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2. 如图，A是$\odot O$上一点，BC是直径，点D在$\odot O$上且平分$\overset{\frown}{BC}$。
(1)连接AD，求$∠ BAD$的度数；
(2)若$CD=5\sqrt{2}$，$AB=8$，求AC的长。
(1)连接AD，求$∠ BAD$的度数；
(2)若$CD=5\sqrt{2}$，$AB=8$，求AC的长。
答案
解：
(1) 因为BC是$\odot O$的直径，
所以$\overset{\frown}{BC}$的度数为$180°$。
因为点D平分$\overset{\frown}{BC}$，
所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，$\overset{\frown}{BD}$的度数为$90°$。
根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
$∠ BAD = \frac{1}{2} × 90° = 45°$。
(2) 因为BC是$\odot O$的直径，
所以$∠ BDC = 90°$。
又因为$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，所以$BD=CD$，
$△ BDC$是等腰直角三角形。
已知$CD=5\sqrt{2}$，则$BD=CD=5\sqrt{2}$，
由勾股定理得：
$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{100} = 10$。
因为BC是$\odot O$的直径，
所以$∠ BAC = 90°$。
在$Rt△ ABC$中，$AB=8$，$BC=10$，
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$。
综上，(1) $∠ BAD=45°$；(2) $AC=6$。
(1) 因为BC是$\odot O$的直径，
所以$\overset{\frown}{BC}$的度数为$180°$。
因为点D平分$\overset{\frown}{BC}$，
所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，$\overset{\frown}{BD}$的度数为$90°$。
根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
$∠ BAD = \frac{1}{2} × 90° = 45°$。
(2) 因为BC是$\odot O$的直径，
所以$∠ BDC = 90°$。
又因为$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，所以$BD=CD$，
$△ BDC$是等腰直角三角形。
已知$CD=5\sqrt{2}$，则$BD=CD=5\sqrt{2}$，
由勾股定理得：
$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{100} = 10$。
因为BC是$\odot O$的直径，
所以$∠ BAC = 90°$。
在$Rt△ ABC$中，$AB=8$，$BC=10$，
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$。
综上，(1) $∠ BAD=45°$；(2) $AC=6$。
解析
【分析】
(1) 求∠BAD的度数时，根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，因此只需先求出∠BAD对应的弧的度数即可。已知BC是直径，可得弧BC的度数为180°，结合D平分弧BC的条件，可推出弧BD的度数为90°，代入圆周角定理就能算出∠BAD的度数。
(2) 求AC的长时，首先观察到AC在△ABC中，BC是直径，因此△ABC是直角三角形，已知AB的长，只要先求出直径BC的长度，就可以用勾股定理计算AC。BC同时是Rt△BDC的斜边，D平分弧BC可得BD=CD，已知CD的长度，先用勾股定理求出BC的长，再代入Rt△ABC中计算即可得到AC的长度。
【解析】
(1)
∵BC是$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{BC}$的度数为$180°$。
∵点D平分$\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，$\overset{\frown}{BD}$的度数为$90°$。
根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
∴$∠ BAD = \frac{1}{2} × 90° = 45°$。
(2)
∵BC是$\odot O$的直径，
∴$∠ BDC = 90°$。
又
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$BD=CD$，
$△ BDC$是等腰直角三角形。
已知$CD=5\sqrt{2}$，则$BD=CD=5\sqrt{2}$，
由勾股定理得：
$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{100} = 10$。
∵BC是$\odot O$的直径，
∴$∠ BAC = 90°$。
在$Rt△ ABC$中，$AB=8$，$BC=10$，
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BAD=45°}$；(2) $\boldsymbol{AC=6}$
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆相关的基础综合题，解题核心是熟练掌握直径、弧中点对应的弧、弦、圆周角的性质转化，结合勾股定理计算边长，是圆章节的高频基础题型，掌握条件转化思路即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠BAD的度数时，根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，因此只需先求出∠BAD对应的弧的度数即可。已知BC是直径，可得弧BC的度数为180°，结合D平分弧BC的条件，可推出弧BD的度数为90°，代入圆周角定理就能算出∠BAD的度数。
(2) 求AC的长时，首先观察到AC在△ABC中，BC是直径，因此△ABC是直角三角形，已知AB的长，只要先求出直径BC的长度，就可以用勾股定理计算AC。BC同时是Rt△BDC的斜边，D平分弧BC可得BD=CD，已知CD的长度，先用勾股定理求出BC的长，再代入Rt△ABC中计算即可得到AC的长度。
【解析】
(1)
∵BC是$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{BC}$的度数为$180°$。
∵点D平分$\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，$\overset{\frown}{BD}$的度数为$90°$。
根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
∴$∠ BAD = \frac{1}{2} × 90° = 45°$。
(2)
∵BC是$\odot O$的直径，
∴$∠ BDC = 90°$。
又
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$BD=CD$，
$△ BDC$是等腰直角三角形。
已知$CD=5\sqrt{2}$，则$BD=CD=5\sqrt{2}$，
由勾股定理得：
$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{100} = 10$。
∵BC是$\odot O$的直径，
∴$∠ BAC = 90°$。
在$Rt△ ABC$中，$AB=8$，$BC=10$，
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BAD=45°}$；(2) $\boldsymbol{AC=6}$
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆相关的基础综合题，解题核心是熟练掌握直径、弧中点对应的弧、弦、圆周角的性质转化，结合勾股定理计算边长，是圆章节的高频基础题型，掌握条件转化思路即可快速求解。
【难度系数】
0.7
1.如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=。
答案
$\boldsymbol{90°}$
解析
【分析】
解题时首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。观察图形可知∠1对应弧AE，∠2对应弧BE，我们可以先连接辅助线OE，得到两个对应的圆心角∠AOE和∠BOE，这两个圆心角之和是平角180°，再结合圆周角定理即可求出两个圆周角的和。
【解析】
解：连接OE。
∵∠1是弧AE所对的圆周角，∠AOE是弧AE所对的圆心角，根据圆周角定理可得：$∠ 1=\frac{1}{2}∠ AOE$。
同理，$∠ 2=\frac{1}{2}∠ BOE$。
∵AB是⊙O的直径，
∴$∠ AOE+∠ BOE=180°$，
∴$∠ 1+∠ 2=\frac{1}{2}(∠ AOE+∠ BOE)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
【答案】
$\boldsymbol{90°}$
【知识点】
圆周角定理，平角的定义
【点评】
本题是基础类考题，核心考查圆周角定理的应用，解题关键是将所求圆周角转化为对应的圆心角，借助直径对应的平角即可快速求解，很好地检验了学生对基础定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。观察图形可知∠1对应弧AE，∠2对应弧BE，我们可以先连接辅助线OE，得到两个对应的圆心角∠AOE和∠BOE，这两个圆心角之和是平角180°，再结合圆周角定理即可求出两个圆周角的和。
【解析】
解：连接OE。
∵∠1是弧AE所对的圆周角，∠AOE是弧AE所对的圆心角，根据圆周角定理可得：$∠ 1=\frac{1}{2}∠ AOE$。
同理，$∠ 2=\frac{1}{2}∠ BOE$。
∵AB是⊙O的直径，
∴$∠ AOE+∠ BOE=180°$，
∴$∠ 1+∠ 2=\frac{1}{2}(∠ AOE+∠ BOE)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
【答案】
$\boldsymbol{90°}$
【知识点】
圆周角定理，平角的定义
【点评】
本题是基础类考题，核心考查圆周角定理的应用，解题关键是将所求圆周角转化为对应的圆心角，借助直径对应的平角即可快速求解，很好地检验了学生对基础定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
2.如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，则∠DAC=.
答案
$\boldsymbol{30°}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用“直径所对的圆周角为直角”，得到△ABC是直角三角形，结合已知∠BAC=30°求出∠ABC的度数；再根据圆周角定理，得到∠ABC对应的弧AC的度数；由D是弧AC中点的条件，可推出弧DC的度数；最后再次利用圆周角定理，求出弧DC对应的圆周角∠DAC的度数即可。
【解析】
解：
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴∠ABC=180°-90°-30°=60°，
根据圆周角定理，圆周角的度数是其所对弧度数的一半，
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数=2×∠ABC=120°，
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DC}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}=60°$，
又
∵∠DAC是$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角，
∴$∠ DAC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角性质，弧中点定义
【点评】
本题属于圆周角相关的基础题型，核心考查圆周角定理的应用，解题的关键是梳理清楚圆周角和其所对弧的对应关系，结合直径、弧中点的性质即可快速求解，是圆周角章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用“直径所对的圆周角为直角”，得到△ABC是直角三角形，结合已知∠BAC=30°求出∠ABC的度数；再根据圆周角定理，得到∠ABC对应的弧AC的度数；由D是弧AC中点的条件，可推出弧DC的度数；最后再次利用圆周角定理，求出弧DC对应的圆周角∠DAC的度数即可。
【解析】
解：
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴∠ABC=180°-90°-30°=60°，
根据圆周角定理，圆周角的度数是其所对弧度数的一半，
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数=2×∠ABC=120°，
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DC}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}=60°$，
又
∵∠DAC是$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角，
∴$∠ DAC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角性质，弧中点定义
【点评】
本题属于圆周角相关的基础题型，核心考查圆周角定理的应用，解题的关键是梳理清楚圆周角和其所对弧的对应关系，结合直径、弧中点的性质即可快速求解，是圆周角章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AB为$\odot O$的直径，$∠ C = 25°$，则$∠ BAD =$ °。
答案
$\boldsymbol{65}$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 观察到AB是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角的性质，连接BD即可得到直角三角形ADB；2. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，∠C与∠ABD均为弧AD所对的圆周角，因此∠ABD=∠C；3. 在直角三角形ADB中，利用两锐角互余的性质，用90°减去∠ABD的度数即可得到∠BAD的度数。
【解析】
连接BD，
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°（直径所对的圆周角是直角），
∵ ∠C和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠ABD = ∠C = 25°（同弧所对的圆周角相等），
在Rt△ABD中，∠BAD + ∠ABD = 90°，
∴ ∠BAD = 90° - 25° = 65°。
【答案】
65
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的性质，通过构造直角三角形结合内角关系求解。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：1. 观察到AB是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角的性质，连接BD即可得到直角三角形ADB；2. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，∠C与∠ABD均为弧AD所对的圆周角，因此∠ABD=∠C；3. 在直角三角形ADB中，利用两锐角互余的性质，用90°减去∠ABD的度数即可得到∠BAD的度数。
【解析】
连接BD，
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°（直径所对的圆周角是直角），
∵ ∠C和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠ABD = ∠C = 25°（同弧所对的圆周角相等），
在Rt△ABD中，∠BAD + ∠ABD = 90°，
∴ ∠BAD = 90° - 25° = 65°。
【答案】
65
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的性质，通过构造直角三角形结合内角关系求解。
【难度系数】
0.8
4.如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$70°$
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。观察图形可知，∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，因此可得二者的数量关系。再结合题目给出的∠ABC+∠AOC=90°的条件，将两个关系联立，即可求出∠AOC的度数。
【解析】
根据圆周角定理，同弧AC所对的圆周角∠ABC等于其所对圆心角∠AOC的一半，即：
$∠ ABC = \frac{1}{2}∠ AOC$
已知$∠ ABC + ∠ AOC = 90°$，将$∠ ABC = \frac{1}{2}∠ AOC$代入得：
$\frac{1}{2}∠ AOC + ∠ AOC = 90°$
合并同类项得：$\frac{3}{2}∠ AOC = 90°$
解得：$∠ AOC = 90° × \frac{2}{3} = 60°$
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理、角度计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，准确找到同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系，结合已知条件列算式求解即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。观察图形可知，∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，因此可得二者的数量关系。再结合题目给出的∠ABC+∠AOC=90°的条件，将两个关系联立，即可求出∠AOC的度数。
【解析】
根据圆周角定理，同弧AC所对的圆周角∠ABC等于其所对圆心角∠AOC的一半，即：
$∠ ABC = \frac{1}{2}∠ AOC$
已知$∠ ABC + ∠ AOC = 90°$，将$∠ ABC = \frac{1}{2}∠ AOC$代入得：
$\frac{1}{2}∠ AOC + ∠ AOC = 90°$
合并同类项得：$\frac{3}{2}∠ AOC = 90°$
解得：$∠ AOC = 90° × \frac{2}{3} = 60°$
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理、角度计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，准确找到同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系，结合已知条件列算式求解即可。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ B=30°$,以C为圆心,CA为半径的圆交AB于点D,则下列说法不正确的是()
A.$AC=\frac{1}{2}BC$
B.$AC=\frac{1}{2}AB$
C.$BD=DC$
D.$△ BCD$是等腰三角形
A.$AC=\frac{1}{2}BC$
B.$AC=\frac{1}{2}AB$
C.$BD=DC$
D.$△ BCD$是等腰三角形
答案
A
解析
【分析】
解题时先从直角三角形含30°角的性质出发，先判断B选项的正误；再结合圆的半径相等，得到CD=CA，推导△ACD的形状，进而求出∠BCD的度数，判断∠BCD与∠B的关系，验证C、D选项的正误；最后通过边角关系验证A选项的正误，最终选出不正确的选项。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，因此$∠ A=90°-30°=60°$。根据直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半，可得$AC=\frac{1}{2}AB$，故B选项正确，不符合题意。
2. 由于CD、CA都是$\odot C$的半径，因此$CD=CA$，结合$∠ A=60°$，可知$△ ACD$是等边三角形，即$∠ ACD=60°$。
3. 因此$∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=90°-60°=30°$，即$∠ BCD=∠ B=30°$，可得$BD=DC$，$△ BCD$是等腰三角形，故C、D选项正确，不符合题意。
4. 在$Rt△ ABC$中，设$AC=x$，则$AB=2x$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$，因此$AC=\frac{\sqrt{3}}{3}BC≠\frac{1}{2}BC$，故A选项错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形30°角性质，圆的基本性质，等腰三角形判定
【点评】
本题是基础综合题，将直角三角形、圆、等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是先推出$△ ACD$为等边三角形，再通过角的等量关系逐一验证选项，解题时注意要逐个判断避免遗漏。
【难度系数】
0.7
解题时先从直角三角形含30°角的性质出发，先判断B选项的正误；再结合圆的半径相等，得到CD=CA，推导△ACD的形状，进而求出∠BCD的度数，判断∠BCD与∠B的关系，验证C、D选项的正误；最后通过边角关系验证A选项的正误，最终选出不正确的选项。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，因此$∠ A=90°-30°=60°$。根据直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半，可得$AC=\frac{1}{2}AB$，故B选项正确，不符合题意。
2. 由于CD、CA都是$\odot C$的半径，因此$CD=CA$，结合$∠ A=60°$，可知$△ ACD$是等边三角形，即$∠ ACD=60°$。
3. 因此$∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=90°-60°=30°$，即$∠ BCD=∠ B=30°$，可得$BD=DC$，$△ BCD$是等腰三角形，故C、D选项正确，不符合题意。
4. 在$Rt△ ABC$中，设$AC=x$，则$AB=2x$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$，因此$AC=\frac{\sqrt{3}}{3}BC≠\frac{1}{2}BC$，故A选项错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形30°角性质，圆的基本性质，等腰三角形判定
【点评】
本题是基础综合题，将直角三角形、圆、等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是先推出$△ ACD$为等边三角形，再通过角的等量关系逐一验证选项，解题时注意要逐个判断避免遗漏。
【难度系数】
0.7
6.如图,在半径为3的$\odot O$中,AB是直径,AC是弦,D是$\overset{\frown}{AC}$的中点,AC与BD交于点E.若E是BD的中点,则AC的长是()
A.$\frac{5}{2}\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
A.$\frac{5}{2}\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先利用圆的相关性质构造辅助线：连接OD交AC于F，由D是弧AC中点，根据垂径定理推论可得OD⊥AC且F为AC中点；由AB是直径可得∠ACB=90°，进而推出OD//BC；结合E是BD中点，可证△DEF≌△BEC，得到DF=BC；再利用OF是△ABC的中位线，建立方程求出BC的长度，最后在Rt△ABC中用勾股定理即可求出AC的长。
【解析】
连接OD，交AC于点F。
1. 因为D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，根据垂径定理的推论，得$OD⊥ AC$，且$AF=FC$。
2. 因为AB是$\odot O$的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，所以$∠ ACB=90°$，即$BC⊥ AC$，因此$OD// BC$，可得$∠ EDF=∠ EBC$。
3. 因为E是BD的中点，所以$DE=BE$，又$∠ DEF=∠ BEC$（对顶角相等），所以$△ DEF≌△ BEC$（ASA），因此$DF=BC$。
4. 已知$\odot O$的半径为3，所以$OD=3$，$AB=6$。设$OF=x$，则$DF=OD-OF=3-x$，即$BC=3-x$。
5. 因为O是AB中点，F是AC中点，所以OF是$△ ABC$的中位线，因此$OF=\frac{1}{2}BC$，即$x=\frac{1}{2}(3-x)$，解得$x=1$，所以$BC=3-1=2$。
6. 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的综合常考题，解题核心是通过添加辅助线OD，将圆的性质和三角形全等、中位线性质结合起来，逐步推导求出未知边长，考查了学生对几何综合知识的应用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用圆的相关性质构造辅助线：连接OD交AC于F，由D是弧AC中点，根据垂径定理推论可得OD⊥AC且F为AC中点；由AB是直径可得∠ACB=90°，进而推出OD//BC；结合E是BD中点，可证△DEF≌△BEC，得到DF=BC；再利用OF是△ABC的中位线，建立方程求出BC的长度，最后在Rt△ABC中用勾股定理即可求出AC的长。
【解析】
连接OD，交AC于点F。
1. 因为D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，根据垂径定理的推论，得$OD⊥ AC$，且$AF=FC$。
2. 因为AB是$\odot O$的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，所以$∠ ACB=90°$，即$BC⊥ AC$，因此$OD// BC$，可得$∠ EDF=∠ EBC$。
3. 因为E是BD的中点，所以$DE=BE$，又$∠ DEF=∠ BEC$（对顶角相等），所以$△ DEF≌△ BEC$（ASA），因此$DF=BC$。
4. 已知$\odot O$的半径为3，所以$OD=3$，$AB=6$。设$OF=x$，则$DF=OD-OF=3-x$，即$BC=3-x$。
5. 因为O是AB中点，F是AC中点，所以OF是$△ ABC$的中位线，因此$OF=\frac{1}{2}BC$，即$x=\frac{1}{2}(3-x)$，解得$x=1$，所以$BC=3-1=2$。
6. 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的综合常考题，解题核心是通过添加辅助线OD，将圆的性质和三角形全等、中位线性质结合起来，逐步推导求出未知边长，考查了学生对几何综合知识的应用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
7. 如图所示，BD是$\odot O$的直径，点A，C在$\odot O$上，$AB=AD$，AC与BD交于点G，$∠ BOC=54°$，则$∠ AGB$的度数为（）
A.$108°$
B.$110°$
C.$106°$
D.$117°$
A.$108°$
B.$110°$
C.$106°$
D.$117°$
答案
A
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，先根据BD是直径的性质，结合AB=AD的条件，求出∠ABD的度数；第二步，运用圆周角定理，由已知的圆心角∠BOC求出对应的圆周角∠BAC的度数；第三步，在△ABG中利用三角形内角和定理，即可计算出∠AGB的度数。
【解析】
1.
∵BD是⊙O的直径，
∴直径所对的圆周角∠BAD=90°，又
∵AB=AD，
∴△ABD是等腰直角三角形，可得∠ABD=45°。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠BAC是弧BC对应的圆周角，
∴∠BAC=½∠BOC=½×54°=27°。
3. 在△ABG中，根据三角形内角和为180°，可得∠AGB=180°-∠ABD-∠BAC=180°-45°-27°=108°。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，主要考查圆周角相关性质和三角形内角和的应用，解题核心是找准同弧对应的圆心角和圆周角的关系，整体解题思路清晰，技巧性不强。
【难度系数】
0.7
解题可分三步思考：第一步，先根据BD是直径的性质，结合AB=AD的条件，求出∠ABD的度数；第二步，运用圆周角定理，由已知的圆心角∠BOC求出对应的圆周角∠BAC的度数；第三步，在△ABG中利用三角形内角和定理，即可计算出∠AGB的度数。
【解析】
1.
∵BD是⊙O的直径，
∴直径所对的圆周角∠BAD=90°，又
∵AB=AD，
∴△ABD是等腰直角三角形，可得∠ABD=45°。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠BAC是弧BC对应的圆周角，
∴∠BAC=½∠BOC=½×54°=27°。
3. 在△ABG中，根据三角形内角和为180°，可得∠AGB=180°-∠ABD-∠BAC=180°-45°-27°=108°。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，主要考查圆周角相关性质和三角形内角和的应用，解题核心是找准同弧对应的圆心角和圆周角的关系，整体解题思路清晰，技巧性不强。
【难度系数】
0.7
