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例1 如图所示，下列各图中的角是圆周角的是()
【思路导析】顶点在圆上，两边都与圆相交的角是圆周角.
【请你解答】.
【思路导析】顶点在圆上，两边都与圆相交的角是圆周角.
【请你解答】.
答案
B
解析
【分析】
解这道题的核心是紧扣圆周角的定义，明确圆周角需要同时满足两个条件：①角的顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交（即两边除顶点外都和圆有另一个公共点）。解题时将每个选项依次对照这两个条件判断，同时满足两个条件的即为正确答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，逐一判断选项：
选项A：角的顶点在圆心，不满足“顶点在圆上”的条件，不是圆周角；
选项B：角的顶点在圆上，且两条边均与圆相交，两个条件都满足，是圆周角；
选项C：角的顶点在圆上，但两条边与圆都只有顶点这一个公共点，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角；
选项D：角的顶点在圆上，但其中一条边与圆只有顶点这一个公共点，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角。
综上，符合要求的是B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握圆周角的两个判定要素，逐一排查选项即可得到正确答案，只要牢记相关定义就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是紧扣圆周角的定义，明确圆周角需要同时满足两个条件：①角的顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交（即两边除顶点外都和圆有另一个公共点）。解题时将每个选项依次对照这两个条件判断，同时满足两个条件的即为正确答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，逐一判断选项：
选项A：角的顶点在圆心，不满足“顶点在圆上”的条件，不是圆周角；
选项B：角的顶点在圆上，且两条边均与圆相交，两个条件都满足，是圆周角；
选项C：角的顶点在圆上，但两条边与圆都只有顶点这一个公共点，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角；
选项D：角的顶点在圆上，但其中一条边与圆只有顶点这一个公共点，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角。
综上，符合要求的是B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握圆周角的两个判定要素，逐一排查选项即可得到正确答案，只要牢记相关定义就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
例2 如图，点A，B，C在⊙O上，且∠AOB＝100°，那么∠ACB的度数为（）
A. 200° B. 100°
C. 60° D. 50°
【思路导析】因为∠ACB和∠AOB所对的弧是同弧，所以∠ACB＝$\frac{1}{2}$∠AOB.
【请你解答】.
A. 200° B. 100°
C. 60° D. 50°
【思路导析】因为∠ACB和∠AOB所对的弧是同弧，所以∠ACB＝$\frac{1}{2}$∠AOB.
【请你解答】.
答案
解：由圆周角定理可知，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
∵ ∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠AOB=100°，
∴ ∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2} × 100° = 50°$。
答案选D。
∵ ∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠AOB=100°，
∴ ∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2} × 100° = 50°$。
答案选D。
解析
【分析】
解题时首先观察两个角的位置关系，判断∠ACB和∠AOB所对应的弧是否相同：发现二者都对应弧AB，其中∠AOB是圆心角，∠ACB是圆周角，联想到圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此只需将已知的圆心角度数代入计算即可得到圆周角的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
∵ ∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，且∠AOB=100°，
∴ ∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2} × 100° = 50°$。
故本题选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题为基础题型，重点考查圆周角定理的直接应用，解题的关键是准确识别同弧所对的圆周角和圆心角，熟练掌握定理内容即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察两个角的位置关系，判断∠ACB和∠AOB所对应的弧是否相同：发现二者都对应弧AB，其中∠AOB是圆心角，∠ACB是圆周角，联想到圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此只需将已知的圆心角度数代入计算即可得到圆周角的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
∵ ∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，且∠AOB=100°，
∴ ∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2} × 100° = 50°$。
故本题选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题为基础题型，重点考查圆周角定理的直接应用，解题的关键是准确识别同弧所对的圆周角和圆心角，熟练掌握定理内容即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例3 如图，正三角形ABC内接于$\odot O$，动点P在劣弧$\overset{\frown}{AB}$上，且点P不与点A，B重合，那么$∠ BPC$的度数为()
A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$45°$
【请你解答】.
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$45°$
【请你解答】.
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
B
解析
【分析】
首先回忆等边三角形的性质，等边三角形每个内角均为60°，可先得到∠BAC的度数；再结合圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，观察可知∠BPC与∠BAC都对应$\overset{\frown}{BC}$，因此两个角度数相等，即可求出∠BPC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是正三角形，
∴∠BAC=60°，
∵∠BPC和∠BAC都是$\odot O$中$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
根据同弧所对的圆周角相等的性质，可得：
∠BPC=∠BAC=60°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握等边三角形的内角特点和同弧所对圆周角相等的性质，找到两个角共同对应的弧是解题的突破口。
【难度系数】
0.8
首先回忆等边三角形的性质，等边三角形每个内角均为60°，可先得到∠BAC的度数；再结合圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，观察可知∠BPC与∠BAC都对应$\overset{\frown}{BC}$，因此两个角度数相等，即可求出∠BPC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是正三角形，
∴∠BAC=60°，
∵∠BPC和∠BAC都是$\odot O$中$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
根据同弧所对的圆周角相等的性质，可得：
∠BPC=∠BAC=60°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握等边三角形的内角特点和同弧所对圆周角相等的性质，找到两个角共同对应的弧是解题的突破口。
【难度系数】
0.8
例4 如图，MN是$\odot O$的直径，MN＝2，点A在$\odot O$上，$∠ AMN=30°$，B为$\overset{\frown}{AN}$的中点，P是直径MN上一动点，求$PA+PB$的最小值.
【探究点拨】作点A关于MN的对称点$A'$，连接$A'B$交MN于点P，点P为所求的点.
【规范解答】作点A关于MN的对称点$A'$，连接$A'B$交MN于点P.
因为$∠ AMN=30°$，$∠ AON=60°$，所以$∠ NOA'=60°$，而$∠ BON=30°$，
即$∠ BOA'=60°+30°=90°$.
又因为$MN=2$，所以$ON=OB=OA'=1$，
所以$PA+PB=PA'+PB=BA'=\sqrt{OB^2+A'O^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
即$PA+PB$的最小值为$\sqrt{2}$.
【探究点拨】作点A关于MN的对称点$A'$，连接$A'B$交MN于点P，点P为所求的点.
【规范解答】作点A关于MN的对称点$A'$，连接$A'B$交MN于点P.
因为$∠ AMN=30°$，$∠ AON=60°$，所以$∠ NOA'=60°$，而$∠ BON=30°$，
即$∠ BOA'=60°+30°=90°$.
又因为$MN=2$，所以$ON=OB=OA'=1$，
所以$PA+PB=PA'+PB=BA'=\sqrt{OB^2+A'O^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
即$PA+PB$的最小值为$\sqrt{2}$.
答案
解：
作点A关于MN的对称点$A'$，由圆的对称性可知$A'$在$\odot O$上，连接$A'B$交MN于点P，此时$PA+PB$的值最小。
连接$OA$、$OA'$、$OB$。
$\because ∠ AMN=30°$，由圆周角定理得，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ AON=2∠ AMN=60°$。
$\because$ 点A与$A'$关于MN对称，
$\therefore ∠ NOA'=∠ AON=60°$。
$\because B$为$\overset{\frown}{AN}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BN}$，
$\therefore ∠ BON=\frac{1}{2}∠ AON=30°$，
$\therefore ∠ BOA'=∠ BON+∠ NOA'=30°+60°=90°$。
$\because MN=2$，
$\therefore \odot O$的半径为1，即$OB=OA'=1$。
在$\mathrm{Rt}△ BOA'$中，由勾股定理得：
$BA'=\sqrt{OB^2+OA'^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
由对称性可知$PA=PA'$，
$\therefore PA+PB=PA'+PB=BA'=\sqrt{2}$。
即$PA+PB$的最小值为$\sqrt{2}$。
作点A关于MN的对称点$A'$，由圆的对称性可知$A'$在$\odot O$上，连接$A'B$交MN于点P，此时$PA+PB$的值最小。
连接$OA$、$OA'$、$OB$。
$\because ∠ AMN=30°$，由圆周角定理得，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ AON=2∠ AMN=60°$。
$\because$ 点A与$A'$关于MN对称，
$\therefore ∠ NOA'=∠ AON=60°$。
$\because B$为$\overset{\frown}{AN}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BN}$，
$\therefore ∠ BON=\frac{1}{2}∠ AON=30°$，
$\therefore ∠ BOA'=∠ BON+∠ NOA'=30°+60°=90°$。
$\because MN=2$，
$\therefore \odot O$的半径为1，即$OB=OA'=1$。
在$\mathrm{Rt}△ BOA'$中，由勾股定理得：
$BA'=\sqrt{OB^2+OA'^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
由对称性可知$PA=PA'$，
$\therefore PA+PB=PA'+PB=BA'=\sqrt{2}$。
即$PA+PB$的最小值为$\sqrt{2}$。
解析
【分析】
本题是圆背景下的最短路径问题，可结合“将军饮马”模型求解：第一步，利用轴对称性质，作点A关于直径MN的对称点$A'$，由圆的对称性可知$A'$在$\odot O$上，此时$PA=PA'$，可将$PA+PB$转化为$PA'+PB$，根据两点之间线段最短，$PA'+PB$的最小值就是线段$A'B$的长度；第二步，结合圆周角定理、弧中点的性质求出$∠ BOA'$的度数，再用勾股定理计算$A'B$的长度即可得到最终结果。
【解析】
作点A关于MN的对称点$A'$，由圆的对称性可知$A'$在$\odot O$上，连接$A'B$交MN于点P，此时$PA+PB$的值最小。
连接$OA$、$OA'$、$OB$。
$\because ∠ AMN=30°$，由圆周角定理得，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ AON=2∠ AMN=60°$。
$\because$ 点A与$A'$关于MN对称，
$\therefore ∠ NOA'=∠ AON=60°$。
$\because B$为$\overset{\frown}{AN}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BN}$，
$\therefore ∠ BON=\frac{1}{2}∠ AON=30°$，
$\therefore ∠ BOA'=∠ BON+∠ NOA'=30°+60°=90°$。
$\because MN=2$，
$\therefore \odot O$的半径为1，即$OB=OA'=1$。
在$\mathrm{Rt}△ BOA'$中，由勾股定理得：
$BA'=\sqrt{OB^2+OA'^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
由对称性可知$PA=PA'$，
$\therefore PA+PB=PA'+PB=BA'=\sqrt{2}$。
【答案】
$\boxed{\sqrt{2}}$
【知识点】
最短路径问题；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题综合了轴对称性质、圆的相关性质和最短路径的求法，解题核心是利用轴对称将线段和的最小值转化为两点间的线段长度，再结合几何定理计算，是一类比较典型的综合题型。
【难度系数】
0.6
本题是圆背景下的最短路径问题，可结合“将军饮马”模型求解：第一步，利用轴对称性质，作点A关于直径MN的对称点$A'$，由圆的对称性可知$A'$在$\odot O$上，此时$PA=PA'$，可将$PA+PB$转化为$PA'+PB$，根据两点之间线段最短，$PA'+PB$的最小值就是线段$A'B$的长度；第二步，结合圆周角定理、弧中点的性质求出$∠ BOA'$的度数，再用勾股定理计算$A'B$的长度即可得到最终结果。
【解析】
作点A关于MN的对称点$A'$，由圆的对称性可知$A'$在$\odot O$上，连接$A'B$交MN于点P，此时$PA+PB$的值最小。
连接$OA$、$OA'$、$OB$。
$\because ∠ AMN=30°$，由圆周角定理得，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ AON=2∠ AMN=60°$。
$\because$ 点A与$A'$关于MN对称，
$\therefore ∠ NOA'=∠ AON=60°$。
$\because B$为$\overset{\frown}{AN}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BN}$，
$\therefore ∠ BON=\frac{1}{2}∠ AON=30°$，
$\therefore ∠ BOA'=∠ BON+∠ NOA'=30°+60°=90°$。
$\because MN=2$，
$\therefore \odot O$的半径为1，即$OB=OA'=1$。
在$\mathrm{Rt}△ BOA'$中，由勾股定理得：
$BA'=\sqrt{OB^2+OA'^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
由对称性可知$PA=PA'$，
$\therefore PA+PB=PA'+PB=BA'=\sqrt{2}$。
【答案】
$\boxed{\sqrt{2}}$
【知识点】
最短路径问题；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题综合了轴对称性质、圆的相关性质和最短路径的求法，解题核心是利用轴对称将线段和的最小值转化为两点间的线段长度，再结合几何定理计算，是一类比较典型的综合题型。
【难度系数】
0.6
1.如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,点D在$\odot O$上,$∠ CDB=25°$,则$∠ AOB$的度数为()
A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$
A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$
答案
B
解析
【分析】
解题思路：首先观察已知条件，∠CDB是对应$\overset{\frown}{BC}$的圆周角，我们可以先利用圆周角定理求出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角∠COB的度数；再结合题目给出的$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，根据同圆中等弧所对的圆心角相等，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵∠CDB是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠COB是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴$∠ COB=2∠ CDB=2×25°=50°$。
又
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，同圆中相等的弧所对的圆心角相等，
∴$∠ AOB=∠ COB=50°$。
【答案】
B
【知识点】
1.圆周角定理
2.等弧对等圆心角
【点评】
本题属于基础考察题，核心考查同圆中弧、圆周角、圆心角三者的对应关系，只要熟练掌握相关性质，就能快速推导得出结果，是圆相关性质的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察已知条件，∠CDB是对应$\overset{\frown}{BC}$的圆周角，我们可以先利用圆周角定理求出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角∠COB的度数；再结合题目给出的$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，根据同圆中等弧所对的圆心角相等，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵∠CDB是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠COB是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴$∠ COB=2∠ CDB=2×25°=50°$。
又
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，同圆中相等的弧所对的圆心角相等，
∴$∠ AOB=∠ COB=50°$。
【答案】
B
【知识点】
1.圆周角定理
2.等弧对等圆心角
【点评】
本题属于基础考察题，核心考查同圆中弧、圆周角、圆心角三者的对应关系，只要熟练掌握相关性质，就能快速推导得出结果，是圆相关性质的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
