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1. 如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻的概率为（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1
D
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查古典概型的概率计算，解题时先明确座位分布特征：3个座位围绕圆桌分布，我们可以通过固定甲的位置简化计算，也可以用列举法列出所有就坐情况，再统计甲和乙相邻的情况数，最后根据概率公式计算结果。另外注意3个座位的圆桌3人全部就坐时，不存在间隔空位的情况，任意两人都必然相邻，也可从这个角度直接推导结论。
【解析】
解法1：固定甲的座位，此时剩余2个座位供乙、丙选择，由于圆桌只有3个座位，剩余的2个座位均与甲的座位相邻，因此乙无论选择哪个座位，都与甲相邻。总共有2种等可能的乙的座位选择，其中2种都满足甲乙相邻，因此概率$P=\frac{2}{2}=1$。
解法2：用列举法计算，将3个座位记为上、左下、右下，3人随机就坐总共有$3×2×1=6$种等可能的情况：
①甲坐上方、乙坐左下、丙坐右下，甲乙相邻；
②甲坐上方、乙坐右下、丙坐左下，甲乙相邻；
③甲坐左下、乙坐上方、丙坐右下，甲乙相邻；
④甲坐左下、乙坐右下、丙坐上方，甲乙相邻；
⑤甲坐右下、乙坐上方、丙坐左下，甲乙相邻；
⑥甲坐右下、乙坐左下、丙坐上方，甲乙相邻。
所有6种情况都满足甲乙相邻，因此概率$P=\frac{6}{6}=1$。
【答案】
D
【知识点】
古典概型计算，列举法求概率
【点评】
本题容易受直线排列概率题的思维定式影响，误判存在甲乙不相邻的情况，解题时要结合3个座位3人就坐的条件分析，实际环形排列下不存在间隔空位，所有两人组合都相邻，注意不要盲目套用常规排列的结论。
【难度系数】
0.7
本题考查古典概型的概率计算，解题时先明确座位分布特征：3个座位围绕圆桌分布，我们可以通过固定甲的位置简化计算，也可以用列举法列出所有就坐情况，再统计甲和乙相邻的情况数，最后根据概率公式计算结果。另外注意3个座位的圆桌3人全部就坐时，不存在间隔空位的情况，任意两人都必然相邻，也可从这个角度直接推导结论。
【解析】
解法1：固定甲的座位，此时剩余2个座位供乙、丙选择，由于圆桌只有3个座位，剩余的2个座位均与甲的座位相邻，因此乙无论选择哪个座位，都与甲相邻。总共有2种等可能的乙的座位选择，其中2种都满足甲乙相邻，因此概率$P=\frac{2}{2}=1$。
解法2：用列举法计算，将3个座位记为上、左下、右下，3人随机就坐总共有$3×2×1=6$种等可能的情况：
①甲坐上方、乙坐左下、丙坐右下，甲乙相邻；
②甲坐上方、乙坐右下、丙坐左下，甲乙相邻；
③甲坐左下、乙坐上方、丙坐右下，甲乙相邻；
④甲坐左下、乙坐右下、丙坐上方，甲乙相邻；
⑤甲坐右下、乙坐上方、丙坐左下，甲乙相邻；
⑥甲坐右下、乙坐左下、丙坐上方，甲乙相邻。
所有6种情况都满足甲乙相邻，因此概率$P=\frac{6}{6}=1$。
【答案】
D
【知识点】
古典概型计算，列举法求概率
【点评】
本题容易受直线排列概率题的思维定式影响，误判存在甲乙不相邻的情况，解题时要结合3个座位3人就坐的条件分析，实际环形排列下不存在间隔空位，所有两人组合都相邻，注意不要盲目套用常规排列的结论。
【难度系数】
0.7
2.随意地抛掷一只可乐杯,杯口朝下的概率为0.22,杯底朝下的概率为0.38,则杯身横卧的概率为
0.4
。答案
2. 0.4
解析
【分析】
抛掷可乐杯只会出现杯口朝下、杯底朝下、杯身横卧这三种互斥的结果，这三种结果覆盖了所有可能发生的情况，因此它们的概率之和为1。要求杯身横卧的概率，只需用总概率1减去已知的杯口朝下和杯底朝下的概率即可。
【解析】
解：抛掷可乐杯的三个结果：杯口朝下、杯底朝下、杯身横卧属于互斥事件，且三个事件包含了所有可能的基本事件，因此三者的概率之和为1。
则杯身横卧的概率：
$P=1-P(\mathrm{杯口朝下})-P(\mathrm{杯底朝下})$
代入数据计算：
$P=1-0.22-0.38=0.4$
【答案】
0.4
【知识点】
互斥事件概率计算、概率基本性质
【点评】
本题属于概率基础应用题，解题核心是明确所有互斥的基本事件的概率总和为1，计算量小，只要理清事件关系即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
抛掷可乐杯只会出现杯口朝下、杯底朝下、杯身横卧这三种互斥的结果，这三种结果覆盖了所有可能发生的情况，因此它们的概率之和为1。要求杯身横卧的概率，只需用总概率1减去已知的杯口朝下和杯底朝下的概率即可。
【解析】
解：抛掷可乐杯的三个结果：杯口朝下、杯底朝下、杯身横卧属于互斥事件，且三个事件包含了所有可能的基本事件，因此三者的概率之和为1。
则杯身横卧的概率：
$P=1-P(\mathrm{杯口朝下})-P(\mathrm{杯底朝下})$
代入数据计算：
$P=1-0.22-0.38=0.4$
【答案】
0.4
【知识点】
互斥事件概率计算、概率基本性质
【点评】
本题属于概率基础应用题，解题核心是明确所有互斥的基本事件的概率总和为1，计算量小，只要理清事件关系即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
3.一个口袋中装了三个球，其中两个是红球，另外一个是白球.若从口袋中随机地摸出两球，假如两球是同一色，则规定甲胜，假如两球不是同一色，则规定乙胜，则
乙
获胜的机会大（选填“甲”或“乙”）。答案
3. 乙
解析
【分析】
要判断甲、乙谁获胜机会大，只需分别计算甲、乙获胜的概率，再比较概率大小即可。解题时先对三个球编号方便区分，再列举出随机摸两个球的所有等可能结果，分别统计甲胜（两球同色）、乙胜（两球不同色）对应的结果数，根据概率公式计算二者的概率后比较大小。
【解析】
我们将两个红球分别记为红₁、红₂，白球记为白。
从三个球中随机摸出两个球，所有等可能的结果共有3种：（红₁，红₂）、（红₁，白）、（红₂，白）。
其中两球同色（甲胜）的结果有1种，即（红₁，红₂），因此甲获胜的概率$P(甲胜)=\frac{1}{3}$；
两球不同色（乙胜）的结果有2种，即（红₁，白）、（红₂，白），因此乙获胜的概率$P(乙胜)=\frac{2}{3}$。
因为$\frac{2}{3}＞\frac{1}{3}$，所以乙获胜的机会更大。
【答案】
乙
【知识点】
列举法求概率；可能性大小比较
【点评】
本题是概率在实际规则中的简单应用，解题核心是不重不漏地列出所有等可能的事件结果，再结合概率公式计算对应事件的概率，通过比较概率大小判断获胜可能性，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断甲、乙谁获胜机会大，只需分别计算甲、乙获胜的概率，再比较概率大小即可。解题时先对三个球编号方便区分，再列举出随机摸两个球的所有等可能结果，分别统计甲胜（两球同色）、乙胜（两球不同色）对应的结果数，根据概率公式计算二者的概率后比较大小。
【解析】
我们将两个红球分别记为红₁、红₂，白球记为白。
从三个球中随机摸出两个球，所有等可能的结果共有3种：（红₁，红₂）、（红₁，白）、（红₂，白）。
其中两球同色（甲胜）的结果有1种，即（红₁，红₂），因此甲获胜的概率$P(甲胜)=\frac{1}{3}$；
两球不同色（乙胜）的结果有2种，即（红₁，白）、（红₂，白），因此乙获胜的概率$P(乙胜)=\frac{2}{3}$。
因为$\frac{2}{3}＞\frac{1}{3}$，所以乙获胜的机会更大。
【答案】
乙
【知识点】
列举法求概率；可能性大小比较
【点评】
本题是概率在实际规则中的简单应用，解题核心是不重不漏地列出所有等可能的事件结果，再结合概率公式计算对应事件的概率，通过比较概率大小判断获胜可能性，难度较低。
【难度系数】
0.8
4.某航班每次约有100名乘客，一次飞行中飞机失事的概率为$ P=0.00005 $。一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿40万人民币。平均来说，保险公司为了不亏本，至少应该收取保险费每人
20
元。答案
4. 20
解析
【分析】
要解决本题，首先明确保险公司“不亏本”的核心条件：收取的总保费至少要等于平均每次飞行的期望赔付总额。我们可以通过失事概率计算出平均每位乘客的赔付成本，该成本就是每人最低需要收取的保费，也可以先算每次飞行的平均总赔付额，再平摊到每位乘客，两种思路都可以顺利解题。
【解析】
解：先统一单位，40万=400000元。
方法一：按单个乘客计算
每位乘客若遇飞机失事，保险公司赔付400000元，失事概率为0.00005，因此平均每位乘客的期望赔付金额为：
$400000×0.00005=20$（元）
方法二：按单次飞行总金额计算
若飞机失事，单次飞行总赔付金额为：$100×400000=40000000$（元）
平均每次飞行的期望总赔付金额为：$40000000×0.00005=2000$（元）
平摊到100名乘客，每人至少收取保费：$2000÷100=20$（元）
因此保险公司为了不亏本，每人至少收取20元保费。
【答案】
20
【知识点】
概率应用，期望计算，成本核算
【点评】
本题是概率在实际生活中的典型应用，解题关键是理解“不亏本”的数学含义，结合概率计算平均赔付成本即可求解，能够引导学生体会数学知识在生活场景中的实用价值。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确保险公司“不亏本”的核心条件：收取的总保费至少要等于平均每次飞行的期望赔付总额。我们可以通过失事概率计算出平均每位乘客的赔付成本，该成本就是每人最低需要收取的保费，也可以先算每次飞行的平均总赔付额，再平摊到每位乘客，两种思路都可以顺利解题。
【解析】
解：先统一单位，40万=400000元。
方法一：按单个乘客计算
每位乘客若遇飞机失事，保险公司赔付400000元，失事概率为0.00005，因此平均每位乘客的期望赔付金额为：
$400000×0.00005=20$（元）
方法二：按单次飞行总金额计算
若飞机失事，单次飞行总赔付金额为：$100×400000=40000000$（元）
平均每次飞行的期望总赔付金额为：$40000000×0.00005=2000$（元）
平摊到100名乘客，每人至少收取保费：$2000÷100=20$（元）
因此保险公司为了不亏本，每人至少收取20元保费。
【答案】
20
【知识点】
概率应用，期望计算，成本核算
【点评】
本题是概率在实际生活中的典型应用，解题关键是理解“不亏本”的数学含义，结合概率计算平均赔付成本即可求解，能够引导学生体会数学知识在生活场景中的实用价值。
【难度系数】
0.7
5.在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案.甲同学的方案：将红桃2，3，4，5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影.甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明.
答案
5. $P(小明)=\frac{2}{3}$，$P(小刚)=\frac{1}{3}$，不公平，对小明有利
解析
【分析】
判断游戏方案是否公平的核心是比较双方获胜的概率是否相等，若概率相等则公平，否则不公平。解题时我们可以通过树状图或列表法，先列举出不放回抽牌的所有等可能结果，再分别统计数字之和为奇数（小明获胜）、数字之和为偶数（小刚获胜）的结果数，最后用概率公式计算两人的获胜概率，比较大小即可得出结论，注意本题是不放回抽取，小刚抽牌时仅剩余3张牌。
【解析】
我们通过树状图列举所有等可能的结果：
1. 小明先抽牌，共有4种等可能结果：2、3、4、5；
2. 小刚从剩余3张牌中抽牌，对应小明的每一种抽牌结果，各有3种等可能结果，所有组合的和如下：
小明抽2时，小刚抽3、4、5，对应和为5（奇）、6（偶）、7（奇）；
小明抽3时，小刚抽2、4、5，对应和为5（奇）、7（奇）、8（偶）；
小明抽4时，小刚抽2、3、5，对应和为6（偶）、7（奇）、9（奇）；
小明抽5时，小刚抽2、3、4，对应和为7（奇）、8（偶）、9（奇）。
综上，总共有$4×3=12$种等可能的结果，其中数字之和为奇数的结果有8种，数字之和为偶数的结果有4种。
根据概率公式计算：
$P(小明获胜)=\frac{和为奇数的结果数}{总结果数}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
$P(小刚获胜)=\frac{和为偶数的结果数}{总结果数}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
因为$\frac{2}{3}≠\frac{1}{3}$，所以甲同学的方案不公平。
【答案】
甲同学的方案不公平，$P(小明)=\frac{2}{3}$，$P(小刚)=\frac{1}{3}$，对小明有利
【知识点】
游戏公平性判断，列举法求概率，概率计算
【点评】
本题是概率应用的基础题型，解题关键是准确列举不放回抽取的所有等可能结果，避免漏算或重复计算，掌握列举法求概率是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
判断游戏方案是否公平的核心是比较双方获胜的概率是否相等，若概率相等则公平，否则不公平。解题时我们可以通过树状图或列表法，先列举出不放回抽牌的所有等可能结果，再分别统计数字之和为奇数（小明获胜）、数字之和为偶数（小刚获胜）的结果数，最后用概率公式计算两人的获胜概率，比较大小即可得出结论，注意本题是不放回抽取，小刚抽牌时仅剩余3张牌。
【解析】
我们通过树状图列举所有等可能的结果：
1. 小明先抽牌，共有4种等可能结果：2、3、4、5；
2. 小刚从剩余3张牌中抽牌，对应小明的每一种抽牌结果，各有3种等可能结果，所有组合的和如下：
小明抽2时，小刚抽3、4、5，对应和为5（奇）、6（偶）、7（奇）；
小明抽3时，小刚抽2、4、5，对应和为5（奇）、7（奇）、8（偶）；
小明抽4时，小刚抽2、3、5，对应和为6（偶）、7（奇）、9（奇）；
小明抽5时，小刚抽2、3、4，对应和为7（奇）、8（偶）、9（奇）。
综上，总共有$4×3=12$种等可能的结果，其中数字之和为奇数的结果有8种，数字之和为偶数的结果有4种。
根据概率公式计算：
$P(小明获胜)=\frac{和为奇数的结果数}{总结果数}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
$P(小刚获胜)=\frac{和为偶数的结果数}{总结果数}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
因为$\frac{2}{3}≠\frac{1}{3}$，所以甲同学的方案不公平。
【答案】
甲同学的方案不公平，$P(小明)=\frac{2}{3}$，$P(小刚)=\frac{1}{3}$，对小明有利
【知识点】
游戏公平性判断，列举法求概率，概率计算
【点评】
本题是概率应用的基础题型，解题关键是准确列举不放回抽取的所有等可能结果，避免漏算或重复计算，掌握列举法求概率是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
