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6.小张和小王相约去参加“党员志愿者进社区服务”活动.现在有A,B,C三个社区可供随机选择,他们两人恰好进入同一社区的概率是（
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{9}$
D.$\frac{2}{3}$
B
）A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{9}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
6. B
解析
【分析】
这是一道两步试验的概率计算问题，解题思路如下：第一步，先计算两人选择社区的所有等可能结果总数：每人都有A、B、C3种选择，用乘法原理可算出总结果数；第二步，找出“两人恰好进入同一社区”的符合条件的结果数；第三步，根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
小张的选择有A、B、C共3种，对应小张的每一种选择，小王都有3种选择，所有等可能的结果如下：
(A,A)、(A,B)、(A,C)、
(B,A)、(B,B)、(B,C)、
(C,A)、(C,B)、(C,C)
总共有9种等可能的结果，其中两人恰好进入同一社区的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)共3种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{两人进入同一社区})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
概率公式；列表法求概率；两步试验概率计算
【点评】
本题是概率基础常考题，考查两步随机试验的概率求解，掌握列举法（列表或树状图）梳理所有等可能结果是解题关键，解题时也可通过分步分析简化计算。
【难度系数】
0.8
这是一道两步试验的概率计算问题，解题思路如下：第一步，先计算两人选择社区的所有等可能结果总数：每人都有A、B、C3种选择，用乘法原理可算出总结果数；第二步，找出“两人恰好进入同一社区”的符合条件的结果数；第三步，根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
小张的选择有A、B、C共3种，对应小张的每一种选择，小王都有3种选择，所有等可能的结果如下：
(A,A)、(A,B)、(A,C)、
(B,A)、(B,B)、(B,C)、
(C,A)、(C,B)、(C,C)
总共有9种等可能的结果，其中两人恰好进入同一社区的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)共3种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{两人进入同一社区})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
概率公式；列表法求概率；两步试验概率计算
【点评】
本题是概率基础常考题，考查两步随机试验的概率求解，掌握列举法（列表或树状图）梳理所有等可能结果是解题关键，解题时也可通过分步分析简化计算。
【难度系数】
0.8
7.有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁。现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，则一次打开锁的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{3}{4}$
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
7. B
解析
【分析】
要计算一次打开锁的概率，需先明确概率的计算方法：概率等于符合条件的事件数除以所有等可能的总事件数。首先我们先确定总事件数：取钥匙和开锁是两个独立的步骤，共有3把不同钥匙、2把不同锁，总情况数可通过列举法得出。再找出“一次打开锁”的符合条件的事件数：只有恰好取到对应锁的钥匙开锁时才能成功，共有2种符合条件的情况。最后代入概率公式计算即可。
【解析】
设两把锁分别为$L_1$、$L_2$，三把钥匙中$K_1$恰好能开$L_1$，$K_2$恰好能开$L_2$，$K_3$无法打开任意一把锁。
任意取出一把钥匙开任意一把锁，所有等可能的结果共有：$(K_1,L_1)$、$(K_1,L_2)$、$(K_2,L_1)$、$(K_2,L_2)$、$(K_3,L_1)$、$(K_3,L_2)$，共6种。
其中能一次打开锁的结果为$(K_1,L_1)$、$(K_2,L_2)$，共2种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的事件数}{总事件数}$，可得一次打开锁的概率为：
$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
简单概率计算、列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是准确梳理所有等可能的事件，避免漏算或多算总情况数，再代入概率公式即可快速得出结果，是概率部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
要计算一次打开锁的概率，需先明确概率的计算方法：概率等于符合条件的事件数除以所有等可能的总事件数。首先我们先确定总事件数：取钥匙和开锁是两个独立的步骤，共有3把不同钥匙、2把不同锁，总情况数可通过列举法得出。再找出“一次打开锁”的符合条件的事件数：只有恰好取到对应锁的钥匙开锁时才能成功，共有2种符合条件的情况。最后代入概率公式计算即可。
【解析】
设两把锁分别为$L_1$、$L_2$，三把钥匙中$K_1$恰好能开$L_1$，$K_2$恰好能开$L_2$，$K_3$无法打开任意一把锁。
任意取出一把钥匙开任意一把锁，所有等可能的结果共有：$(K_1,L_1)$、$(K_1,L_2)$、$(K_2,L_1)$、$(K_2,L_2)$、$(K_3,L_1)$、$(K_3,L_2)$，共6种。
其中能一次打开锁的结果为$(K_1,L_1)$、$(K_2,L_2)$，共2种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的事件数}{总事件数}$，可得一次打开锁的概率为：
$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
简单概率计算、列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是准确梳理所有等可能的事件，避免漏算或多算总情况数，再代入概率公式即可快速得出结果，是概率部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
8. 如图,有一三个开关的电路,每个开关闭合的可能性均为$\frac{1}{2}$,若不考虑元件的故障因素,则电灯点亮的概率为
$\frac{3}{8}$
.答案
8. $\frac{3}{8}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步先确定所有等可能的开关状态总数，三个开关每个都有闭合、断开两种状态，因此总共有$2×2×2=8$种等可能的结果；第二步明确电灯点亮的电路条件：电路需要形成通路，首先干路的开关$K_1$必须闭合，其次并联的$K_2$、$K_3$至少有一个闭合才能让电流顺利通过；第三步找出所有满足电灯点亮的情况数，再用概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算即可得到结果。
【解析】
解：每个开关有闭合、断开2种状态，三个开关的所有可能状态共有$2 × 2 × 2 = 8$种，且每种状态出现的可能性相等。
电灯点亮需要同时满足两个条件：①$K_1$闭合；②$K_2$、$K_3$中至少有一个闭合。
列举满足条件的状态：
1. $K_1$闭合、$K_2$闭合、$K_3$断开；
2. $K_1$闭合、$K_2$断开、$K_3$闭合；
3. $K_1$闭合、$K_2$闭合、$K_3$闭合。
共3种符合条件的情况。
根据概率计算公式：
$P(\mathrm{电灯点亮})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{3}{8}$
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
简单概率计算，电路通路条件，列举法求概率
【点评】
本题是电路知识和概率计算的结合题型，解题核心是先准确判断电灯点亮的电路条件，再通过列举法不重不漏地找出所有等可能情况和符合要求的情况，最后代入概率公式求解即可。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步先确定所有等可能的开关状态总数，三个开关每个都有闭合、断开两种状态，因此总共有$2×2×2=8$种等可能的结果；第二步明确电灯点亮的电路条件：电路需要形成通路，首先干路的开关$K_1$必须闭合，其次并联的$K_2$、$K_3$至少有一个闭合才能让电流顺利通过；第三步找出所有满足电灯点亮的情况数，再用概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算即可得到结果。
【解析】
解：每个开关有闭合、断开2种状态，三个开关的所有可能状态共有$2 × 2 × 2 = 8$种，且每种状态出现的可能性相等。
电灯点亮需要同时满足两个条件：①$K_1$闭合；②$K_2$、$K_3$中至少有一个闭合。
列举满足条件的状态：
1. $K_1$闭合、$K_2$闭合、$K_3$断开；
2. $K_1$闭合、$K_2$断开、$K_3$闭合；
3. $K_1$闭合、$K_2$闭合、$K_3$闭合。
共3种符合条件的情况。
根据概率计算公式：
$P(\mathrm{电灯点亮})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{3}{8}$
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
简单概率计算，电路通路条件，列举法求概率
【点评】
本题是电路知识和概率计算的结合题型，解题核心是先准确判断电灯点亮的电路条件，再通过列举法不重不漏地找出所有等可能情况和符合要求的情况，最后代入概率公式求解即可。
【难度系数】
0.7
9. 小明在操场上做游戏，发现地上有一个不规则的封闭图形ABC如图所示，为了知道它的面积，小明在封闭图形内画出了一个半径为1m的圆，在不远处向圆内掷石子，记录如下表：
| 掷石子的次数 | 100 | 200 | 300 |
| --- | --- | --- | --- |
| 石子落在$\odot O$内(含$\odot O$的边界)的次
n | 28 | 58 | 93 |
| 石子落在阴影内的次数 m | 51 | 114 | 186 |
你能估算出封闭图形ABC的面积吗($π$取3.14，精确到$0.01\mathrm{m}^2$)？
| 掷石子的次数 | 100 | 200 | 300 |
| --- | --- | --- | --- |
| 石子落在$\odot O$内(含$\odot O$的边界)的次
n | 28 | 58 | 93 || 石子落在阴影内的次数 m | 51 | 114 | 186 |
你能估算出封闭图形ABC的面积吗($π$取3.14，精确到$0.01\mathrm{m}^2$)？
答案
9. $9.42\mathrm{m}^2$
解析
【分析】
这是利用频率估计概率的几何概率实际应用题，解题思路如下：1. 明确大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在对应概率附近，本题中石子落在圆内的概率等于圆的面积与封闭图形ABC面积的比值；2. 计算不同试验次数下石子落在圆内的频率，找到频率的稳定值，确定圆面积占封闭图形ABC面积的比例；3. 先计算半径为1m的圆的面积，再结合面积比例求出封闭图形ABC的面积。
【解析】
第一步：计算半径为1m的圆的面积
圆的面积公式为$S=π r^2$，代入$r=1\mathrm{m}$、$π=3.14$得：
$S_{\odot O}=3.14×1^2=3.14\mathrm{m}^2$
第二步：计算不同试验下石子落在圆内的频率，确定概率近似值
石子落在封闭图形内的总次数为落在圆内的次数加落在阴影内的次数，分别计算频率：
掷100次时，频率为$\frac{28}{28+51}\approx0.354$
掷200次时，频率为$\frac{58}{58+114}\approx0.337$
掷300次时，频率为$\frac{93}{93+186}=\frac{1}{3}\approx0.333$
试验次数越多，频率越稳定在$\frac{1}{3}$附近，因此石子落在圆内的概率约为$\frac{1}{3}$。
第三步：计算封闭图形ABC的面积
根据几何概率的意义，$\frac{S_{\odot O}}{S_{ABC}}\approx\frac{1}{3}$，则：
$S_{ABC}\approx3S_{\odot O}=3×3.14=9.42\mathrm{m}^2$
【答案】
$9.42\mathrm{m}^2$
【知识点】
频率估计概率；几何概率；圆的面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查概率的实际应用，核心是理解大量重复试验下频率和概率的关系，以及几何概率中面积比等于对应事件的概率，需要具备从试验数据中总结规律的能力。
【难度系数】
0.7
这是利用频率估计概率的几何概率实际应用题，解题思路如下：1. 明确大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在对应概率附近，本题中石子落在圆内的概率等于圆的面积与封闭图形ABC面积的比值；2. 计算不同试验次数下石子落在圆内的频率，找到频率的稳定值，确定圆面积占封闭图形ABC面积的比例；3. 先计算半径为1m的圆的面积，再结合面积比例求出封闭图形ABC的面积。
【解析】
第一步：计算半径为1m的圆的面积
圆的面积公式为$S=π r^2$，代入$r=1\mathrm{m}$、$π=3.14$得：
$S_{\odot O}=3.14×1^2=3.14\mathrm{m}^2$
第二步：计算不同试验下石子落在圆内的频率，确定概率近似值
石子落在封闭图形内的总次数为落在圆内的次数加落在阴影内的次数，分别计算频率：
掷100次时，频率为$\frac{28}{28+51}\approx0.354$
掷200次时，频率为$\frac{58}{58+114}\approx0.337$
掷300次时，频率为$\frac{93}{93+186}=\frac{1}{3}\approx0.333$
试验次数越多，频率越稳定在$\frac{1}{3}$附近，因此石子落在圆内的概率约为$\frac{1}{3}$。
第三步：计算封闭图形ABC的面积
根据几何概率的意义，$\frac{S_{\odot O}}{S_{ABC}}\approx\frac{1}{3}$，则：
$S_{ABC}\approx3S_{\odot O}=3×3.14=9.42\mathrm{m}^2$
【答案】
$9.42\mathrm{m}^2$
【知识点】
频率估计概率；几何概率；圆的面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查概率的实际应用，核心是理解大量重复试验下频率和概率的关系，以及几何概率中面积比等于对应事件的概率，需要具备从试验数据中总结规律的能力。
【难度系数】
0.7
