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变式探究
1.如图,将△PQR绕点O顺时针旋转90°得△P'Q'R',画出图形,并写出P',Q',R'三点的坐标.
2.如图,以点A为旋转中心,将正方形ABCD顺时针旋转90°;以点D为旋转中心,将正方形ABCD逆时针旋转90°,分别画出旋转后所得的图形.
1.如图,将△PQR绕点O顺时针旋转90°得△P'Q'R',画出图形,并写出P',Q',R'三点的坐标.
2.如图,以点A为旋转中心,将正方形ABCD顺时针旋转90°;以点D为旋转中心,将正方形ABCD逆时针旋转90°,分别画出旋转后所得的图形.
答案
解：1. 画图步骤：
① 连接OP、OQ、OR；
② 分别将线段OP、OQ、OR绕点O顺时针旋转90°，得到对应线段OP'、OQ'、OR'；
③ 顺次连接点P'、Q'、R'，即得到旋转后的△P'Q'R'。
三点坐标为：
$P'(3, -\sqrt{3})$，$Q'(4, 0)$，$R'(2, 0)$。
2. 画图步骤：
(1) 以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转90°：
① 将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到AB的对应线段$AB_1$；
② 将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到AD的对应线段$AD_1$；
③ 根据正方形边长相等、内角为90°的性质确定点C的对应点$C_1$，顺次连接$B_1$、$C_1$、$D_1$，所得正方形$AB_1C_1D_1$即为该次旋转后的图形。
(2) 以点D为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转90°：
① 将线段DA绕点D逆时针旋转90°，得到DA的对应线段$DA_2$；
② 将线段DC绕点D逆时针旋转90°，得到DC的对应线段$DC_2$；
③ 根据正方形边长相等、内角为90°的性质确定点B的对应点$B_2$，顺次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，所得正方形$DA_2B_2C_2$即为该次旋转后的图形。
① 连接OP、OQ、OR；
② 分别将线段OP、OQ、OR绕点O顺时针旋转90°，得到对应线段OP'、OQ'、OR'；
③ 顺次连接点P'、Q'、R'，即得到旋转后的△P'Q'R'。
三点坐标为：
$P'(3, -\sqrt{3})$，$Q'(4, 0)$，$R'(2, 0)$。
2. 画图步骤：
(1) 以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转90°：
① 将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到AB的对应线段$AB_1$；
② 将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到AD的对应线段$AD_1$；
③ 根据正方形边长相等、内角为90°的性质确定点C的对应点$C_1$，顺次连接$B_1$、$C_1$、$D_1$，所得正方形$AB_1C_1D_1$即为该次旋转后的图形。
(2) 以点D为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转90°：
① 将线段DA绕点D逆时针旋转90°，得到DA的对应线段$DA_2$；
② 将线段DC绕点D逆时针旋转90°，得到DC的对应线段$DC_2$；
③ 根据正方形边长相等、内角为90°的性质确定点B的对应点$B_2$，顺次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，所得正方形$DA_2B_2C_2$即为该次旋转后的图形。
解析
【分析】
本题考查旋转作图及相关坐标确定，解题核心是运用旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，图形的形状、大小均不发生改变。
第1题解题思路：先确定△PQR的三个关键点P、Q、R，分别将三点与旋转中心O连线，将三条连线按顺时针方向旋转90°，保证旋转后线段长度与原线段相等，即可得到对应点P'、Q'、R'，顺次连接三点即得旋转后的三角形，再根据平面直角坐标系的刻度写出三点坐标即可。
第2题解题思路：正方形旋转的关键是确定四个顶点的对应点，利用正方形邻边垂直且相等的性质，先将旋转中心处的两条邻边按要求的方向和角度旋转，得到两个顶点的对应点，再依据正方形的性质确定剩余顶点的对应点，顺次连接各对应点即可得到旋转后的正方形。
【解析】
1. △P'Q'R'的画图步骤：
① 连接OP、OQ、OR；
② 分别将线段OP、OQ、OR绕点O顺时针旋转90°，得到对应线段OP'、OQ'、OR'；
③ 顺次连接点P'、Q'、R'，即得到旋转后的△P'Q'R'。
三点坐标为：$P'(3, -\sqrt{3})$，$Q'(4, 0)$，$R'(2, 0)$。
2. 旋转后正方形的画图步骤：
(1) 以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转90°：
① 将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到AB的对应线段$AB_1$；
② 将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到AD的对应线段$AD_1$；
③ 根据正方形边长相等、内角为90°的性质确定点C的对应点$C_1$，顺次连接$B_1$、$C_1$、$D_1$，所得正方形$AB_1C_1D_1$即为该次旋转后的图形。
(2) 以点D为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转90°：
① 将线段DA绕点D逆时针旋转90°，得到DA的对应线段$DA_2$；
② 将线段DC绕点D逆时针旋转90°，得到DC的对应线段$DC_2$；
③ 根据正方形边长相等、内角为90°的性质确定点B的对应点$B_2$，顺次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，所得正方形$DA_2B_2C_2$即为该次旋转后的图形。
【答案】
1. 按上述步骤画出△P'Q'R'，三点坐标为$P'(3, -\sqrt{3})$，$Q'(4, 0)$，$R'(2, 0)$；
2. 按上述步骤分别画出以A为旋转中心顺时针旋转90°后的正方形$AB_1C_1D_1$，和以D为旋转中心逆时针旋转90°后的正方形$DA_2B_2C_2$。
【知识点】
旋转的性质、旋转作图、坐标系内旋转变换
【点评】
本题是旋转作图的基础题型，解题时要牢牢把握旋转中心、旋转方向、旋转角度三要素，结合旋转性质和特殊图形的特征找对应点，注意避免混淆旋转方向导致作图错误。
【难度系数】
0.8
本题考查旋转作图及相关坐标确定，解题核心是运用旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，图形的形状、大小均不发生改变。
第1题解题思路：先确定△PQR的三个关键点P、Q、R，分别将三点与旋转中心O连线，将三条连线按顺时针方向旋转90°，保证旋转后线段长度与原线段相等，即可得到对应点P'、Q'、R'，顺次连接三点即得旋转后的三角形，再根据平面直角坐标系的刻度写出三点坐标即可。
第2题解题思路：正方形旋转的关键是确定四个顶点的对应点，利用正方形邻边垂直且相等的性质，先将旋转中心处的两条邻边按要求的方向和角度旋转，得到两个顶点的对应点，再依据正方形的性质确定剩余顶点的对应点，顺次连接各对应点即可得到旋转后的正方形。
【解析】
1. △P'Q'R'的画图步骤：
① 连接OP、OQ、OR；
② 分别将线段OP、OQ、OR绕点O顺时针旋转90°，得到对应线段OP'、OQ'、OR'；
③ 顺次连接点P'、Q'、R'，即得到旋转后的△P'Q'R'。
三点坐标为：$P'(3, -\sqrt{3})$，$Q'(4, 0)$，$R'(2, 0)$。
2. 旋转后正方形的画图步骤：
(1) 以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转90°：
① 将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到AB的对应线段$AB_1$；
② 将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到AD的对应线段$AD_1$；
③ 根据正方形边长相等、内角为90°的性质确定点C的对应点$C_1$，顺次连接$B_1$、$C_1$、$D_1$，所得正方形$AB_1C_1D_1$即为该次旋转后的图形。
(2) 以点D为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转90°：
① 将线段DA绕点D逆时针旋转90°，得到DA的对应线段$DA_2$；
② 将线段DC绕点D逆时针旋转90°，得到DC的对应线段$DC_2$；
③ 根据正方形边长相等、内角为90°的性质确定点B的对应点$B_2$，顺次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，所得正方形$DA_2B_2C_2$即为该次旋转后的图形。
【答案】
1. 按上述步骤画出△P'Q'R'，三点坐标为$P'(3, -\sqrt{3})$，$Q'(4, 0)$，$R'(2, 0)$；
2. 按上述步骤分别画出以A为旋转中心顺时针旋转90°后的正方形$AB_1C_1D_1$，和以D为旋转中心逆时针旋转90°后的正方形$DA_2B_2C_2$。
【知识点】
旋转的性质、旋转作图、坐标系内旋转变换
【点评】
本题是旋转作图的基础题型，解题时要牢牢把握旋转中心、旋转方向、旋转角度三要素，结合旋转性质和特殊图形的特征找对应点，注意避免混淆旋转方向导致作图错误。
【难度系数】
0.8
1. 正方形ABCD以它的对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转()后，就能与自身重合.
A.$45°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
A.$45°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确旋转对称图形的特征：图形绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，这个最小角度就是最小旋转角。再结合正方形的性质分析：正方形的对角线交点为旋转中心，两条对角线把正方形分成4个完全相同的等腰直角三角形，中心处的4个角大小相等，用周角360°除以4即可算出最小旋转角，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：正方形的对角线交点为旋转中心，两条对角线将正方形平分为4个全等的等腰直角三角形，中心处相邻两顶点与中心连线的夹角为：$360° ÷ 4 = 90°$，即正方形绕中心顺时针旋转$90°$的整数倍时，都能与自身重合。观察选项，只有$90°$符合要求。
【答案】
C
【知识点】
旋转对称图形；正方形的性质；旋转的性质
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握旋转对称图形最小旋转角的计算方法，结合正方形的结构特征即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确旋转对称图形的特征：图形绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，这个最小角度就是最小旋转角。再结合正方形的性质分析：正方形的对角线交点为旋转中心，两条对角线把正方形分成4个完全相同的等腰直角三角形，中心处的4个角大小相等，用周角360°除以4即可算出最小旋转角，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：正方形的对角线交点为旋转中心，两条对角线将正方形平分为4个全等的等腰直角三角形，中心处相邻两顶点与中心连线的夹角为：$360° ÷ 4 = 90°$，即正方形绕中心顺时针旋转$90°$的整数倍时，都能与自身重合。观察选项，只有$90°$符合要求。
【答案】
C
【知识点】
旋转对称图形；正方形的性质；旋转的性质
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握旋转对称图形最小旋转角的计算方法，结合正方形的结构特征即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
2.下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转$120°$后，能与原图形完全重合的是（
）
）答案
$\boldsymbol{A}$
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要用到旋转对称图形的性质：一个图形绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，这个角度就是该图形的最小旋转角，最小旋转角的计算公式为$\mathrm{最小旋转角}=\frac{360°}{\mathrm{图形中等同重复部分的份数}}$。我们只需要分别计算四个选项图形的最小旋转角，判断$120°$是否为对应最小旋转角的整数倍，就能选出正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
1. 选项A：图形被平均分为3个完全相同的部分，因此最小旋转角为$360°÷3=120°$，顺时针旋转$120°$后刚好与原图形完全重合，符合要求；
2. 选项B：观察图形可知，相邻部分的图案（黑白分布、形状朝向）均不相同，最小旋转角不是$120°$，旋转$120°$后无法和原图形重合，不符合要求；
3. 选项C：该图形的最小旋转角为$180°$，$120°$不是$180°$的整数倍，旋转$120°$后无法和原图形重合，不符合要求；
4. 选项D：图形被平均分为5个完全相同的花瓣，最小旋转角为$360°÷5=72°$，$120°$不是$72°$的整数倍，旋转$120°$后无法和原图形重合，不符合要求。
【答案】
$\boldsymbol{A}$
【知识点】
旋转对称图形；旋转的性质
【点评】
本题属于旋转相关的基础题型，核心是掌握最小旋转角的计算方法，结合图形的结构特征分析即可快速求解，是旋转章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要用到旋转对称图形的性质：一个图形绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，这个角度就是该图形的最小旋转角，最小旋转角的计算公式为$\mathrm{最小旋转角}=\frac{360°}{\mathrm{图形中等同重复部分的份数}}$。我们只需要分别计算四个选项图形的最小旋转角，判断$120°$是否为对应最小旋转角的整数倍，就能选出正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
1. 选项A：图形被平均分为3个完全相同的部分，因此最小旋转角为$360°÷3=120°$，顺时针旋转$120°$后刚好与原图形完全重合，符合要求；
2. 选项B：观察图形可知，相邻部分的图案（黑白分布、形状朝向）均不相同，最小旋转角不是$120°$，旋转$120°$后无法和原图形重合，不符合要求；
3. 选项C：该图形的最小旋转角为$180°$，$120°$不是$180°$的整数倍，旋转$120°$后无法和原图形重合，不符合要求；
4. 选项D：图形被平均分为5个完全相同的花瓣，最小旋转角为$360°÷5=72°$，$120°$不是$72°$的整数倍，旋转$120°$后无法和原图形重合，不符合要求。
【答案】
$\boldsymbol{A}$
【知识点】
旋转对称图形；旋转的性质
【点评】
本题属于旋转相关的基础题型，核心是掌握最小旋转角的计算方法，结合图形的结构特征分析即可快速求解，是旋转章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
3.如图,将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A'B'C',则点P的坐标是()
A.(1,1)
B.(1,2)
C.(1,3)
D.(1,4)
A.(1,1)
B.(1,2)
C.(1,3)
D.(1,4)
答案
B
解析
【分析】要确定旋转中心P的坐标，需利用旋转的核心性质：旋转中心是所有对应点连线的垂直平分线的公共交点，且旋转中心到任意一组对应点的连线夹角等于旋转角（本题为90°）。解题时可以先选取两组对应点，分别作对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心；也可结合选择题的特点，将选项逐一代入验证，判断对应点与选项中点的连线是否满足长度相等、夹角为90°且为顺时针旋转的特征。
【解析】根据旋转的性质，旋转中心到每组对应点的距离相等，且对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角：
方法1：作两组对应点连线的垂直平分线。选取对应点A与A'、C与C'，分别作线段AA'、CC'的垂直平分线，两条垂直平分线的交点坐标为(1,2)，即为点P。
方法2：代入选项验证。以选项B(1,2)为例：
1. 计算各对应点到P的距离，可得$PA=PA'$，$PB=PB'$，$PC=PC'$，满足旋转中心到对应点距离相等的性质；
2. 对应点与P的连线夹角均为90°，且符合顺时针旋转90°的旋转要求，因此该点为旋转中心。
综上，点P的坐标为(1,2)。
【答案】B
【知识点】旋转的性质；垂直平分线的性质；坐标与图形旋转
【点评】本题考查旋转中心的确定，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，也可利用选择题的特性通过代入验证快速解题，是旋转章节的基础常考题型。
【难度系数】0.7
【解析】根据旋转的性质，旋转中心到每组对应点的距离相等，且对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角：
方法1：作两组对应点连线的垂直平分线。选取对应点A与A'、C与C'，分别作线段AA'、CC'的垂直平分线，两条垂直平分线的交点坐标为(1,2)，即为点P。
方法2：代入选项验证。以选项B(1,2)为例：
1. 计算各对应点到P的距离，可得$PA=PA'$，$PB=PB'$，$PC=PC'$，满足旋转中心到对应点距离相等的性质；
2. 对应点与P的连线夹角均为90°，且符合顺时针旋转90°的旋转要求，因此该点为旋转中心。
综上，点P的坐标为(1,2)。
【答案】B
【知识点】旋转的性质；垂直平分线的性质；坐标与图形旋转
【点评】本题考查旋转中心的确定，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，也可利用选择题的特性通过代入验证快速解题，是旋转章节的基础常考题型。
【难度系数】0.7
4.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是()
A.$AC=AD$
B.$AB ⊥ EB$
C.$BC=DE$
D.$∠ A = ∠ EBC$
A.$AC=AD$
B.$AB ⊥ EB$
C.$BC=DE$
D.$∠ A = ∠ EBC$
答案
D
解析
【分析】
解决本题的核心是利用旋转的性质，结合等腰三角形的角度规律逐一判断选项：首先明确旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等，再结合等腰三角形底角与顶角的关系推导角的等量关系，排除不符合题意的选项即可得到正确结论。
【解析】
由旋转的性质可得：$△ ABC≌△ DEC$，因此$AC=CD$，$BC=CE$，$AB=DE$，$∠ ACB=∠ DCE$，$∠ A=∠ CDE$。
选项A：$AC=CD$，仅当$∠ A=60°$时$△ ACD$为等边三角形，才有$AC=AD$，题干无相关条件，该结论不一定成立，故A错误；
选项B：$\because BC=CE$，$\therefore ∠ EBC=∠ BEC=\frac{180°-∠ BCE}{2}$，其中$∠ BCE=∠ ACD$，$∠ ABC$度数不确定，因此$∠ ABE=∠ ABC+∠ EBC$不一定为$90°$，$AB⊥ EB$不一定成立，故B错误；
选项C：由旋转性质得$DE=AB$，仅当$AB=BC$时才有$BC=DE$，题干无相关条件，该结论不一定成立，故C错误；
选项D：$\because ∠ ACB=∠ DCE$，$\therefore ∠ ACB-∠ DCB=∠ DCE-∠ DCB$，即$∠ ACD=∠ BCE$。
$\because AC=CD$，$\therefore ∠ A=\frac{180°-∠ ACD}{2}$；
$\because BC=CE$，$\therefore ∠ EBC=\frac{180°-∠ BCE}{2}$；
结合$∠ ACD=∠ BCE$，可得$∠ A=∠ EBC$，该结论一定成立，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题重点考察旋转性质的应用，解题时需准确提取旋转前后的等量关系，结合等腰三角形角度计算规律推导角的等量关系，注意题目要求的是"一定正确"的结论，需排除仅在特殊条件下成立的选项。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是利用旋转的性质，结合等腰三角形的角度规律逐一判断选项：首先明确旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等，再结合等腰三角形底角与顶角的关系推导角的等量关系，排除不符合题意的选项即可得到正确结论。
【解析】
由旋转的性质可得：$△ ABC≌△ DEC$，因此$AC=CD$，$BC=CE$，$AB=DE$，$∠ ACB=∠ DCE$，$∠ A=∠ CDE$。
选项A：$AC=CD$，仅当$∠ A=60°$时$△ ACD$为等边三角形，才有$AC=AD$，题干无相关条件，该结论不一定成立，故A错误；
选项B：$\because BC=CE$，$\therefore ∠ EBC=∠ BEC=\frac{180°-∠ BCE}{2}$，其中$∠ BCE=∠ ACD$，$∠ ABC$度数不确定，因此$∠ ABE=∠ ABC+∠ EBC$不一定为$90°$，$AB⊥ EB$不一定成立，故B错误；
选项C：由旋转性质得$DE=AB$，仅当$AB=BC$时才有$BC=DE$，题干无相关条件，该结论不一定成立，故C错误；
选项D：$\because ∠ ACB=∠ DCE$，$\therefore ∠ ACB-∠ DCB=∠ DCE-∠ DCB$，即$∠ ACD=∠ BCE$。
$\because AC=CD$，$\therefore ∠ A=\frac{180°-∠ ACD}{2}$；
$\because BC=CE$，$\therefore ∠ EBC=\frac{180°-∠ BCE}{2}$；
结合$∠ ACD=∠ BCE$，可得$∠ A=∠ EBC$，该结论一定成立，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题重点考察旋转性质的应用，解题时需准确提取旋转前后的等量关系，结合等腰三角形角度计算规律推导角的等量关系，注意题目要求的是"一定正确"的结论，需排除仅在特殊条件下成立的选项。
【难度系数】
0.6
5.如图,在$4×4$的正方形网格中,$△ MNP$绕某点旋转一定的角度得到$△ M_{1}N_{1}P_{1}$,则旋转中心是()
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
答案
B
解析
【分析】
要确定旋转中心，需利用旋转的核心性质：旋转中心到任意一组对应点的距离都相等，即旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点。解题时可以先找到两组对应点，分别作它们连线的垂直平分线，两条线的交点就是旋转中心；也可以逐一验证选项中的点到各对应点的距离是否相等，来判断哪个点是旋转中心。
【解析】
根据旋转的性质可知，旋转中心到每一组对应点的距离相等。
步骤1：确定对应点，△MNP旋转得到△M₁N₁P₁，因此P与P₁、M与M₁、N与N₁为三组对应点。
步骤2：连接PP₁，作PP₁的垂直平分线，可发现该线经过点A、B、D；再连接MM₁，作MM₁的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为点B。
步骤3：验证：连接BN、BN₁，可知BN=BN₁，满足旋转中心到对应点距离相等的性质，因此点B是旋转中心。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查旋转中心的确定方法，解题的关键是掌握旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，既可以通过作垂直平分线找交点求解，也可以通过验证选项的方式快速得到答案，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
要确定旋转中心，需利用旋转的核心性质：旋转中心到任意一组对应点的距离都相等，即旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点。解题时可以先找到两组对应点，分别作它们连线的垂直平分线，两条线的交点就是旋转中心；也可以逐一验证选项中的点到各对应点的距离是否相等，来判断哪个点是旋转中心。
【解析】
根据旋转的性质可知，旋转中心到每一组对应点的距离相等。
步骤1：确定对应点，△MNP旋转得到△M₁N₁P₁，因此P与P₁、M与M₁、N与N₁为三组对应点。
步骤2：连接PP₁，作PP₁的垂直平分线，可发现该线经过点A、B、D；再连接MM₁，作MM₁的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为点B。
步骤3：验证：连接BN、BN₁，可知BN=BN₁，满足旋转中心到对应点距离相等的性质，因此点B是旋转中心。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查旋转中心的确定方法，解题的关键是掌握旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，既可以通过作垂直平分线找交点求解，也可以通过验证选项的方式快速得到答案，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
6.如图，$△ ABC$和$△ ADE$是等腰三角形，$∠ BAC = ∠ DAE = 60°$，$AB = 4$，$AE = 2$，$△ ADE$绕点$A$旋转，连接$CD$，点$F$是$CD$的中点，连接$BF$，则$BF$的最小值为()
A.$2\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}-1$
C.$3\sqrt{3}-2$
D.$3$
A.$2\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}-1$
C.$3\sqrt{3}-2$
D.$3$
答案
B
解析
【分析】
首先根据等腰三角形顶角为60°，判定△ABC和△ADE均为等边三角形，可得AD长度固定为2，旋转过程中点D的轨迹是以A为圆心、2为半径的圆。要求BF的最小值，F是CD中点，可构造中位线转化动点轨迹：取AC中点M，利用中位线性质得MF长度固定为1，可知点F的轨迹是以M为圆心、1为半径的圆，最后利用圆外一点到圆上点的最短距离公式计算BF最小值即可。
【解析】
1. 判定等边三角形：
∵△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=60°，
∴△ABC、△ADE均为等边三角形，
∴AC=AB=4，AD=AE=2。
2. 构造辅助线计算定点距离：
取AC的中点M，连接BM、MF。
∵M是等边△ABC边AC的中点，
∴BM是△ABC的高，AM=MC=2，
由勾股定理得：$BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
3. 推导动点F的轨迹：
∵F是CD中点，M是AC中点，
∴MF是△ACD的中位线，
∴$MF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×2=1$，
即点F的轨迹是以M为圆心、半径r=1的圆。
4. 计算BF最小值：
圆外一点B到圆M上点的最短距离为$BM-r$，
∴$BF_{\mathrm{最小值}}=2\sqrt{3}-1$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质，三角形中位线定理，最短路径问题
【点评】
本题将旋转变换、三角形性质与最短路径问题结合，解题的关键是通过构造中位线确定动点的运动轨迹，将线段最值问题转化为熟悉的圆外点到圆上点的最短距离问题，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先根据等腰三角形顶角为60°，判定△ABC和△ADE均为等边三角形，可得AD长度固定为2，旋转过程中点D的轨迹是以A为圆心、2为半径的圆。要求BF的最小值，F是CD中点，可构造中位线转化动点轨迹：取AC中点M，利用中位线性质得MF长度固定为1，可知点F的轨迹是以M为圆心、1为半径的圆，最后利用圆外一点到圆上点的最短距离公式计算BF最小值即可。
【解析】
1. 判定等边三角形：
∵△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=60°，
∴△ABC、△ADE均为等边三角形，
∴AC=AB=4，AD=AE=2。
2. 构造辅助线计算定点距离：
取AC的中点M，连接BM、MF。
∵M是等边△ABC边AC的中点，
∴BM是△ABC的高，AM=MC=2，
由勾股定理得：$BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
3. 推导动点F的轨迹：
∵F是CD中点，M是AC中点，
∴MF是△ACD的中位线，
∴$MF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×2=1$，
即点F的轨迹是以M为圆心、半径r=1的圆。
4. 计算BF最小值：
圆外一点B到圆M上点的最短距离为$BM-r$，
∴$BF_{\mathrm{最小值}}=2\sqrt{3}-1$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质，三角形中位线定理，最短路径问题
【点评】
本题将旋转变换、三角形性质与最短路径问题结合，解题的关键是通过构造中位线确定动点的运动轨迹，将线段最值问题转化为熟悉的圆外点到圆上点的最短距离问题，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
