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1. 一条线段AB长为6cm，则经过A，B两点的圆有
无数
个，圆心在AB的垂直平分线
上，其中最小圆的半径为3
cm.答案
1. 无数 AB的垂直平分线 3
解析
【分析】
解题时先结合圆的定义思考：过A、B两点的圆的圆心需满足到A、B两点的距离相等，由此联想线段垂直平分线的性质，确定圆心的轨迹；再分析半径最小的情况：圆心到A点的距离最小时，圆的半径最小，结合垂直平分线上点的特征即可求出最小半径。
【解析】
1. 确定过A、B两点的圆的数量和圆心位置：
根据圆的定义，经过A、B两点的圆的圆心到A、B两点的距离必须相等。根据线段垂直平分线的性质：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此所有符合条件的圆心都在线段AB的垂直平分线上。由于线段AB的垂直平分线上有无数个点，每个点作为圆心都可以作出一个经过A、B两点的圆，因此经过A、B两点的圆有无数个，圆心在AB的垂直平分线上。
2. 求最小圆的半径：
要使所作的圆半径最小，即圆心到A（或B）的距离最小。线段AB的垂直平分线上到A点距离最小的点是线段AB的中点，此时圆心到A的距离等于AB长度的一半，即$r=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$，因此最小圆的半径为3cm。
【答案】
无数；AB的垂直平分线；3
【知识点】
圆的定义；线段垂直平分线的性质；圆的半径特征
【点评】
本题属于基础概念类题目，将圆的基本性质和线段垂直平分线的性质结合考查，需要理解过两点的圆的圆心轨迹特征，明确当两点连线为圆的直径时圆的半径最小，对巩固基础概念有很大帮助。
【难度系数】
0.8
解题时先结合圆的定义思考：过A、B两点的圆的圆心需满足到A、B两点的距离相等，由此联想线段垂直平分线的性质，确定圆心的轨迹；再分析半径最小的情况：圆心到A点的距离最小时，圆的半径最小，结合垂直平分线上点的特征即可求出最小半径。
【解析】
1. 确定过A、B两点的圆的数量和圆心位置：
根据圆的定义，经过A、B两点的圆的圆心到A、B两点的距离必须相等。根据线段垂直平分线的性质：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此所有符合条件的圆心都在线段AB的垂直平分线上。由于线段AB的垂直平分线上有无数个点，每个点作为圆心都可以作出一个经过A、B两点的圆，因此经过A、B两点的圆有无数个，圆心在AB的垂直平分线上。
2. 求最小圆的半径：
要使所作的圆半径最小，即圆心到A（或B）的距离最小。线段AB的垂直平分线上到A点距离最小的点是线段AB的中点，此时圆心到A的距离等于AB长度的一半，即$r=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$，因此最小圆的半径为3cm。
【答案】
无数；AB的垂直平分线；3
【知识点】
圆的定义；线段垂直平分线的性质；圆的半径特征
【点评】
本题属于基础概念类题目，将圆的基本性质和线段垂直平分线的性质结合考查，需要理解过两点的圆的圆心轨迹特征，明确当两点连线为圆的直径时圆的半径最小，对巩固基础概念有很大帮助。
【难度系数】
0.8
2. 下列条件可以确定一个圆的是 （
A.已知圆心
B.已知半径大小
C.已知三个点
D.已知一条线段作为直径
D
）A.已知圆心
B.已知半径大小
C.已知三个点
D.已知一条线段作为直径
答案
2.D
解析
【分析】
要判断哪个条件能确定一个圆，首先需明确确定圆的两个核心要素：圆心（决定圆的位置）和半径（决定圆的大小），二者缺一不可。解题时围绕这两个要素是否同时被唯一确定，逐个分析选项即可：先判断每个选项是否能同时得到唯一的圆心和半径，若可以则能确定圆，反之则不能。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 仅已知圆心，半径大小未确定，可画出无数个大小不同的同心圆，不能确定唯一的圆，不符合要求；
B. 仅已知半径大小，圆心位置未确定，可画出无数个位置不同、大小相同的圆，不能确定唯一的圆，不符合要求；
C. 只有不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，若三个点在同一条直线上，则无法作出过这三个点的圆，因此该条件不严谨，不能确定一个圆，不符合要求；
D. 已知一条线段作为直径，那么该线段的中点就是唯一的圆心，线段长度的一半就是唯一的半径，圆心和半径都确定，因此可以确定唯一的圆，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆的基本要素 2. 确定圆的条件
【点评】
本题属于圆的概念相关的基础题，解题关键是牢记确定圆的两个必要条件，同时注意“三个点确定一个圆”的前提是三点不共线，避免忽略限制条件误选。
【难度系数】
0.7
要判断哪个条件能确定一个圆，首先需明确确定圆的两个核心要素：圆心（决定圆的位置）和半径（决定圆的大小），二者缺一不可。解题时围绕这两个要素是否同时被唯一确定，逐个分析选项即可：先判断每个选项是否能同时得到唯一的圆心和半径，若可以则能确定圆，反之则不能。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 仅已知圆心，半径大小未确定，可画出无数个大小不同的同心圆，不能确定唯一的圆，不符合要求；
B. 仅已知半径大小，圆心位置未确定，可画出无数个位置不同、大小相同的圆，不能确定唯一的圆，不符合要求；
C. 只有不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，若三个点在同一条直线上，则无法作出过这三个点的圆，因此该条件不严谨，不能确定一个圆，不符合要求；
D. 已知一条线段作为直径，那么该线段的中点就是唯一的圆心，线段长度的一半就是唯一的半径，圆心和半径都确定，因此可以确定唯一的圆，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆的基本要素 2. 确定圆的条件
【点评】
本题属于圆的概念相关的基础题，解题关键是牢记确定圆的两个必要条件，同时注意“三个点确定一个圆”的前提是三点不共线，避免忽略限制条件误选。
【难度系数】
0.7
3. 三角形的外心是三角形的三条 （
A.角平分线的交点
B.中线的交点
C.高的交点
D.边的中垂线的交点
D
）A.角平分线的交点
B.中线的交点
C.高的交点
D.边的中垂线的交点
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查三角形外心的定义及三角形常见特殊线段交点的区分，解题思路如下：首先明确外心是三角形外接圆的圆心，核心特征是到三个顶点的距离相等；再逐一对应每个选项的交点类型，排除不符合的选项，即可匹配到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，为内切圆的圆心，不符合外心的定义，排除；
B. 三角形三条中线的交点是三角形的重心，不符合外心的定义，排除；
C. 三角形三条高的交点是三角形的垂心，不符合外心的定义，排除；
D. 三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的交点到三角形三个顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心，即外心，符合题意。
【答案】D
【知识点】
1. 外心的定义
2. 三角形各心的区分
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对三角形不同特殊交点的定义记忆，只要能准确区分各“心”对应的线段特征就能快速解题，是基础类常考题。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形外心的定义及三角形常见特殊线段交点的区分，解题思路如下：首先明确外心是三角形外接圆的圆心，核心特征是到三个顶点的距离相等；再逐一对应每个选项的交点类型，排除不符合的选项，即可匹配到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，为内切圆的圆心，不符合外心的定义，排除；
B. 三角形三条中线的交点是三角形的重心，不符合外心的定义，排除；
C. 三角形三条高的交点是三角形的垂心，不符合外心的定义，排除；
D. 三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的交点到三角形三个顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心，即外心，符合题意。
【答案】D
【知识点】
1. 外心的定义
2. 三角形各心的区分
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对三角形不同特殊交点的定义记忆，只要能准确区分各“心”对应的线段特征就能快速解题，是基础类常考题。
【难度系数】
0.9
4. 下列命题中，正确的是 （
A.三角形的外心到三边的距离相等
B.等腰三角形的外心一定在它的内部
C.任何一个三角形有且仅有一个外接圆
D.任意四边形都有外接圆
C
）A.三角形的外心到三边的距离相等
B.等腰三角形的外心一定在它的内部
C.任何一个三角形有且仅有一个外接圆
D.任意四边形都有外接圆
答案
4.C
解析
【分析】
这是一道关于圆的基础概念辨析题，解题时需逐一结合对应知识点判断每个选项：首先回忆三角形外心的定义与性质，区分外心和内心的特征；再结合不同形状等腰三角形的特点判断外心位置；接着根据确定圆的条件判断三角形外接圆的个数；最后明确四边形存在外接圆的前提条件，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，性质是到三角形三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形的内心（角平分线的交点），因此A错误；
B. 等腰三角形若为钝角等腰三角形，外心在三角形外部；若为直角等腰三角形，外心在斜边中点处，只有锐角等腰三角形的外心在内部，因此外心不一定在等腰三角形内部，B错误；
C. 根据圆的确定条件：不在同一直线上的三个点确定唯一的圆，三角形的三个顶点不在同一直线上，因此任何一个三角形有且仅有一个外接圆，C正确；
D. 只有对角互补的四边形才有外接圆，不是任意四边形都满足该条件，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心性质，确定圆的条件，圆内接四边形判定
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对圆相关基础概念的掌握情况，解题时要注意区分易混淆的概念，比如外心和内心的性质、不同三角形外心的位置差异，牢记多边形有外接圆的前提条件即可正确作答。
【难度系数】
0.7
这是一道关于圆的基础概念辨析题，解题时需逐一结合对应知识点判断每个选项：首先回忆三角形外心的定义与性质，区分外心和内心的特征；再结合不同形状等腰三角形的特点判断外心位置；接着根据确定圆的条件判断三角形外接圆的个数；最后明确四边形存在外接圆的前提条件，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，性质是到三角形三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形的内心（角平分线的交点），因此A错误；
B. 等腰三角形若为钝角等腰三角形，外心在三角形外部；若为直角等腰三角形，外心在斜边中点处，只有锐角等腰三角形的外心在内部，因此外心不一定在等腰三角形内部，B错误；
C. 根据圆的确定条件：不在同一直线上的三个点确定唯一的圆，三角形的三个顶点不在同一直线上，因此任何一个三角形有且仅有一个外接圆，C正确；
D. 只有对角互补的四边形才有外接圆，不是任意四边形都满足该条件，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心性质，确定圆的条件，圆内接四边形判定
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对圆相关基础概念的掌握情况，解题时要注意区分易混淆的概念，比如外心和内心的性质、不同三角形外心的位置差异，牢记多边形有外接圆的前提条件即可正确作答。
【难度系数】
0.7
5.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（
A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块
B
）A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块
答案
5.B
解析
【分析】
要配到和原来大小一致的圆形玻璃，核心是确定原圆的圆心和半径。根据所学知识，不在同一直线上的三个点可以确定唯一的圆，只要碎片上保留有一段连续的完整圆弧，就能在弧上取三个点，利用垂径定理作弦的垂直平分线得到圆心，进而确定整个圆，因此只需判断哪块碎片包含足够长的连续圆弧即可。
【解析】
根据圆的确定定理：不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆。要还原原圆，需要碎片包含一段连续的圆弧，我们可以在这段圆弧上选取3个不同的点，分别作任意两条连接两点的弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，圆心到弧上任意点的距离就是半径，即可还原出原圆。观察四块碎片：只有第②块保留了一段较长的连续圆弧，满足确定原圆的条件，其余三块的圆弧长度过短，无法确定原圆的圆心和半径，因此应选择第②块。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查圆的相关知识，要求学生能将所学知识迁移应用到实际问题中，解题的关键是明确只有包含足够长的连续圆弧的碎片才能确定原圆。
【难度系数】
0.8
要配到和原来大小一致的圆形玻璃，核心是确定原圆的圆心和半径。根据所学知识，不在同一直线上的三个点可以确定唯一的圆，只要碎片上保留有一段连续的完整圆弧，就能在弧上取三个点，利用垂径定理作弦的垂直平分线得到圆心，进而确定整个圆，因此只需判断哪块碎片包含足够长的连续圆弧即可。
【解析】
根据圆的确定定理：不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆。要还原原圆，需要碎片包含一段连续的圆弧，我们可以在这段圆弧上选取3个不同的点，分别作任意两条连接两点的弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，圆心到弧上任意点的距离就是半径，即可还原出原圆。观察四块碎片：只有第②块保留了一段较长的连续圆弧，满足确定原圆的条件，其余三块的圆弧长度过短，无法确定原圆的圆心和半径，因此应选择第②块。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查圆的相关知识，要求学生能将所学知识迁移应用到实际问题中，解题的关键是明确只有包含足够长的连续圆弧的碎片才能确定原圆。
【难度系数】
0.8
6.直角三角形的两条直角边的长为6和8，则它的外接圆的半径为
5
.答案
5
解析
【分析】
要求直角三角形的外接圆半径，首先需明确三角形外接圆的圆心（外心）是三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心恰好位于斜边的中点，因此外接圆半径等于斜边长的一半。解题时先通过勾股定理计算出斜边长度，再取其一半即可得到外接圆半径。
【解析】
已知直角三角形两条直角边长为6和8，
第一步，根据勾股定理计算斜边长：
斜边长 = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10
第二步，根据直角三角形外接圆的性质：直角三角形的外接圆直径等于斜边长，因此外接圆半径为斜边长的一半，
即外接圆半径 = 10 ÷ 2 = 5
【答案】
5
【知识点】
勾股定理、直角三角形外心性质、三角形外接圆概念
【点评】
本题是圆相关概念的基础考题，解题关键是掌握直角三角形外接圆的特殊性质，熟记结论可快速得到答案，需熟练掌握该类基础题型的解法。
【难度系数】
0.8
要求直角三角形的外接圆半径，首先需明确三角形外接圆的圆心（外心）是三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心恰好位于斜边的中点，因此外接圆半径等于斜边长的一半。解题时先通过勾股定理计算出斜边长度，再取其一半即可得到外接圆半径。
【解析】
已知直角三角形两条直角边长为6和8，
第一步，根据勾股定理计算斜边长：
斜边长 = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10
第二步，根据直角三角形外接圆的性质：直角三角形的外接圆直径等于斜边长，因此外接圆半径为斜边长的一半，
即外接圆半径 = 10 ÷ 2 = 5
【答案】
5
【知识点】
勾股定理、直角三角形外心性质、三角形外接圆概念
【点评】
本题是圆相关概念的基础考题，解题关键是掌握直角三角形外接圆的特殊性质，熟记结论可快速得到答案，需熟练掌握该类基础题型的解法。
【难度系数】
0.8
7.某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为了复制该瓷盘，需要确定其圆心和半径.
请在图中用直尺和圆规找出瓷盘的圆心(不要求写作法,但要保留作图痕迹).
请在图中用直尺和圆规找出瓷盘的圆心(不要求写作法,但要保留作图痕迹).
答案
7. 作图略 共有4个
解析
【分析】
要确定残破圆形瓷盘的圆心，可利用圆的核心性质：圆的任意一条弦的垂直平分线都经过圆心。我们只需在圆弧上选取3个不共线的点，连接得到两条不同的弦，分别作出这两条弦的垂直平分线，两条线的交点就是圆心，该点到弧上任意点的距离都相等，符合圆心的特征。
【解析】
作图思路如下（答卷上仅保留痕迹即可）：
1. 在残破圆弧上任取3个不共线的点A、B、C；
2. 用直尺连接AB、BC，得到圆的两条弦；
3. 用圆规分别作线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的圆心。
【答案】
作图略 共有4个
【知识点】
垂径定理；确定圆的条件；垂直平分线性质
【点评】
本题是圆的性质在实际生活中的应用，解题核心是掌握弦的垂直平分线过圆心的性质，能将复原瓷盘的实际问题转化为尺规作图问题，侧重考查基础作图能力。
【难度系数】
0.8
要确定残破圆形瓷盘的圆心，可利用圆的核心性质：圆的任意一条弦的垂直平分线都经过圆心。我们只需在圆弧上选取3个不共线的点，连接得到两条不同的弦，分别作出这两条弦的垂直平分线，两条线的交点就是圆心，该点到弧上任意点的距离都相等，符合圆心的特征。
【解析】
作图思路如下（答卷上仅保留痕迹即可）：
1. 在残破圆弧上任取3个不共线的点A、B、C；
2. 用直尺连接AB、BC，得到圆的两条弦；
3. 用圆规分别作线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的圆心。
【答案】
作图略 共有4个
【知识点】
垂径定理；确定圆的条件；垂直平分线性质
【点评】
本题是圆的性质在实际生活中的应用，解题核心是掌握弦的垂直平分线过圆心的性质，能将复原瓷盘的实际问题转化为尺规作图问题，侧重考查基础作图能力。
【难度系数】
0.8
