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1. 计算$(\frac{1}{2})^{-1} - (π - 1)^0$的结果正确的是(
A.2
B.1
C.$-\frac{1}{2}$
D.$-\frac{3}{2}$
B
).A.2
B.1
C.$-\frac{1}{2}$
D.$-\frac{3}{2}$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的基础运算，解题思路如下：首先回忆负整数指数幂和零指数幂的运算法则：①负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；②零指数幂：$a^0=1$（$a≠0$）。分别计算式子中两个幂的值，再作差即可得到结果。
【解析】
根据运算法则分步计算：
1. 计算$(\frac{1}{2})^{-1}$：依据负整数指数幂法则，$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$；
2. 计算$(π - 1)^0$：由于$π≈3.14$，可得$π-1≠0$，依据零指数幂法则，$(π - 1)^0=1$；
3. 作差得结果：$(\frac{1}{2})^{-1} - (π - 1)^0=2 - 1=1$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算
【点评】
本题属于整数指数幂的基础题型，主要考查对负整数指数幂、零指数幂运算法则的掌握，解题时要注意零指数幂成立的前提是底数不为0，牢记运算法则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
本题考查整数指数幂的基础运算，解题思路如下：首先回忆负整数指数幂和零指数幂的运算法则：①负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；②零指数幂：$a^0=1$（$a≠0$）。分别计算式子中两个幂的值，再作差即可得到结果。
【解析】
根据运算法则分步计算：
1. 计算$(\frac{1}{2})^{-1}$：依据负整数指数幂法则，$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$；
2. 计算$(π - 1)^0$：由于$π≈3.14$，可得$π-1≠0$，依据零指数幂法则，$(π - 1)^0=1$；
3. 作差得结果：$(\frac{1}{2})^{-1} - (π - 1)^0=2 - 1=1$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算
【点评】
本题属于整数指数幂的基础题型，主要考查对负整数指数幂、零指数幂运算法则的掌握，解题时要注意零指数幂成立的前提是底数不为0，牢记运算法则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
2.设$a=(3-\sqrt{2})^0$，$b=(-3)^2$，$c=\sqrt[3]{-27}$，$d=(-\frac{1}{2})^{-2}$，则$a,b,c,d$按由小到大的顺序排列正确的是(
A.$b＜c＜a＜d$
B.$b＜d＜a＜c$
C.$a＜c＜d＜b$
D.$c＜a＜d＜b$
D
).A.$b＜c＜a＜d$
B.$b＜d＜a＜c$
C.$a＜c＜d＜b$
D.$c＜a＜d＜b$
答案
2.D
解析
【分析】
要比较a、b、c、d的大小，首先需要根据对应运算规则分别求出四个数的具体数值，再按照实数大小比较的方法排序，最后匹配正确选项即可。解题时要注意各类运算的符号规则，避免计算出错。
【解析】
先分别计算a、b、c、d的值：
1. 计算a：根据零指数幂的性质，任何非零数的0次幂等于1，因为$3-\sqrt{2}≠0$，所以$a=(3-\sqrt{2})^0=1$；
2. 计算b：根据乘方的定义，$b=(-3)^2=(-3)×(-3)=9$；
3. 计算c：根据立方根的定义，$\sqrt[3]{-27}$表示求-27的立方根，因为$(-3)^3=-27$，所以$c=\sqrt[3]{-27}=-3$；
4. 计算d：根据负整数指数幂的性质，$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），所以$d=(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$。
得到四个数的值：$a=1$，$b=9$，$c=-3$，$d=4$，从小到大排序为：$-3＜1＜4＜9$，即$c＜a＜d＜b$。
【答案】
D
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算，立方根运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对实数相关运算规则的掌握程度，解题的关键是准确运用各类运算的性质计算出每个数的结果，计算时要特别注意符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
要比较a、b、c、d的大小，首先需要根据对应运算规则分别求出四个数的具体数值，再按照实数大小比较的方法排序，最后匹配正确选项即可。解题时要注意各类运算的符号规则，避免计算出错。
【解析】
先分别计算a、b、c、d的值：
1. 计算a：根据零指数幂的性质，任何非零数的0次幂等于1，因为$3-\sqrt{2}≠0$，所以$a=(3-\sqrt{2})^0=1$；
2. 计算b：根据乘方的定义，$b=(-3)^2=(-3)×(-3)=9$；
3. 计算c：根据立方根的定义，$\sqrt[3]{-27}$表示求-27的立方根，因为$(-3)^3=-27$，所以$c=\sqrt[3]{-27}=-3$；
4. 计算d：根据负整数指数幂的性质，$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），所以$d=(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$。
得到四个数的值：$a=1$，$b=9$，$c=-3$，$d=4$，从小到大排序为：$-3＜1＜4＜9$，即$c＜a＜d＜b$。
【答案】
D
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算，立方根运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对实数相关运算规则的掌握程度，解题的关键是准确运用各类运算的性质计算出每个数的结果，计算时要特别注意符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
3.若$10^{2x}=25$，则$10^{-x}$的值为
$\dfrac{1}{5}$
.答案
3.$\frac{1}{5}$ 【提示】$\because 10^{2x}=25$,
$\therefore (10^x)^2=25$,
即$10^x=\pm5.$
又$\because 10^x＞0$,
$\therefore 10^x=5.$
$\therefore 10^{-x}=\frac{1}{10^x}=\frac{1}{5}.$
$\therefore (10^x)^2=25$,
即$10^x=\pm5.$
又$\because 10^x＞0$,
$\therefore 10^x=5.$
$\therefore 10^{-x}=\frac{1}{10^x}=\frac{1}{5}.$
解析
【分析】
要求$10^{-x}$的值，首先结合已知条件$10^{2x}=25$，利用幂的乘方的逆运算将$10^{2x}$变形为$(10^x)^2$，先求出$10^x$的取值；再根据正数的任何次幂都为正的性质，舍去不符合要求的负值；最后根据负整数指数幂的性质，$10^{-x}$是$10^x$的倒数，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because 10^{2x}=25$
根据幂的乘方逆运算可得$(10^x)^2=25$
开平方得$10^x=\pm5$
又$\because 10^x＞0$（正数的任何次幂均为正数）
$\therefore$舍去$10^x=-5$，即$10^x=5$
根据负整数指数幂的性质$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p$为正整数$)$可得：
$10^{-x}=\frac{1}{10^x}=\frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
幂的乘方运算，负整数指数幂，指数幂的符号性质
【点评】
本题考查整数指数幂的相关运算，解题关键是通过幂的乘方的逆变形求出$10^x$的值，易错点是容易忽略正数的指数幂恒为正，误保留负值导致结果错误，熟练掌握指数幂的运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要求$10^{-x}$的值，首先结合已知条件$10^{2x}=25$，利用幂的乘方的逆运算将$10^{2x}$变形为$(10^x)^2$，先求出$10^x$的取值；再根据正数的任何次幂都为正的性质，舍去不符合要求的负值；最后根据负整数指数幂的性质，$10^{-x}$是$10^x$的倒数，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because 10^{2x}=25$
根据幂的乘方逆运算可得$(10^x)^2=25$
开平方得$10^x=\pm5$
又$\because 10^x＞0$（正数的任何次幂均为正数）
$\therefore$舍去$10^x=-5$，即$10^x=5$
根据负整数指数幂的性质$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p$为正整数$)$可得：
$10^{-x}=\frac{1}{10^x}=\frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
幂的乘方运算，负整数指数幂，指数幂的符号性质
【点评】
本题考查整数指数幂的相关运算，解题关键是通过幂的乘方的逆变形求出$10^x$的值，易错点是容易忽略正数的指数幂恒为正，误保留负值导致结果错误，熟练掌握指数幂的运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
4.计算：$a^{-2}b^{3} ÷ (a^{2}b)^{-3} =$
$a^4b^6$
.答案
4.$a^4b^6$
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的相关运算，解题思路如下：第一步先利用积的乘方与幂的乘方法则化简除式$(a^2b)^{-3}$，第二步根据同底数幂的除法法则，分别计算相同底数的指数差，计算过程中要注意负指数的符号处理，最终得到化简结果。
【解析】
1. 先计算除式的乘方：根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得
$(a^{2}b)^{-3}=(a^2)^{-3}· b^{-3}=a^{2×(-3)}b^{1×(-3)}=a^{-6}b^{-3}$
2. 计算整式除法：根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为整数），分别计算a、b的指数：
a的指数：$-2 - (-6) = 4$
b的指数：$3 - (-3) = 6$
因此原式化简结果为$a^4b^6$。
【答案】
$a^4b^6$
【知识点】
整数指数幂运算、同底数幂的除法、积的乘方
【点评】
本题属于整数指数幂运算的基础题，重点考查学生对幂的各类运算法则的掌握程度，计算时需格外注意负指数的符号变换，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
本题考查整数指数幂的相关运算，解题思路如下：第一步先利用积的乘方与幂的乘方法则化简除式$(a^2b)^{-3}$，第二步根据同底数幂的除法法则，分别计算相同底数的指数差，计算过程中要注意负指数的符号处理，最终得到化简结果。
【解析】
1. 先计算除式的乘方：根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得
$(a^{2}b)^{-3}=(a^2)^{-3}· b^{-3}=a^{2×(-3)}b^{1×(-3)}=a^{-6}b^{-3}$
2. 计算整式除法：根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为整数），分别计算a、b的指数：
a的指数：$-2 - (-6) = 4$
b的指数：$3 - (-3) = 6$
因此原式化简结果为$a^4b^6$。
【答案】
$a^4b^6$
【知识点】
整数指数幂运算、同底数幂的除法、积的乘方
【点评】
本题属于整数指数幂运算的基础题，重点考查学生对幂的各类运算法则的掌握程度，计算时需格外注意负指数的符号变换，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
5.已知 $ x + x^{-1} = a $，求 $ x^2 + x^{-2} $ 的值.
答案
5.解:$\because x+x^{-1}=a$,
$\therefore x+\frac{1}{x}=a.$
$\therefore (x+\frac{1}{x})^2=a^2$,即$x^2+\frac{1}{x^2}+2=a^2.$
$\therefore x^2+x^{-2}=a^2-2.$
$\therefore x+\frac{1}{x}=a.$
$\therefore (x+\frac{1}{x})^2=a^2$,即$x^2+\frac{1}{x^2}+2=a^2.$
$\therefore x^2+x^{-2}=a^2-2.$
解析
【分析】
首先我们可以根据负整数指数幂的意义，把负指数形式转化为更熟悉的分式形式：$x^{-1}=\frac{1}{x}$，$x^{-2}=\frac{1}{x^2}$，此时已知条件变为$x+\frac{1}{x}=a$，要求的是$x^2+\frac{1}{x^2}$的值。观察两个式子的结构，可联想到完全平方和公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，本题中$m=x$、$n=\frac{1}{x}$，二者的乘积为1，因此只要把已知等式两边平方，展开后整理就能得到所求式子的值。
【解析】
解：$\because x+x^{-1}=a$
$\therefore x+\frac{1}{x}=a$
将等式两边同时平方，得：
$(x+\frac{1}{x})^2=a^2$
根据完全平方公式展开左边：
$x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=a^2$
化简得：$x^2+2+x^{-2}=a^2$
移项可得：$x^2+x^{-2}=a^2-2$
【答案】
$a^2 - 2$
【知识点】
1. 负整数指数幂的意义
2. 完全平方公式
【点评】
本题是代数运算的基础题型，核心是通过负整数指数幂的意义完成式子形式的转化，再结合完全平方公式的变形求解，熟练掌握公式的变形技巧是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先我们可以根据负整数指数幂的意义，把负指数形式转化为更熟悉的分式形式：$x^{-1}=\frac{1}{x}$，$x^{-2}=\frac{1}{x^2}$，此时已知条件变为$x+\frac{1}{x}=a$，要求的是$x^2+\frac{1}{x^2}$的值。观察两个式子的结构，可联想到完全平方和公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，本题中$m=x$、$n=\frac{1}{x}$，二者的乘积为1，因此只要把已知等式两边平方，展开后整理就能得到所求式子的值。
【解析】
解：$\because x+x^{-1}=a$
$\therefore x+\frac{1}{x}=a$
将等式两边同时平方，得：
$(x+\frac{1}{x})^2=a^2$
根据完全平方公式展开左边：
$x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=a^2$
化简得：$x^2+2+x^{-2}=a^2$
移项可得：$x^2+x^{-2}=a^2-2$
【答案】
$a^2 - 2$
【知识点】
1. 负整数指数幂的意义
2. 完全平方公式
【点评】
本题是代数运算的基础题型，核心是通过负整数指数幂的意义完成式子形式的转化，再结合完全平方公式的变形求解，熟练掌握公式的变形技巧是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
