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8.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，把半圆沿AC折叠，$\overset{\frown}{AC}$恰好经过点O，则$\overset{\frown}{BC}$与$\overset{\frown}{AC}$的关系是()
A.$\overset{\frown}{BC}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$
B.$\overset{\frown}{BC}=\frac{1}{3}\overset{\frown}{AC}$
C.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$
D.不能确定
A.$\overset{\frown}{BC}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$
B.$\overset{\frown}{BC}=\frac{1}{3}\overset{\frown}{AC}$
C.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$
D.不能确定
答案
A
解析
【分析】
要解决本题，需结合折叠的对称性和圆的基本性质推导：首先利用折叠后弧AC过点O的特点，得到圆心O到弦AC的距离与半径的关系；再结合直角三角形的边角关系求出弧AC、弧BC对应的圆心角；最后根据同圆中弧长与圆心角成正比的规律，判断两段弧的数量关系。
【解析】
连接OC，过点O作OD⊥AC于点D，延长OD交半圆O于点E。
1. 由折叠的性质可知：折叠后点O落在弧AC上，因此O到AC的距离OD等于OE的一半。
设半圆O的半径为r，因为OE是半圆的半径，所以$OD=\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}r$。
2. 在$Rt△ AOD$中，$OA=r$，$OD=\frac{1}{2}r$，因此$∠ OAD=30°$，可得$∠ AOD=60°$。
3. 由垂径定理，OD平分$∠ AOC$，故$∠ AOC=2∠ AOD=120°$。
4. 因为AB是半圆的直径，$∠ AOB=180°$，所以$∠ BOC=180°-∠ AOC=60°$。
5. 同圆中弧长之比等于对应圆心角之比，因此$\frac{\overset{\frown}{BC}}{\overset{\frown}{AC}}=\frac{60°}{120°}=\frac{1}{2}$，即$\overset{\frown}{BC}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；圆心角与弧的关系；垂径定理
【点评】
本题是圆的性质与折叠变换结合的典型题，解题的突破口是根据折叠特点推出圆心到弦AC的距离，进而求出两段弧对应的圆心角，解题过程综合用到了直角三角形、圆的相关基础性质。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合折叠的对称性和圆的基本性质推导：首先利用折叠后弧AC过点O的特点，得到圆心O到弦AC的距离与半径的关系；再结合直角三角形的边角关系求出弧AC、弧BC对应的圆心角；最后根据同圆中弧长与圆心角成正比的规律，判断两段弧的数量关系。
【解析】
连接OC，过点O作OD⊥AC于点D，延长OD交半圆O于点E。
1. 由折叠的性质可知：折叠后点O落在弧AC上，因此O到AC的距离OD等于OE的一半。
设半圆O的半径为r，因为OE是半圆的半径，所以$OD=\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}r$。
2. 在$Rt△ AOD$中，$OA=r$，$OD=\frac{1}{2}r$，因此$∠ OAD=30°$，可得$∠ AOD=60°$。
3. 由垂径定理，OD平分$∠ AOC$，故$∠ AOC=2∠ AOD=120°$。
4. 因为AB是半圆的直径，$∠ AOB=180°$，所以$∠ BOC=180°-∠ AOC=60°$。
5. 同圆中弧长之比等于对应圆心角之比，因此$\frac{\overset{\frown}{BC}}{\overset{\frown}{AC}}=\frac{60°}{120°}=\frac{1}{2}$，即$\overset{\frown}{BC}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；圆心角与弧的关系；垂径定理
【点评】
本题是圆的性质与折叠变换结合的典型题，解题的突破口是根据折叠特点推出圆心到弦AC的距离，进而求出两段弧对应的圆心角，解题过程综合用到了直角三角形、圆的相关基础性质。
【难度系数】
0.6
9.如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$,$AD⊥ OC$,垂足为D.求证:$AB=2AD.$ 
答案
证明：
延长AD交⊙O于点E。
∵ AD⊥OC，OC是⊙O的半径，
∴ 由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$，且$AE=2AD$。
又∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$。
∵ 在同圆中，相等的弧所对的弦相等，
∴ $AB=AE$。
∴ $AB=2AD$。
延长AD交⊙O于点E。
∵ AD⊥OC，OC是⊙O的半径，
∴ 由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$，且$AE=2AD$。
又∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$。
∵ 在同圆中，相等的弧所对的弦相等，
∴ $AB=AE$。
∴ $AB=2AD$。
解析
【分析】
要证明$AB=2AD$，可先将$2AD$转化为一条完整的弦，结合$AD⊥ OC$的条件，考虑使用垂径定理：垂直于弦的半径平分弦，且平分弦所对的弧。因此延长$AD$交$\odot O$于点$E$，即可得到$AE=2AD$且$\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$；再结合已知$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，可推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，根据同圆中相等的弧所对的弦相等，得到$AB=AE$，即可证明结论。
【解析】
延长$AD$交$\odot O$于点$E$。
$\because AD⊥ OC$，$OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$，且$AE=2AD$。
又$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$。
$\because$ 在同圆中，相等的弧所对的弦相等，
$\therefore AB=AE$。
$\therefore AB=2AD$。
【答案】
延长AD交⊙O于点E。
∵ AD⊥OC，OC是⊙O的半径，
∴ 由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$，且$AE=2AD$。
又
∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$。
∵ 在同圆中，相等的弧所对的弦相等，
∴ $AB=AE$。
∴ $AB=2AD$。
【知识点】
垂径定理，同圆中弧与弦的关系
【点评】
本题是圆中线段倍分关系的典型证明题，解题关键是结合垂直于半径的条件，通过作延长线构造垂径定理的应用场景，将分散的条件转化为等弧关系，进而利用弧与弦的对应关系完成证明，解题思路较为常规。
【难度系数】
0.7
要证明$AB=2AD$，可先将$2AD$转化为一条完整的弦，结合$AD⊥ OC$的条件，考虑使用垂径定理：垂直于弦的半径平分弦，且平分弦所对的弧。因此延长$AD$交$\odot O$于点$E$，即可得到$AE=2AD$且$\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$；再结合已知$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，可推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，根据同圆中相等的弧所对的弦相等，得到$AB=AE$，即可证明结论。
【解析】
延长$AD$交$\odot O$于点$E$。
$\because AD⊥ OC$，$OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$，且$AE=2AD$。
又$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$。
$\because$ 在同圆中，相等的弧所对的弦相等，
$\therefore AB=AE$。
$\therefore AB=2AD$。
【答案】
延长AD交⊙O于点E。
∵ AD⊥OC，OC是⊙O的半径，
∴ 由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$，且$AE=2AD$。
又
∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$。
∵ 在同圆中，相等的弧所对的弦相等，
∴ $AB=AE$。
∴ $AB=2AD$。
【知识点】
垂径定理，同圆中弧与弦的关系
【点评】
本题是圆中线段倍分关系的典型证明题，解题关键是结合垂直于半径的条件，通过作延长线构造垂径定理的应用场景，将分散的条件转化为等弧关系，进而利用弧与弦的对应关系完成证明，解题思路较为常规。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，若 $AB = 10\ \mathrm{cm}.$
(1)求 $∠ AOB$ 的度数；
(2)求 $\odot O$ 的半径.
(1)求 $∠ AOB$ 的度数；
(2)求 $\odot O$ 的半径.
答案
解：
(1) ∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=AC，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC，
又∵ ∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，
∴ ∠AOB=120°。
(2) 过点O作OD⊥AB于点D，
∵ OA=OB，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$，
∵ ∠AOB=120°，OA=OB，
∴ $∠ OAB=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
设⊙O的半径为r，则$OD=\frac{1}{2}OA=\frac{r}{2}$，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
$AD^2+OD^2=OA^2$
即 $5^2+(\frac{r}{2})^2=r^2$，
解得 $r=\frac{10\sqrt{3}}{3}$（负根舍去）。
∴ ⊙O的半径为$\frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
(1) ∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=AC，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC，
又∵ ∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，
∴ ∠AOB=120°。
(2) 过点O作OD⊥AB于点D，
∵ OA=OB，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$，
∵ ∠AOB=120°，OA=OB，
∴ $∠ OAB=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
设⊙O的半径为r，则$OD=\frac{1}{2}OA=\frac{r}{2}$，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
$AD^2+OD^2=OA^2$
即 $5^2+(\frac{r}{2})^2=r^2$，
解得 $r=\frac{10\sqrt{3}}{3}$（负根舍去）。
∴ ⊙O的半径为$\frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
（1）求∠AOB的度数：首先结合已知△ABC是等边三角形，可得三边相等，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，相等的弧对应的圆心角相等，可知∠AOB、∠BOC、∠AOC三个圆心角相等，再结合三个圆心角和为360°，即可求出∠AOB的度数。
（2）求⊙O的半径：△AOB是等腰三角形（OA、OB都是半径），过O作AB的垂线，可利用垂径定理得到AB一半的长度，再结合第一问求出的∠AOB=120°，可得△AOB的底角为30°，在构造出的直角三角形中，利用30°角的性质和勾股定理列方程，即可求出半径长度。
【解析】
(1)
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=AC，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC，
又
∵ ∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，
∴ ∠AOB=360°÷3=120°。
(2) 过点O作OD⊥AB于点D，
∵ OA=OB，
∴ 由垂径定理得$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$，
∵ ∠AOB=120°，OA=OB，
∴ $∠ OAB=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
设⊙O的半径为r，则$OD=\frac{1}{2}OA=\frac{r}{2}$，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
$AD^2+OD^2=OA^2$
即 $5^2+(\frac{r}{2})^2=r^2$，
解得 $r=\frac{10\sqrt{3}}{3}$（负根舍去）。
∴ ⊙O的半径为$\frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $∠ AOB=120°$；
(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{\frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
圆心角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题的核心是熟练运用圆的基本性质和特殊三角形的性质，通过构造直角三角形将弦长与半径建立联系，是巩固圆相关基础知识点的典型习题。
【难度系数】
0.7
（1）求∠AOB的度数：首先结合已知△ABC是等边三角形，可得三边相等，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，相等的弧对应的圆心角相等，可知∠AOB、∠BOC、∠AOC三个圆心角相等，再结合三个圆心角和为360°，即可求出∠AOB的度数。
（2）求⊙O的半径：△AOB是等腰三角形（OA、OB都是半径），过O作AB的垂线，可利用垂径定理得到AB一半的长度，再结合第一问求出的∠AOB=120°，可得△AOB的底角为30°，在构造出的直角三角形中，利用30°角的性质和勾股定理列方程，即可求出半径长度。
【解析】
(1)
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=AC，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC，
又
∵ ∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，
∴ ∠AOB=360°÷3=120°。
(2) 过点O作OD⊥AB于点D，
∵ OA=OB，
∴ 由垂径定理得$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$，
∵ ∠AOB=120°，OA=OB，
∴ $∠ OAB=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
设⊙O的半径为r，则$OD=\frac{1}{2}OA=\frac{r}{2}$，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
$AD^2+OD^2=OA^2$
即 $5^2+(\frac{r}{2})^2=r^2$，
解得 $r=\frac{10\sqrt{3}}{3}$（负根舍去）。
∴ ⊙O的半径为$\frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $∠ AOB=120°$；
(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{\frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
圆心角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题的核心是熟练运用圆的基本性质和特殊三角形的性质，通过构造直角三角形将弦长与半径建立联系，是巩固圆相关基础知识点的典型习题。
【难度系数】
0.7
11.如图，MN是$\odot O$的直径，A是半圆上的一个三等分点，B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，$B'$是点B关于MN的对称点，$\odot O$的半径为1，求$AB'$的长。
答案
解：连接OA、OB'。
∵ A是半圆上的三等分点，MN是⊙O的直径，
∴ $∠ AON = \frac{1}{3} × 180° = 60°$。
∵ B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BN}$，
∴ $∠ BON = \frac{1}{2}∠ AON = 30°$。
∵ $B'$是点B关于MN的对称点，
∴ $\overset{\frown}{B'N}=\overset{\frown}{BN}$，
∴ $∠ B'ON = ∠ BON = 30°$，
∴ $∠ AOB' = ∠ AON + ∠ B'ON = 60° + 30° = 90°$。
∵ ⊙O的半径为1，
∴ $OA = OB' = 1$，
在$Rt△ AOB'$中，由勾股定理得：
$AB' = \sqrt{OA^2 + OB'^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
∵ A是半圆上的三等分点，MN是⊙O的直径，
∴ $∠ AON = \frac{1}{3} × 180° = 60°$。
∵ B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BN}$，
∴ $∠ BON = \frac{1}{2}∠ AON = 30°$。
∵ $B'$是点B关于MN的对称点，
∴ $\overset{\frown}{B'N}=\overset{\frown}{BN}$，
∴ $∠ B'ON = ∠ BON = 30°$，
∴ $∠ AOB' = ∠ AON + ∠ B'ON = 60° + 30° = 90°$。
∵ ⊙O的半径为1，
∴ $OA = OB' = 1$，
在$Rt△ AOB'$中，由勾股定理得：
$AB' = \sqrt{OA^2 + OB'^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
解析
【分析】
要求圆上两点A、B'的连线长，我们可以通过连接OA、OB'，将问题转化为求△AOB'中AB'的边长。首先根据A是半圆的三等分点可求出∠AON的度数，再结合B是$\overset{\frown}{AN}$的中点得到∠BON的度数，利用轴对称的性质推出∠B'ON与∠BON相等，进而得到∠AOB'的度数，最后结合半径长度，在直角三角形中用勾股定理计算AB'即可。
【解析】
连接OA、OB'。
∵ A是半圆上的三等分点，MN是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AON = \frac{1}{3} × 180° = 60°$。
∵ B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BN}$，
∴ $∠ BON = \frac{1}{2}∠ AON = 30°$。
∵ $B'$是点B关于MN的对称点，
∴ $\overset{\frown}{B'N}=\overset{\frown}{BN}$，
∴ $∠ B'ON = ∠ BON = 30°$，
∴ $∠ AOB' = ∠ AON + ∠ B'ON = 60° + 30° = 90°$。
∵ $\odot O$的半径为1，
∴ $OA = OB' = 1$，
在$Rt△ AOB'$中，由勾股定理得：
$AB' = \sqrt{OA^2 + OB'^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆心角与弧的关系，轴对称的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆性质应用的基础常考题，解题关键是正确添加辅助线构造三角形，结合圆心角和弧的对应关系、轴对称性质推出直角三角形，再利用勾股定理求解，推导角度时要理清各弧之间的关系，避免角度计算错误。
【难度系数】
0.7
要求圆上两点A、B'的连线长，我们可以通过连接OA、OB'，将问题转化为求△AOB'中AB'的边长。首先根据A是半圆的三等分点可求出∠AON的度数，再结合B是$\overset{\frown}{AN}$的中点得到∠BON的度数，利用轴对称的性质推出∠B'ON与∠BON相等，进而得到∠AOB'的度数，最后结合半径长度，在直角三角形中用勾股定理计算AB'即可。
【解析】
连接OA、OB'。
∵ A是半圆上的三等分点，MN是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AON = \frac{1}{3} × 180° = 60°$。
∵ B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BN}$，
∴ $∠ BON = \frac{1}{2}∠ AON = 30°$。
∵ $B'$是点B关于MN的对称点，
∴ $\overset{\frown}{B'N}=\overset{\frown}{BN}$，
∴ $∠ B'ON = ∠ BON = 30°$，
∴ $∠ AOB' = ∠ AON + ∠ B'ON = 60° + 30° = 90°$。
∵ $\odot O$的半径为1，
∴ $OA = OB' = 1$，
在$Rt△ AOB'$中，由勾股定理得：
$AB' = \sqrt{OA^2 + OB'^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆心角与弧的关系，轴对称的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆性质应用的基础常考题，解题关键是正确添加辅助线构造三角形，结合圆心角和弧的对应关系、轴对称性质推出直角三角形，再利用勾股定理求解，推导角度时要理清各弧之间的关系，避免角度计算错误。
【难度系数】
0.7
12. 如图，A，B是$\odot O$上的两点，$∠ AOB = 120°$，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点.
(1)求证：四边形OACB为菱形；
(2)延长OA至点P使得$OA = AP$，连接PC，若$\odot O$的半径为1，求PC的长.
(1)求证：四边形OACB为菱形；
(2)延长OA至点P使得$OA = AP$，连接PC，若$\odot O$的半径为1，求PC的长.
答案
(1) 证明：
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC$。
∵ $∠ AOB = 120°$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC = 60°$。
又∵ $OA = OC = OB$，
∴ $△ OAC$ 和 $△ OBC$ 都是等边三角形，
∴ $AC = OA = OB = BC$，
∴ 四边形OACB四条边相等，
∴ 四边形OACB为菱形。
---
(2) 解：
∵ $\odot O$的半径为1，
∴ $OA = OC = 1$。
∵ $OA = AP$，
∴ $AP = 1$，$OP = OA + AP = 2$。
由(1)知$△ OAC$是等边三角形，
∴ $AC = OA = 1$，$∠ OAC = 60°$，
∴ $AP = AC$，
∴ $∠ APC = ∠ ACP$。
∵ $∠ OAC$是$△ APC$的外角，
∴ $∠ OAC = ∠ APC + ∠ ACP = 2∠ APC = 60°$，
∴ $∠ APC = 30°$。
在$△ OPC$中，$∠ COP = 60°$，$∠ OPC = 30°$，
∴ $∠ OCP = 180° - 60° - 30° = 90°$，即$△ OPC$为直角三角形。
由勾股定理得：
$PC = \sqrt{OP^2 - OC^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$
最终结论：$PC$的长为$\sqrt{3}$。
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC$。
∵ $∠ AOB = 120°$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC = 60°$。
又∵ $OA = OC = OB$，
∴ $△ OAC$ 和 $△ OBC$ 都是等边三角形，
∴ $AC = OA = OB = BC$，
∴ 四边形OACB四条边相等，
∴ 四边形OACB为菱形。
---
(2) 解：
∵ $\odot O$的半径为1，
∴ $OA = OC = 1$。
∵ $OA = AP$，
∴ $AP = 1$，$OP = OA + AP = 2$。
由(1)知$△ OAC$是等边三角形，
∴ $AC = OA = 1$，$∠ OAC = 60°$，
∴ $AP = AC$，
∴ $∠ APC = ∠ ACP$。
∵ $∠ OAC$是$△ APC$的外角，
∴ $∠ OAC = ∠ APC + ∠ ACP = 2∠ APC = 60°$，
∴ $∠ APC = 30°$。
在$△ OPC$中，$∠ COP = 60°$，$∠ OPC = 30°$，
∴ $∠ OCP = 180° - 60° - 30° = 90°$，即$△ OPC$为直角三角形。
由勾股定理得：
$PC = \sqrt{OP^2 - OC^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$
最终结论：$PC$的长为$\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 要证明四边形OACB是菱形，可通过证明四条边相等推导：首先根据弧中点的性质，弧AC与弧BC相等，对应的圆心角∠AOC=∠BOC；结合已知∠AOB=120°，可得两个小圆心角均为60°，再结合圆的半径相等，可证△OAC和△OBC都是等边三角形，得到四条边相等即可判定菱形。
(2) 求PC的长时，先根据半径长度和OA=AP得出OP的长度，再结合(1)中等边△OAC的性质，推导△OPC的角度关系，证明△OPC是直角三角形，最后用勾股定理计算PC长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC$。
∵ $∠ AOB = 120°$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC = 60°$。
又
∵ $OA = OC = OB$（都是$\odot O$的半径），
∴ $△ OAC$ 和 $△ OBC$ 都是等边三角形，
∴ $AC = OA = OB = BC$，
∴ 四边形OACB四条边相等，
∴ 四边形OACB为菱形。
(2) 解：
∵ $\odot O$的半径为1，
∴ $OA = OC = 1$。
∵ $OA = AP$，
∴ $AP = 1$，$OP = OA + AP = 2$。
由(1)知$△ OAC$是等边三角形，
∴ $AC = OA = 1$，$∠ OAC = 60°$，
∴ $AP = AC$，
∴ $∠ APC = ∠ ACP$。
∵ $∠ OAC$是$△ APC$的外角，
∴ $∠ OAC = ∠ APC + ∠ ACP = 2∠ APC = 60°$，
∴ $∠ APC = 30°$。
在$△ OPC$中，$∠ COP = 60°$，$∠ OPC = 30°$，
∴ $∠ OCP = 180° - 60° - 30° = 90°$，即$△ OPC$为直角三角形。
由勾股定理得：
$PC = \sqrt{OP^2 - OC^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$
【答案】
(1) 四边形OACB为菱形，证明成立；
(2) PC的长为$\sqrt{3}$。
【知识点】
圆心角与弧的关系、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、特殊三角形的判定与性质以及菱形的判定，解题时可直接利用第一问的结论辅助第二问求解，需要熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理的应用，属于圆章节的基础综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形OACB是菱形，可通过证明四条边相等推导：首先根据弧中点的性质，弧AC与弧BC相等，对应的圆心角∠AOC=∠BOC；结合已知∠AOB=120°，可得两个小圆心角均为60°，再结合圆的半径相等，可证△OAC和△OBC都是等边三角形，得到四条边相等即可判定菱形。
(2) 求PC的长时，先根据半径长度和OA=AP得出OP的长度，再结合(1)中等边△OAC的性质，推导△OPC的角度关系，证明△OPC是直角三角形，最后用勾股定理计算PC长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC$。
∵ $∠ AOB = 120°$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC = 60°$。
又
∵ $OA = OC = OB$（都是$\odot O$的半径），
∴ $△ OAC$ 和 $△ OBC$ 都是等边三角形，
∴ $AC = OA = OB = BC$，
∴ 四边形OACB四条边相等，
∴ 四边形OACB为菱形。
(2) 解：
∵ $\odot O$的半径为1，
∴ $OA = OC = 1$。
∵ $OA = AP$，
∴ $AP = 1$，$OP = OA + AP = 2$。
由(1)知$△ OAC$是等边三角形，
∴ $AC = OA = 1$，$∠ OAC = 60°$，
∴ $AP = AC$，
∴ $∠ APC = ∠ ACP$。
∵ $∠ OAC$是$△ APC$的外角，
∴ $∠ OAC = ∠ APC + ∠ ACP = 2∠ APC = 60°$，
∴ $∠ APC = 30°$。
在$△ OPC$中，$∠ COP = 60°$，$∠ OPC = 30°$，
∴ $∠ OCP = 180° - 60° - 30° = 90°$，即$△ OPC$为直角三角形。
由勾股定理得：
$PC = \sqrt{OP^2 - OC^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$
【答案】
(1) 四边形OACB为菱形，证明成立；
(2) PC的长为$\sqrt{3}$。
【知识点】
圆心角与弧的关系、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、特殊三角形的判定与性质以及菱形的判定，解题时可直接利用第一问的结论辅助第二问求解，需要熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理的应用，属于圆章节的基础综合题。
【难度系数】
0.7
