1.对于方程$2x^2 - 3x - 4 = 0$，根的判别式$b^2 - 4ac$的值是().

A.$-23$
B.$17$
C.$25$
D.$41$

1.D

【分析】
要解这道题，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，根的判别式公式为$\Delta = b^2-4ac$。解题时第一步需从给定方程中准确提取$a、b、c$的值，尤其要注意系数的符号，第二步将系数代入公式，按照有理数混合运算规则计算即可得到结果。
【解析】
首先确定方程$2x^2 - 3x - 4 = 0$的各项系数：
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-4$。
将系数代入根的判别式公式：
$\begin{aligned}b^2-4ac&=(-3)^2 - 4×2×(-4)\\&=9 - (-32)\\&=9+32\\&=41\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
1. 根的判别式计算 2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，主要考查根的判别式公式的运用能力，易错点是提取系数时忽略符号，或有理数运算时符号处理错误，计算时要注意负号的运算规则。
【难度系数】
0.85

2.(2025,河南,5)一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的根的情况是().

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

2.A

【分析】
要判断一元二次方程根的情况，最常用的方法是利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$来判断。首先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确找出对应系数$a、b、c$，再代入公式计算$\Delta$的值，最后根据$\Delta$的取值范围对应根的情况即可得出结论：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。也可以通过直接解方程的方式验证根的情况。
【解析】
方法一（判别式法）：
题中方程$x^2-2x=0$符合一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得：
$a=1$，$b=-2$，$c=0$
代入根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×0 = 4-0=4$
∵$4＞0$，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根。
方法二（解方程验证）：
对$x^2-2x=0$因式分解得$x(x-2)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$，可知方程有两个不相等的实数根。
综上本题选A选项。
【答案】A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查根的判别式的应用，只要能准确识别方程各项系数、正确计算判别式的取值，即可快速得出结论，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9

3.下列方程有实数根的是().

A.$2x^2 + x + 1 = 0$
B.$x^2 - x - 1 = 0$
C.$x^2 - 6x + 10 = 0$
D.$x^2 - \sqrt{2}x + 1 = 0$

3.B

【分析】
要判断一元二次方程是否有实数根，可借助根的判别式完成：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta ≥0$时方程有实数根，当$\Delta ＜0$时方程无实数根。因此只需分别计算四个选项方程的判别式，筛选出$\Delta ≥0$的选项即可。
【解析】
根据一元二次方程根的判别式规则：对$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta = b^2 - 4ac$，$\Delta≥0$时方程有实根，逐个计算如下：
选项A：方程$2x^2 + x + 1 = 0$中，$a=2,b=1,c=1$，$\Delta =1^2 -4×2×1=1-8=-7＜0$，无实数根；
选项B：方程$x^2 - x - 1 = 0$中，$a=1,b=-1,c=-1$，$\Delta =(-1)^2 -4×1×(-1)=1+4=5＞0$，有两个不相等的实数根；
选项C：方程$x^2 - 6x + 10 = 0$中，$a=1,b=-6,c=10$，$\Delta =(-6)^2 -4×1×10=36-40=-4＜0$，无实数根；
选项D：方程$x^2 - \sqrt{2}x + 1 = 0$中，$a=1,b=-\sqrt{2},c=1$，$\Delta =(-\sqrt{2})^2 -4×1×1=2-4=-2＜0$，无实数根。
综上，有实数根的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用，解题核心是准确提取方程各项系数、正确计算判别式，计算时要注意系数的正负，避免运算失误。
【难度系数】
0.8

4.下列方程中有两个相等的实数根的是().

A.$4x^2 -5x -1=0$
B.$x^2 -x -25=0$
C.$2x^2 -3x +5=0$
D.$4x^2 -4x +1=0$

4.D

【分析】
要判断一元二次方程是否有两个相等的实数根，需用到一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。解题时只需分别计算四个选项中方程的判别式，找到$\Delta=0$的选项即可，计算时要注意准确代入各项系数，尤其不要漏掉系数的符号。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，且$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，逐一计算各选项：
选项A：方程$4x^2 -5x -1=0$中，$a=4,b=-5,c=-1$，
$\Delta=(-5)^2-4×4×(-1)=25+16=41＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2 -x -25=0$中，$a=1,b=-1,c=-25$，
$\Delta=(-1)^2-4×1×(-25)=1+100=101＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
选项C：方程$2x^2 -3x +5=0$中，$a=2,b=-3,c=5$，
$\Delta=(-3)^2-4×2×5=9-40=-31＜0$，方程没有实数根，不符合要求；
选项D：方程$4x^2 -4x +1=0$中，$a=4,b=-4,c=1$，
$\Delta=(-4)^2-4×4×1=16-16=0$，方程有两个相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础类题型，核心考察根的判别式的应用，只要牢记判别式的计算公式以及不同取值对应的根的三种情况，计算时注意系数符号不要出错，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8

5.(2025,新疆,6)若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + a = 0$无实数根,则实数$a$的取值范围是().

A.$a＜1$
B.$a＞1$
C.$a≤1$
D.$a≥1$

5.B

【分析】
看到一元二次方程无实数根的问题，首先想到用根的判别式判断根的情况的知识点：对于一元二次方程，判别式小于0时无实根。解题步骤如下：第一步先明确一元二次方程的各项系数，注意符号不要出错；第二步将系数代入判别式公式，结合无实根的条件列出不等式；第三步解不等式得到a的取值范围，匹配正确选项即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），根的判别式为$\Delta = B^2-4AC$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程无实数根。
本题中方程$x^2-2x+a=0$是一元二次方程，对应系数为$A=1$，$B=-2$，$C=a$，
代入判别式得：$\Delta = (-2)^2 - 4×1× a = 4-4a$。
因为方程无实数根，所以$\Delta＜0$，即：
$4-4a ＜ 0$
移项得：$4 ＜ 4a$
两边同时除以4得：$a＞1$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，只要牢记判别式的取值和根的对应规律，准确计算判别式、正确解不等式即可得分。
【难度系数】
0.8

6.方程$0.2x^2 + 0.5x - 1 = 0$中，$b^2 - 4ac =$.

6.1.05

【分析】
要计算一元二次方程的$b^2 - 4ac$，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），第一步先从给定方程中准确找出对应系数$a$、$b$、$c$，注意系数要包含本身的符号；第二步将$a$、$b$、$c$的值代入判别式公式$b^2-4ac$，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
首先确定方程$0.2x^2 + 0.5x - 1 = 0$的各项系数：
对比一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得$a=0.2$，$b=0.5$，$c=-1$。
将系数代入判别式公式计算：
$\begin{aligned}b^2-4ac&=0.5^2 - 4×0.2×(-1)\\&=0.25 + 0.8\\&=1.05\end{aligned}$
【答案】
1.05
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 根的判别式计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程各项系数的识别和判别式公式的应用，解题时需特别注意常数项的符号，避免因漏看负号出现计算错误。
【难度系数】
0.85

7.(2025,广东,13)不解方程,判断一元二次方程$2x^2 + x -1=0$的根的情况是.

7.方程有两个不相等的实数根

【分析】
不解方程判断一元二次方程根的情况，需用一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号判断：首先从给定方程中找出一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）对应的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入判别式计算后，根据$\Delta＞0$、$\Delta=0$、$\Delta＜0$分别对应两个不相等的实数根、两个相等的实数根、无实数根的规则判断即可。
【解析】
已知方程$2x^2 + x -1=0$是一元二次方程，对应一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），可得：
$a=2$，$b=1$，$c=-1$
代入根的判别式计算：
$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4×2×(-1) = 1 + 8 = 9$
因为$\Delta=9＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
方程有两个不相等的实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常考题，核心考查根的判别式的应用，解题关键是准确识别方程各项系数，正确计算判别式的符号即可得出结果。
【难度系数】
0.9

8.若关于$x$的一元二次方程$2x^2 + x + c = 0$有实数根，则$c$的取值范围是。

8.$c≤ \frac{1}{8}$

【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程有实数根的等价条件是判别式Δ≥0，先对应找到给定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项的取值，代入判别式得到关于c的一元一次不等式，正确解不等式即可得到c的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时，方程有实数根。
在方程$2x^2 + x + c = 0$中，$a=2$，$b=1$，常数项为$c$，
因为方程有实数根，所以$\Delta≥0$，即：
$1^2 - 4×2× c ≥ 0$
计算得：$1 - 8c ≥ 0$
移项得：$-8c ≥ -1$
不等式两边同时除以$-8$，不等号方向改变，得：$c≤ \frac{1}{8}$
【答案】
$c≤ \frac{1}{8}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考点是根的判别式的应用，解题时需要注意两点：一是准确对应方程各项的系数，二是解不等式两边除以负数时，不等号方向要改变，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8

9.解方程$x^2 - x -1=0$的结果是.

9.$x_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$

【分析】
本题是求解一元二次方程的基础题，观察方程为$ax^2+bx+c=0$的标准形式，且无法直接通过因式分解求解，因此选择公式法解题。解题思路如下：第一步先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，注意系数的正负号；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实数根；第三步若判别式非负，代入一元二次方程求根公式计算得到两个根即可。
【解析】
解：对于方程$x^2 - x -1=0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-1$。
先计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
即$x_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，核心考查公式法解一元二次方程的应用，解题时需注意准确识别各项系数的符号，正确计算判别式，避免因符号错误或计算失误失分。
【难度系数】
0.8

10.若关于$x$的一元二次方程$x(kx - 4) + 5 = 0$没有实数根，则$k$的最小整数值是.

10.1 【提示】原方程化为$kx^2 -4x +5=0,k≠0$且$\Delta=16-20k＜0$,解得$k＞\frac{4}{5}$.

【分析】
首先，题目明确是关于x的一元二次方程，因此首先要满足一元二次方程的核心要求：二次项系数不为0。其次，方程没有实数根，对应一元二次方程根的判别式Δ＜0。解题逻辑为：①先把原方程整理为一元二次方程的一般形式；②结合一元二次方程的定义确定k的第一个限制条件；③根据无实根的条件列关于k的不等式，求解得到k的取值范围；④在取值范围内找到最小的整数值即可。
【解析】
第一步：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开$x(kx - 4) + 5 = 0$，可得$kx^2 - 4x + 5 = 0$。
第二步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，因此$k ≠ 0$。
第三步：因为方程没有实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，其中$a=k$，$b=-4$，$c=5$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4 × k × 5 ＜ 0$
计算化简得：$16 - 20k ＜ 0$
移项得：$20k ＞ 16$
两边同时除以20得：$k ＞ \frac{4}{5}$
第四步：结合$k ≠ 0$和$k ＞ \frac{4}{5}$的要求，满足条件的最小整数k为1。
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，解题时要先根据方程类型确定系数的限制要求，再结合根的情况利用判别式建立不等式求解，最后注意所求结果是整数值，要结合取值范围筛选符合要求的答案。
【难度系数】
0.7

11.不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)$3x^2 + 2x -5=0$；
(2)$4x^2 -12x +9=0$。

11.【解】(1)$\because a=3,b=2,c=-5$,
$\therefore \Delta=b^2-4ac=2^2-4×3×(-5)=64＞0.$
$\therefore$该方程有两个不相等的实数根.
(2)$\because a=4,b=-12,c=9$,
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-12)^2-4×4×9=0.$
$\therefore$该方程有两个相等的实数根.

【分析】
要判断一元二次方程根的情况，可利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$求解，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），第一步先从给定方程中提取带符号的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步将三个系数代入判别式公式计算结果；第三步根据判别式的取值判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
(1) 对于方程$3x^2 + 2x -5=0$
$\because a=3,b=2,c=-5$
$\therefore \Delta=b^2-4ac=2^2-4×3×(-5)=4+60=64＞0$
$\therefore$该方程有两个不相等的实数根。
(2) 对于方程$4x^2 -12x +9=0$
$\because a=4,b=-12,c=9$
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-12)^2-4×4×9=144-144=0$
$\therefore$该方程有两个相等的实数根。
【答案】
(1) 有两个不相等的实数根；(2) 有两个相等的实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题的关键是准确提取带符号的各项系数，牢记判别式取值和根的对应关系即可快速解题，注意计算时不要弄错常数项、一次项的符号。
【难度系数】
0.9