$45°$后得到正方形$OA_1B_1C_1$,依此方式,绕点O连续旋转2 026次得到正方形$OA_{2\,026}B_{2\,026}C_{2\,026}$,如果点A的坐标为$(1,0)$,那么点$B_{2\,026}$的坐标为（）
A.$(1,-1)$
B.$(\sqrt{2},0)$
C.$(0,\sqrt{2})$
D.$(-1,1)$
A.$(1,-1)$
B.$(\sqrt{2},0)$
C.$(0,\sqrt{2})$
D.$(-1,1)$
答案
D
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先确定初始点B的坐标：已知正方形OABC中点A坐标为(1,0)，可得正方形边长为1，因此点B坐标为(1,1)，计算OB的长度为√(1²+1²)=√2，初始OB与x轴正方向的夹角为45°。2. 找旋转周期：每次逆时针旋转45°，旋转8次刚好旋转360°回到原位置，因此旋转周期为8。3. 计算2026次旋转对应的余数：用2026除以8，得到余数，即可确定点B₂₀₂₆的位置和初始旋转几次后的位置一致。4. 根据旋转角度计算对应坐标即可。
【解析】
解：
∵四边形OABC是正方形，点A的坐标为(1,0)，
∴OA=AB=1，点B的坐标为(1,1)，
∴OB=√(1²+1²)=√2，初始OB与x轴正方向夹角为45°。
∵每次绕点O逆时针旋转45°，360°÷45°=8，
∴每旋转8次为一个循环，点B回到原位置。
∵2026÷8=253……2，即余数为2，
∴旋转2026次后点B的位置和旋转2次后的位置相同。
旋转2次后，OB总共旋转的角度为2×45°=90°，此时OB与x轴正方向的夹角为45°+90°=135°，
∴点B₂₀₂₆的横坐标为√2·cos135°=√2×(-√2/2)=-1，
纵坐标为√2·sin135°=√2×(√2/2)=1，
即点B₂₀₂₆的坐标为(-1,1)。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，周期规律探究
【点评】
本题是旋转规律探究类题型，解题核心是先确定旋转的循环周期，再结合余数定位目标点的位置，最后结合三角函数或坐标旋转规律求出坐标，既考查了旋转的基本性质，也考查了规律归纳能力。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：1. 先确定初始点B的坐标：已知正方形OABC中点A坐标为(1,0)，可得正方形边长为1，因此点B坐标为(1,1)，计算OB的长度为√(1²+1²)=√2，初始OB与x轴正方向的夹角为45°。2. 找旋转周期：每次逆时针旋转45°，旋转8次刚好旋转360°回到原位置，因此旋转周期为8。3. 计算2026次旋转对应的余数：用2026除以8，得到余数，即可确定点B₂₀₂₆的位置和初始旋转几次后的位置一致。4. 根据旋转角度计算对应坐标即可。
【解析】
解：
∵四边形OABC是正方形，点A的坐标为(1,0)，
∴OA=AB=1，点B的坐标为(1,1)，
∴OB=√(1²+1²)=√2，初始OB与x轴正方向夹角为45°。
∵每次绕点O逆时针旋转45°，360°÷45°=8，
∴每旋转8次为一个循环，点B回到原位置。
∵2026÷8=253……2，即余数为2，
∴旋转2026次后点B的位置和旋转2次后的位置相同。
旋转2次后，OB总共旋转的角度为2×45°=90°，此时OB与x轴正方向的夹角为45°+90°=135°，
∴点B₂₀₂₆的横坐标为√2·cos135°=√2×(-√2/2)=-1，
纵坐标为√2·sin135°=√2×(√2/2)=1，
即点B₂₀₂₆的坐标为(-1,1)。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，周期规律探究
【点评】
本题是旋转规律探究类题型，解题核心是先确定旋转的循环周期，再结合余数定位目标点的位置，最后结合三角函数或坐标旋转规律求出坐标，既考查了旋转的基本性质，也考查了规律归纳能力。
【难度系数】
0.65
8.如图,在正方形网格上有一个$△ ABC$,作出$△ ABC$绕点$O$顺时针旋转$90°$后的$△ A'B'C'$.
答案
解：
作法如下：
1. 分别连接点O与点A、B、C，得到线段OA、OB、OC；
2. 以点O为旋转中心，利用网格的直角特性，分别将OA、OB、OC沿顺时针方向旋转90°，在对应方向上截取线段OA'=OA，OB'=OB，OC'=OC，得到点A、B、C旋转后的对应点A'、B'、C'；
3. 顺次连接A'、B'、C'三点，所得的△A'B'C'即为△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形。
作法如下：
1. 分别连接点O与点A、B、C，得到线段OA、OB、OC；
2. 以点O为旋转中心，利用网格的直角特性，分别将OA、OB、OC沿顺时针方向旋转90°，在对应方向上截取线段OA'=OA，OB'=OB，OC'=OC，得到点A、B、C旋转后的对应点A'、B'、C'；
3. 顺次连接A'、B'、C'三点，所得的△A'B'C'即为△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形。
解析
【分析】
要作出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形，需依据旋转的性质解题：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。解题思路如下：首先明确旋转三要素：旋转中心为点O、旋转方向为顺时针、旋转角度为90°；接下来只需要分别确定点A、B、C旋转后的对应点A'、B'、C'，借助正方形网格的直角特性，可以快速作出与OA、OB、OC垂直且长度相等的线段，得到对应点；最后顺次连接三个对应点即可得到旋转后的图形。
【解析】
1. 分别连接点O与点A、B、C，得到线段OA、OB、OC；
2. 以点O为旋转中心，利用网格的直角特性，分别将OA、OB、OC沿顺时针方向旋转90°，在对应方向上截取线段OA'=OA，OB'=OB，OC'=OC，得到点A、B、C旋转后的对应点A'、B'、C'；
3. 顺次连接A'、B'、C'三点，所得△A'B'C'即为所求。
【答案】
按上述步骤作出的△A'B'C'即为△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形。
【知识点】
旋转的性质；旋转作图
【点评】
本题是基础的图形变换作图题，核心考查旋转作图的基本操作，掌握旋转三要素以及旋转的性质是解题的关键，需要熟练掌握找对应点的方法。
【难度系数】
0.85
要作出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形，需依据旋转的性质解题：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。解题思路如下：首先明确旋转三要素：旋转中心为点O、旋转方向为顺时针、旋转角度为90°；接下来只需要分别确定点A、B、C旋转后的对应点A'、B'、C'，借助正方形网格的直角特性，可以快速作出与OA、OB、OC垂直且长度相等的线段，得到对应点；最后顺次连接三个对应点即可得到旋转后的图形。
【解析】
1. 分别连接点O与点A、B、C，得到线段OA、OB、OC；
2. 以点O为旋转中心，利用网格的直角特性，分别将OA、OB、OC沿顺时针方向旋转90°，在对应方向上截取线段OA'=OA，OB'=OB，OC'=OC，得到点A、B、C旋转后的对应点A'、B'、C'；
3. 顺次连接A'、B'、C'三点，所得△A'B'C'即为所求。
【答案】
按上述步骤作出的△A'B'C'即为△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形。
【知识点】
旋转的性质；旋转作图
【点评】
本题是基础的图形变换作图题，核心考查旋转作图的基本操作，掌握旋转三要素以及旋转的性质是解题的关键，需要熟练掌握找对应点的方法。
【难度系数】
0.85
9.如图，△ACD，△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，画出△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后的三角形，判断CE与BD的位置关系.
答案
解：
1. 作图：
∵ △AEB、△ACD均为等腰直角三角形，∠EAB=∠CAD=90°，
∴ 点E绕点A逆时针旋转90°后与点B重合，点C绕点A逆时针旋转90°后与点D重合，点A旋转后位置不变，
连接BD，则△ABD即为△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后的三角形。
2. CE与BD的位置关系为$CE⊥ BD$，证明如下：
设CE分别交BD、AB于点F、点G。
由旋转的性质可得$△ ACE ≌ △ ABD$，
∴ $∠ ACE = ∠ ADB$。
∵ $∠ EAC = ∠ EAB + ∠ BAC = 90° + ∠ BAC$，
$∠ BAD = ∠ CAD + ∠ BAC = 90° + ∠ BAC$，
∴ $∠ EAC = ∠ BAD$。
又∵ $AE=AB$，$AC=AD$，
∴ $△ EAC ≌ △ BAD(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠ AEC = ∠ ABD$。
∵ $∠ AEC + ∠ AGE = 90°$，且$∠ AGE = ∠ BGF$（对顶角相等），
∴ $∠ ABD + ∠ BGF = 90°$，
∴ $∠ BFG = 180° - (∠ ABD + ∠ BGF) = 90°$，
即 $CE⊥ BD$。
答：△ACE旋转后的图形为△ABD，CE与BD的位置关系是互相垂直。
1. 作图：
∵ △AEB、△ACD均为等腰直角三角形，∠EAB=∠CAD=90°，
∴ 点E绕点A逆时针旋转90°后与点B重合，点C绕点A逆时针旋转90°后与点D重合，点A旋转后位置不变，
连接BD，则△ABD即为△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后的三角形。
2. CE与BD的位置关系为$CE⊥ BD$，证明如下：
设CE分别交BD、AB于点F、点G。
由旋转的性质可得$△ ACE ≌ △ ABD$，
∴ $∠ ACE = ∠ ADB$。
∵ $∠ EAC = ∠ EAB + ∠ BAC = 90° + ∠ BAC$，
$∠ BAD = ∠ CAD + ∠ BAC = 90° + ∠ BAC$，
∴ $∠ EAC = ∠ BAD$。
又∵ $AE=AB$，$AC=AD$，
∴ $△ EAC ≌ △ BAD(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠ AEC = ∠ ABD$。
∵ $∠ AEC + ∠ AGE = 90°$，且$∠ AGE = ∠ BGF$（对顶角相等），
∴ $∠ ABD + ∠ BGF = 90°$，
∴ $∠ BFG = 180° - (∠ ABD + ∠ BGF) = 90°$，
即 $CE⊥ BD$。
答：△ACE旋转后的图形为△ABD，CE与BD的位置关系是互相垂直。
解析
【分析】
本题分为作图和判断线段位置关系两部分：①作图需先明确旋转三要素：旋转中心为点A，旋转方向为逆时针，旋转角为90°。结合已知等腰直角三角形的性质，可得AE=AB、AC=AD，且∠EAB=∠CAD=90°，因此点E旋转后对应点为B，点C旋转后对应点为D，点A位置不变，连接对应点即可得到旋转后的图形。②判断CE和BD的位置关系，观察图形推测为垂直，需证明两条线段的夹角为90°：先证明△EAC和△BAD全等，得到对应角相等，再结合对顶角相等、直角三角形两锐角互余的性质，推导得到夹角为90°即可得出垂直结论。
【解析】
1. 作图：
∵△AEB、△ACD均为等腰直角三角形，∠EAB=∠CAD=90°，
∴点E绕点A逆时针旋转90°后与点B重合，点C绕点A逆时针旋转90°后与点D重合，点A为旋转中心，旋转后位置不变，
连接BD，则△ABD即为△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后的三角形。
2. 判断CE与BD的位置关系：CE⊥BD，证明如下：
设CE分别交BD、AB于点F、点G。
由旋转的性质可得△ACE≌△ABD，
∴∠ACE=∠ADB。
∵∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°+∠BAC，
∠BAD=∠CAD+∠BAC=90°+∠BAC，
∴∠EAC=∠BAD。
又
∵AE=AB，AC=AD，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴∠AEC=∠ABD。
∵∠AEC+∠AGE=90°，且∠AGE=∠BGF（对顶角相等），
∴∠ABD+∠BGF=90°，
∴∠BFG=180°-(∠ABD+∠BGF)=90°，
即CE⊥BD。
【答案】
△ACE以点A为旋转中心逆时针旋转90°后的三角形是△ABD，CE与BD的位置关系为互相垂直（$CE⊥BD$）。
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转章节的典型综合题，将旋转作图与几何证明相结合，既考查了旋转作图的基本方法，又需要通过全等三角形的证明、角的转化推导线段的位置关系，能有效巩固旋转相关性质和几何证明的逻辑思维。
【难度系数】
0.7
本题分为作图和判断线段位置关系两部分：①作图需先明确旋转三要素：旋转中心为点A，旋转方向为逆时针，旋转角为90°。结合已知等腰直角三角形的性质，可得AE=AB、AC=AD，且∠EAB=∠CAD=90°，因此点E旋转后对应点为B，点C旋转后对应点为D，点A位置不变，连接对应点即可得到旋转后的图形。②判断CE和BD的位置关系，观察图形推测为垂直，需证明两条线段的夹角为90°：先证明△EAC和△BAD全等，得到对应角相等，再结合对顶角相等、直角三角形两锐角互余的性质，推导得到夹角为90°即可得出垂直结论。
【解析】
1. 作图：
∵△AEB、△ACD均为等腰直角三角形，∠EAB=∠CAD=90°，
∴点E绕点A逆时针旋转90°后与点B重合，点C绕点A逆时针旋转90°后与点D重合，点A为旋转中心，旋转后位置不变，
连接BD，则△ABD即为△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后的三角形。
2. 判断CE与BD的位置关系：CE⊥BD，证明如下：
设CE分别交BD、AB于点F、点G。
由旋转的性质可得△ACE≌△ABD，
∴∠ACE=∠ADB。
∵∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°+∠BAC，
∠BAD=∠CAD+∠BAC=90°+∠BAC，
∴∠EAC=∠BAD。
又
∵AE=AB，AC=AD，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴∠AEC=∠ABD。
∵∠AEC+∠AGE=90°，且∠AGE=∠BGF（对顶角相等），
∴∠ABD+∠BGF=90°，
∴∠BFG=180°-(∠ABD+∠BGF)=90°，
即CE⊥BD。
【答案】
△ACE以点A为旋转中心逆时针旋转90°后的三角形是△ABD，CE与BD的位置关系为互相垂直（$CE⊥BD$）。
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转章节的典型综合题，将旋转作图与几何证明相结合，既考查了旋转作图的基本方法，又需要通过全等三角形的证明、角的转化推导线段的位置关系，能有效巩固旋转相关性质和几何证明的逻辑思维。
【难度系数】
0.7
10.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,将$△ ABC$逆时针旋转一定角度后得到$△ FBE$,点$E$在$BA$上,连接$AF$.
(1)旋转中心为点________;
(2)若$∠ BAC=36°$,则旋转角是$\_\_\_\_\_\_°$;
(3)若$AC=4$,$BC=3$,求$AF$的长.
(1)旋转中心为点________;
(2)若$∠ BAC=36°$,则旋转角是$\_\_\_\_\_\_°$;
(3)若$AC=4$,$BC=3$,求$AF$的长.
答案
解：
(1) 旋转中心为点$\boldsymbol{B}$；
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=36°$，
$\therefore ∠ ABC=90°-36°=54°$，
由旋转的性质可知旋转角为$54°$；
(3) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=3$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
由旋转的性质可得：
$BE=BC=3$，$EF=AC=4$，$∠ BEF=∠ C=90°$，
$\therefore AE=AB-BE=5-3=2$，$∠ AEF=180°-∠ BEF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AE^2+EF^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
综上，$AF$的长为$2\sqrt{5}$。
(1) 旋转中心为点$\boldsymbol{B}$；
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=36°$，
$\therefore ∠ ABC=90°-36°=54°$，
由旋转的性质可知旋转角为$54°$；
(3) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=3$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
由旋转的性质可得：
$BE=BC=3$，$EF=AC=4$，$∠ BEF=∠ C=90°$，
$\therefore AE=AB-BE=5-3=2$，$∠ AEF=180°-∠ BEF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AE^2+EF^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
综上，$AF$的长为$2\sqrt{5}$。
解析
【分析】
(1) 找旋转中心时，观察旋转前后两个三角形的公共定点即可：△ABC旋转后得到△FBE，两个三角形的公共顶点为B，因此旋转中心是点B。
(2) 旋转角是旋转前后对应边的夹角，本题中旋转角为∠ABC；在Rt△ABC中，已知直角和∠BAC的度数，利用直角三角形两锐角互余即可算出∠ABC的度数，也就是旋转角的大小。
(3) 求AF的长时，先观察AF所在的三角形：首先用勾股定理算出AB的长度，再根据旋转的性质得到BE、EF的长度以及∠BEF的度数，进而求出AE的长度，证明△AEF为直角三角形，最后再次利用勾股定理即可求出AF的长度。
【解析】
(1)
∵△ABC逆时针旋转得到△FBE，两个三角形的公共顶点为B，
∴旋转中心为点B。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=36°$，
$\therefore ∠ ABC=90°-36°=54°$，
由旋转的性质可知，旋转角等于∠ABC，即旋转角为$54°$。
(3) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=3$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
由旋转的性质可得：
$BE=BC=3$，$EF=AC=4$，$∠ BEF=∠ C=90°$，
$\therefore AE=AB-BE=5-3=2$，$∠ AEF=180°-∠ BEF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AE^2+EF^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{B}$；(2) $\boldsymbol{54}$；(3) $\boldsymbol{2\sqrt{5}}$
【知识点】
旋转的性质；勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转章节的典型基础题，以三角形旋转为背景，综合考查旋转的性质和勾股定理的应用，解题关键是准确识别旋转前后的对应边、对应角，结合直角三角形的性质逐步推导计算即可。
【难度系数】
0.7
(1) 找旋转中心时，观察旋转前后两个三角形的公共定点即可：△ABC旋转后得到△FBE，两个三角形的公共顶点为B，因此旋转中心是点B。
(2) 旋转角是旋转前后对应边的夹角，本题中旋转角为∠ABC；在Rt△ABC中，已知直角和∠BAC的度数，利用直角三角形两锐角互余即可算出∠ABC的度数，也就是旋转角的大小。
(3) 求AF的长时，先观察AF所在的三角形：首先用勾股定理算出AB的长度，再根据旋转的性质得到BE、EF的长度以及∠BEF的度数，进而求出AE的长度，证明△AEF为直角三角形，最后再次利用勾股定理即可求出AF的长度。
【解析】
(1)
∵△ABC逆时针旋转得到△FBE，两个三角形的公共顶点为B，
∴旋转中心为点B。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=36°$，
$\therefore ∠ ABC=90°-36°=54°$，
由旋转的性质可知，旋转角等于∠ABC，即旋转角为$54°$。
(3) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=3$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
由旋转的性质可得：
$BE=BC=3$，$EF=AC=4$，$∠ BEF=∠ C=90°$，
$\therefore AE=AB-BE=5-3=2$，$∠ AEF=180°-∠ BEF=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AE^2+EF^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{B}$；(2) $\boldsymbol{54}$；(3) $\boldsymbol{2\sqrt{5}}$
【知识点】
旋转的性质；勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转章节的典型基础题，以三角形旋转为背景，综合考查旋转的性质和勾股定理的应用，解题关键是准确识别旋转前后的对应边、对应角，结合直角三角形的性质逐步推导计算即可。
【难度系数】
0.7
11.等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，△ABD绕点B顺时针旋转得到△FBE，点A的对应点为F，点D的对应点为E，连接EC，EC//BF.
(1)求∠BEC的度数；
(2)求EC的长度.
(1)求∠BEC的度数；
(2)求EC的长度.
答案
解：
(1) ∵ △ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴ ∠ADB=90°，∠ABD=60°。
由旋转的性质可得：△FBE≌△ABD，
∴ ∠BEF=∠ADB=90°，∠FBE=∠ABD=60°。
∵ EC//BF，
∴ ∠FBE + ∠BEC=180°，
∴ ∠BEC=180°-60°=120°。
(2) 过点C作CG⊥BE，交BE的延长线于点G，
则∠CEG=180°-∠BEC=60°。
设EC=x，在Rt△CEG中：
EG=EC·cos60°=$\frac{1}{2}x$，
CG=EC·sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$。
由旋转的性质得BE=BD，
∵ 等边△ABC边长为4，D为BC中点，
∴ BD=2，即BE=2，
∴ BG=BE+EG=2+$\frac{1}{2}x$。
在Rt△BCG中，由勾股定理得：
$CG^2 + BG^2 = BC^2$，
即 $(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2 + (2+\frac{1}{2}x)^2 = 4^2$，
整理得：$x^2 + 2x -12=0$，
解得$x_1=\sqrt{13}-1$，$x_2=-\sqrt{13}-1$（边长为正，舍去）。
答：(1) ∠BEC的度数为120°；(2) EC的长度为$\sqrt{13}-1$。
(1) ∵ △ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴ ∠ADB=90°，∠ABD=60°。
由旋转的性质可得：△FBE≌△ABD，
∴ ∠BEF=∠ADB=90°，∠FBE=∠ABD=60°。
∵ EC//BF，
∴ ∠FBE + ∠BEC=180°，
∴ ∠BEC=180°-60°=120°。
(2) 过点C作CG⊥BE，交BE的延长线于点G，
则∠CEG=180°-∠BEC=60°。
设EC=x，在Rt△CEG中：
EG=EC·cos60°=$\frac{1}{2}x$，
CG=EC·sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$。
由旋转的性质得BE=BD，
∵ 等边△ABC边长为4，D为BC中点，
∴ BD=2，即BE=2，
∴ BG=BE+EG=2+$\frac{1}{2}x$。
在Rt△BCG中，由勾股定理得：
$CG^2 + BG^2 = BC^2$，
即 $(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2 + (2+\frac{1}{2}x)^2 = 4^2$，
整理得：$x^2 + 2x -12=0$，
解得$x_1=\sqrt{13}-1$，$x_2=-\sqrt{13}-1$（边长为正，舍去）。
答：(1) ∠BEC的度数为120°；(2) EC的长度为$\sqrt{13}-1$。
解析
【分析】
(1) 求解∠BEC的度数：首先根据等边三角形三线合一的性质，可得∠ADB=90°、∠ABD=60°；再结合旋转的性质，旋转前后的两个三角形全等，得到对应角∠FBE=∠ABD=60°；最后根据EC//BF，利用两直线平行同旁内角互补的性质，即可计算出∠BEC的度数。
(2) 求解EC的长度：已知∠BEC=120°，过点C作CG⊥BE交BE的延长线于G，构造出含60°锐角的Rt△CEG，设EC=x，利用三角函数可表示出EG、CG的长度；再由旋转性质得BE=BD，结合等边三角形边长可求出BE=2，进而得到BG的表达式；最后在Rt△BCG中利用勾股定理列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到EC的长度。
【解析】
(1)
∵ △ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴ ∠ADB=90°，∠ABD=60°。
由旋转的性质可得：△FBE≌△ABD，
∴ ∠BEF=∠ADB=90°，∠FBE=∠ABD=60°。
∵ EC//BF，
∴ ∠FBE + ∠BEC=180°，
∴ ∠BEC=180°-60°=120°。
(2) 过点C作CG⊥BE，交BE的延长线于点G，
则∠CEG=180°-∠BEC=60°。
设EC=x，在Rt△CEG中：
EG=EC·cos60°=$\frac{1}{2}x$，
CG=EC·sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$。
由旋转的性质得BE=BD，
∵ 等边△ABC边长为4，D为BC中点，
∴ BD=2，即BE=2，
∴ BG=BE+EG=2+$\frac{1}{2}x$。
在Rt△BCG中，由勾股定理得：
$CG^2 + BG^2 = BC^2$，
即 $(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2 + (2+\frac{1}{2}x)^2 = 4^2$，
整理得：$x^2 + 2x -12=0$，
解得$x_1=\sqrt{13}-1$，$x_2=-\sqrt{13}-1$（边长为正，舍去）。
【答案】
(1) $∠ BEC=120°$；
(2) $EC=\sqrt{13}-1$
【知识点】
等边三角形的性质、旋转的性质、勾股定理的应用
【点评】
本题是旋转类几何综合题，综合考查了等边三角形、平行线、旋转的性质以及勾股定理的应用，解题核心是利用旋转前后图形全等得到对应边、对应角的等量关系，通过作垂线构造直角三角形，将未知边放入直角三角形中建立方程求解，是几何模块的典型考题。
【难度系数】
0.6
(1) 求解∠BEC的度数：首先根据等边三角形三线合一的性质，可得∠ADB=90°、∠ABD=60°；再结合旋转的性质，旋转前后的两个三角形全等，得到对应角∠FBE=∠ABD=60°；最后根据EC//BF，利用两直线平行同旁内角互补的性质，即可计算出∠BEC的度数。
(2) 求解EC的长度：已知∠BEC=120°，过点C作CG⊥BE交BE的延长线于G，构造出含60°锐角的Rt△CEG，设EC=x，利用三角函数可表示出EG、CG的长度；再由旋转性质得BE=BD，结合等边三角形边长可求出BE=2，进而得到BG的表达式；最后在Rt△BCG中利用勾股定理列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到EC的长度。
【解析】
(1)
∵ △ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴ ∠ADB=90°，∠ABD=60°。
由旋转的性质可得：△FBE≌△ABD，
∴ ∠BEF=∠ADB=90°，∠FBE=∠ABD=60°。
∵ EC//BF，
∴ ∠FBE + ∠BEC=180°，
∴ ∠BEC=180°-60°=120°。
(2) 过点C作CG⊥BE，交BE的延长线于点G，
则∠CEG=180°-∠BEC=60°。
设EC=x，在Rt△CEG中：
EG=EC·cos60°=$\frac{1}{2}x$，
CG=EC·sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$。
由旋转的性质得BE=BD，
∵ 等边△ABC边长为4，D为BC中点，
∴ BD=2，即BE=2，
∴ BG=BE+EG=2+$\frac{1}{2}x$。
在Rt△BCG中，由勾股定理得：
$CG^2 + BG^2 = BC^2$，
即 $(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2 + (2+\frac{1}{2}x)^2 = 4^2$，
整理得：$x^2 + 2x -12=0$，
解得$x_1=\sqrt{13}-1$，$x_2=-\sqrt{13}-1$（边长为正，舍去）。
【答案】
(1) $∠ BEC=120°$；
(2) $EC=\sqrt{13}-1$
【知识点】
等边三角形的性质、旋转的性质、勾股定理的应用
【点评】
本题是旋转类几何综合题，综合考查了等边三角形、平行线、旋转的性质以及勾股定理的应用，解题核心是利用旋转前后图形全等得到对应边、对应角的等量关系，通过作垂线构造直角三角形，将未知边放入直角三角形中建立方程求解，是几何模块的典型考题。
【难度系数】
0.6
