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1.如图，在半径为1的圆中，弦$AB=\sqrt{2}$，弦AB所对的圆心角为α，则α=。
答案
$\boldsymbol{90°}$
解析
【分析】
要求弦AB所对的圆心角α的度数，首先明确OA、OB都是圆的半径，可得OA=OB=1，此时△OAB的三边长均已知，可通过勾股定理的逆定理判断△OAB的形状，进而得到角α的度数。
【解析】
解：
∵ ⊙O的半径为1，
∴ OA=OB=1，
又
∵ AB=√2，
∴ OA² + OB² = 1² + 1² = 2，AB² = (√2)² = 2，
∴ OA² + OB² = AB²，
根据勾股定理的逆定理可知，△OAB是直角三角形，且直角为∠AOB，
∴ α=∠AOB=90°。
【答案】
90°
【知识点】
圆的半径性质；勾股定理的逆定理；圆心角的定义
【点评】
本题是基础几何题，将圆的基本性质和三角形的判定定理结合考查，解题的突破口是利用圆半径相等得到三角形的两条边长，再结合勾股定理逆定理快速得到角度，整体解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
要求弦AB所对的圆心角α的度数，首先明确OA、OB都是圆的半径，可得OA=OB=1，此时△OAB的三边长均已知，可通过勾股定理的逆定理判断△OAB的形状，进而得到角α的度数。
【解析】
解：
∵ ⊙O的半径为1，
∴ OA=OB=1，
又
∵ AB=√2，
∴ OA² + OB² = 1² + 1² = 2，AB² = (√2)² = 2，
∴ OA² + OB² = AB²，
根据勾股定理的逆定理可知，△OAB是直角三角形，且直角为∠AOB，
∴ α=∠AOB=90°。
【答案】
90°
【知识点】
圆的半径性质；勾股定理的逆定理；圆心角的定义
【点评】
本题是基础几何题，将圆的基本性质和三角形的判定定理结合考查，解题的突破口是利用圆半径相等得到三角形的两条边长，再结合勾股定理逆定理快速得到角度，整体解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
2.如图，C，D是半圆上的三等分点，则∠AOD=。
答案
$\boldsymbol{120°}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确AB是圆的直径，对应的圆心角∠AOB是平角，等于180°；C、D是半圆上的三等分点，说明半圆的弧被平均分成3段相等的弧，根据“同圆中相等的弧对应的圆心角相等”，可先求出每段弧对应的圆心角度数，再计算∠AOD对应的两段弧的圆心角之和即可。
【解析】
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AOB = 180°。
∵ C、D是半圆上的三等分点，
∴ 弧AC = 弧CD = 弧DB，
∴ 每段弧对应的圆心角为：$180°÷3=60°$，即$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=60°$。
∴ $∠ AOD = ∠ AOC + ∠ COD = 60°+60°=120°$。
【答案】
$\boldsymbol{120°}$
【知识点】
弧与圆心角的关系，平角的性质
【点评】
本题属于基础题，解题核心是理解三等分点的含义，掌握同圆中弧的度数和对应圆心角的度数相等的性质，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先明确AB是圆的直径，对应的圆心角∠AOB是平角，等于180°；C、D是半圆上的三等分点，说明半圆的弧被平均分成3段相等的弧，根据“同圆中相等的弧对应的圆心角相等”，可先求出每段弧对应的圆心角度数，再计算∠AOD对应的两段弧的圆心角之和即可。
【解析】
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AOB = 180°。
∵ C、D是半圆上的三等分点，
∴ 弧AC = 弧CD = 弧DB，
∴ 每段弧对应的圆心角为：$180°÷3=60°$，即$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=60°$。
∴ $∠ AOD = ∠ AOC + ∠ COD = 60°+60°=120°$。
【答案】
$\boldsymbol{120°}$
【知识点】
弧与圆心角的关系，平角的性质
【点评】
本题属于基础题，解题核心是理解三等分点的含义，掌握同圆中弧的度数和对应圆心角的度数相等的性质，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
3.下列说法正确的是()
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.在同圆中,等弧所对的圆心角相等
C.相等的弦所对的圆心到弦的距离相等
D.圆心到弦的距离相等,则弦相等
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.在同圆中,等弧所对的圆心角相等
C.相等的弦所对的圆心到弦的距离相等
D.圆心到弦的距离相等,则弦相等
答案
B
解析
【分析】
解决此类问题需明确：圆心角、弧、弦、弦心距之间的等量关系成立的前提是“在同圆或等圆中”，解题时要逐一核对各选项是否满足前提条件，再结合相关性质判断对错。首先回忆相关性质：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等；②等弧是指能够完全重合的弧，仅存在于同圆或等圆中。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 相等的圆心角所对的弧相等：缺少“在同圆或等圆中”的前提，不同半径的圆中，相等的圆心角所对的弧长度不相等，故A错误；
B. 在同圆中，等弧所对的圆心角相等：等弧是能够完全重合的弧，本身就只能出现在同圆或等圆中，同圆中等弧对应的圆心角必然相等，故B正确；
C. 相等的弦所对的圆心到弦的距离相等：缺少“在同圆或等圆中”的前提，半径不同的圆中长度相等的弦，弦心距不相等，故C错误；
D. 圆心到弦的距离相等，则弦相等：缺少“在同圆或等圆中”的前提，半径不同的圆中弦心距相等时，弦的长度不相等，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1.圆心角与弧、弦的关系；2.弦心距的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点为忽略“同圆或等圆”这个关系成立的前提条件，做题时要注意先判断前提是否成立，再推导量的关系。
【难度系数】
0.7
解决此类问题需明确：圆心角、弧、弦、弦心距之间的等量关系成立的前提是“在同圆或等圆中”，解题时要逐一核对各选项是否满足前提条件，再结合相关性质判断对错。首先回忆相关性质：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等；②等弧是指能够完全重合的弧，仅存在于同圆或等圆中。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 相等的圆心角所对的弧相等：缺少“在同圆或等圆中”的前提，不同半径的圆中，相等的圆心角所对的弧长度不相等，故A错误；
B. 在同圆中，等弧所对的圆心角相等：等弧是能够完全重合的弧，本身就只能出现在同圆或等圆中，同圆中等弧对应的圆心角必然相等，故B正确；
C. 相等的弦所对的圆心到弦的距离相等：缺少“在同圆或等圆中”的前提，半径不同的圆中长度相等的弦，弦心距不相等，故C错误；
D. 圆心到弦的距离相等，则弦相等：缺少“在同圆或等圆中”的前提，半径不同的圆中弦心距相等时，弦的长度不相等，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1.圆心角与弧、弦的关系；2.弦心距的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点为忽略“同圆或等圆”这个关系成立的前提条件，做题时要注意先判断前提是否成立，再推导量的关系。
【难度系数】
0.7
4.如图，AB，CD是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BD}$。若$∠ AOE=32°$，则$∠ COE$的度数为（）
A.$32°$
B.$48°$
C.$60°$
D.$64°$
A.$32°$
B.$48°$
C.$60°$
D.$64°$
答案
D
解析
【分析】
解题时先利用同圆中等弧对应的圆心角相等的性质，由$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BD}$推出$∠ BOD=∠ AOE$；再结合直径相交形成的对顶角相等，得到$∠ AOC=∠ BOD$；最后将$∠ AOE$与$∠ AOC$相加即可求出$∠ COE$的度数。
【解析】
∵ 在同圆中相等的弧所对的圆心角相等，且$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BD}$，$∠ AOE=32°$
∴ $∠ BOD=∠ AOE=32°$
∵ AB、CD是$\odot O$的直径，$∠ AOC$与$∠ BOD$是对顶角
∴ $∠ AOC=∠ BOD=32°$
∴ $∠ COE=∠ AOE+∠ AOC=32°+32°=64°$
【答案】
D
【知识点】
1. 同圆等弧对等圆心角
2. 对顶角的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握圆心角和弧的对应关系，结合对顶角相等完成角度的转化与计算，是圆的基础性质部分的常规考题。
【难度系数】
0.8
解题时先利用同圆中等弧对应的圆心角相等的性质，由$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BD}$推出$∠ BOD=∠ AOE$；再结合直径相交形成的对顶角相等，得到$∠ AOC=∠ BOD$；最后将$∠ AOE$与$∠ AOC$相加即可求出$∠ COE$的度数。
【解析】
∵ 在同圆中相等的弧所对的圆心角相等，且$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BD}$，$∠ AOE=32°$
∴ $∠ BOD=∠ AOE=32°$
∵ AB、CD是$\odot O$的直径，$∠ AOC$与$∠ BOD$是对顶角
∴ $∠ AOC=∠ BOD=32°$
∴ $∠ COE=∠ AOE+∠ AOC=32°+32°=64°$
【答案】
D
【知识点】
1. 同圆等弧对等圆心角
2. 对顶角的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握圆心角和弧的对应关系，结合对顶角相等完成角度的转化与计算，是圆的基础性质部分的常规考题。
【难度系数】
0.8
5.如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$AC=AD$，$∠ AOD=70°$，则$∠ BCO$的度数是（）
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$55°$
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$55°$
答案
B
解析
【分析】
解题时可按照以下思路推导：①首先根据“在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等”，结合已知AC=AD和∠AOD=70°，求出∠AOC的度数；②再利用AB是直径，得到∠AOB为平角180°，计算出∠BOC的度数；③最后根据同圆半径相等，得出△BOC为等腰三角形，利用等腰三角形内角和性质即可求出∠BCO的度数。
【解析】
∵ 在$\odot O$中，$AC=AD$
∴ 弦AC、AD所对的圆心角相等，即$∠ AOC=∠ AOD=70°$
∵ AB是$\odot O$的直径，$∠ AOB=180°$
∴ $∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=180°-70°=110°$
又
∵ OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴ $OB=OC$
∴ $△ BOC$是等腰三角形，$∠ BCO=∠ CBO$
根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BCO=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-110°}{2}=35°$
【答案】
B
【知识点】
1.圆心角、弧、弦的关系
2.等腰三角形的性质
3.圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的基础常考题，难度不高，解题的关键是利用弦相等的条件推出对应圆心角相等，再结合等腰三角形性质求解，能很好地考察学生对圆基础性质和等腰三角形知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可按照以下思路推导：①首先根据“在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等”，结合已知AC=AD和∠AOD=70°，求出∠AOC的度数；②再利用AB是直径，得到∠AOB为平角180°，计算出∠BOC的度数；③最后根据同圆半径相等，得出△BOC为等腰三角形，利用等腰三角形内角和性质即可求出∠BCO的度数。
【解析】
∵ 在$\odot O$中，$AC=AD$
∴ 弦AC、AD所对的圆心角相等，即$∠ AOC=∠ AOD=70°$
∵ AB是$\odot O$的直径，$∠ AOB=180°$
∴ $∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=180°-70°=110°$
又
∵ OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴ $OB=OC$
∴ $△ BOC$是等腰三角形，$∠ BCO=∠ CBO$
根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BCO=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-110°}{2}=35°$
【答案】
B
【知识点】
1.圆心角、弧、弦的关系
2.等腰三角形的性质
3.圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的基础常考题，难度不高，解题的关键是利用弦相等的条件推出对应圆心角相等，再结合等腰三角形性质求解，能很好地考察学生对圆基础性质和等腰三角形知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图，AB是$\odot O$的直径，点D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，过点D作$DF⊥ AB$，垂足为E，交$\odot O$于另一点F。若$AC=12$，$AE=3$，则$\odot O$的半径是（）
A.$\frac{15}{2}$
B.$\frac{13}{2}$
C.6
D.10
A.$\frac{15}{2}$
B.$\frac{13}{2}$
C.6
D.10
答案
A
解析
【分析】
解题思路如下：①首先利用垂径定理：AB是直径且DF⊥AB，可得弧AD=弧AF，且E是DF中点，即$DE=\frac{1}{2}DF$；②结合D是弧AC中点，可得弧AD=弧DC，进而推出弧AC=弧DF，根据等弧对等弦得DF=AC=12，因此$DE=6$；③设⊙O半径为r，分别表示出$OD=r$，$OE=r-AE=r-3$，在Rt△ODE中利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
设⊙O的半径为r，则$OA=OD=r$。
1. 由垂径定理：AB是⊙O的直径，$DF⊥AB$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AF}$，且$DE=EF=\frac{1}{2}DF$。
2.
∵ D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DC}=2\overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{DF}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AF}=2\overset{\frown}{AD}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DF}$，
根据等弧对等弦，得$DF=AC=12$，
∴ $DE=\frac{1}{2}DF=6$。
3. 在Rt△ODE中，$OD=r$，$OE=OA-AE=r-3$，$DE=6$，由勾股定理得：
$OD^2=OE^2+DE^2$，
即 $r^2=(r-3)^2+6^2$，
展开得：$r^2=r^2-6r+9+36$，
化简得：$6r=45$，
解得：$r=\frac{15}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，等弧对等弦，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与勾股定理的应用，解题关键是通过弧的等量关系得到弦DF的长度，再利用勾股定理列方程求解，是圆中求半径的典型题型。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：①首先利用垂径定理：AB是直径且DF⊥AB，可得弧AD=弧AF，且E是DF中点，即$DE=\frac{1}{2}DF$；②结合D是弧AC中点，可得弧AD=弧DC，进而推出弧AC=弧DF，根据等弧对等弦得DF=AC=12，因此$DE=6$；③设⊙O半径为r，分别表示出$OD=r$，$OE=r-AE=r-3$，在Rt△ODE中利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
设⊙O的半径为r，则$OA=OD=r$。
1. 由垂径定理：AB是⊙O的直径，$DF⊥AB$，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AF}$，且$DE=EF=\frac{1}{2}DF$。
2.
∵ D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DC}=2\overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{DF}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AF}=2\overset{\frown}{AD}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DF}$，
根据等弧对等弦，得$DF=AC=12$，
∴ $DE=\frac{1}{2}DF=6$。
3. 在Rt△ODE中，$OD=r$，$OE=OA-AE=r-3$，$DE=6$，由勾股定理得：
$OD^2=OE^2+DE^2$，
即 $r^2=(r-3)^2+6^2$，
展开得：$r^2=r^2-6r+9+36$，
化简得：$6r=45$，
解得：$r=\frac{15}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，等弧对等弦，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与勾股定理的应用，解题关键是通过弧的等量关系得到弦DF的长度，再利用勾股定理列方程求解，是圆中求半径的典型题型。
【难度系数】
0.65
7.如图，已知AB，CD是$\odot O$的弦，且$AB=CD$，如果$∠ BOD=84°$，则$∠ ACO$的度数是（）
A.$48°$
B.$42°$
C.$44°$
D.$46°$
A.$48°$
B.$42°$
C.$44°$
D.$46°$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先利用同圆中相等的弦对应的圆心角相等的性质，由AB=CD推出∠AOB=∠COD，再通过角的和差关系得到∠AOC的度数；接着结合同圆半径相等，可知△AOC是等腰三角形，最后利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求出∠ACO的度数。
【解析】
∵ 在⊙O中，弦AB=CD，
∴ 相等的弦所对的圆心角相等，即$∠ AOB=∠ COD$，
∴ $∠ AOB - ∠ COB = ∠ COD - ∠ COB$，即$∠ AOC=∠ BOD=84°$，
又
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ $OA=OC$，△AOC为等腰三角形，$∠ ACO=∠ CAO$，
在△AOC中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ACO=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-84°}{2}=48°$。
【答案】
A
【知识点】
圆心角与弦的关系；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质与等腰三角形的综合基础题，解题的关键是通过等弦推导得到等圆心角，进而得到所求角所在等腰三角形的顶角，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用同圆中相等的弦对应的圆心角相等的性质，由AB=CD推出∠AOB=∠COD，再通过角的和差关系得到∠AOC的度数；接着结合同圆半径相等，可知△AOC是等腰三角形，最后利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求出∠ACO的度数。
【解析】
∵ 在⊙O中，弦AB=CD，
∴ 相等的弦所对的圆心角相等，即$∠ AOB=∠ COD$，
∴ $∠ AOB - ∠ COB = ∠ COD - ∠ COB$，即$∠ AOC=∠ BOD=84°$，
又
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ $OA=OC$，△AOC为等腰三角形，$∠ ACO=∠ CAO$，
在△AOC中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ACO=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-84°}{2}=48°$。
【答案】
A
【知识点】
圆心角与弦的关系；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质与等腰三角形的综合基础题，解题的关键是通过等弦推导得到等圆心角，进而得到所求角所在等腰三角形的顶角，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
