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12.解方程:$4x^2 -8x +3=0.$
答案
12.【解】移项,得$4x^2 -8x=-3$.
二次项系数化为1,得$x^2 -2x=-\frac{3}{4}$.
配方,得$(x-1)^2=\frac{1}{4}$.$\therefore x-1=\pm\frac{1}{2}$.
$\therefore$原方程的解是$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$.
二次项系数化为1,得$x^2 -2x=-\frac{3}{4}$.
配方,得$(x-1)^2=\frac{1}{4}$.$\therefore x-1=\pm\frac{1}{2}$.
$\therefore$原方程的解是$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
这是一元二次方程求解的基础题，可采用配方法解题，思路如下：第一步先移项，将常数项移到等号右侧，使等号左侧仅保留二次项和一次项；第二步将二次项系数化为1，统一为$x^2+bx$的形式，方便后续配方；第三步利用完全平方公式对左侧配方，将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式；第四步对等式两边开平方，转化为两个一元一次方程，最终求出方程的解。
【解析】
解：移项，得$4x^2 -8x=-3$
二次项系数化为1，得$x^2 -2x=-\frac{3}{4}$
配方，得$(x-1)^2=\frac{1}{4}$
$\therefore x-1=\pm\frac{1}{2}$
$\therefore$原方程的解是$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$
【答案】
$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，重点考查配方法的标准操作步骤，熟练掌握移项、系数化1、配方、开方的流程即可快速解题。
【难度系数】
0.85
这是一元二次方程求解的基础题，可采用配方法解题，思路如下：第一步先移项，将常数项移到等号右侧，使等号左侧仅保留二次项和一次项；第二步将二次项系数化为1，统一为$x^2+bx$的形式，方便后续配方；第三步利用完全平方公式对左侧配方，将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式；第四步对等式两边开平方，转化为两个一元一次方程，最终求出方程的解。
【解析】
解：移项，得$4x^2 -8x=-3$
二次项系数化为1，得$x^2 -2x=-\frac{3}{4}$
配方，得$(x-1)^2=\frac{1}{4}$
$\therefore x-1=\pm\frac{1}{2}$
$\therefore$原方程的解是$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$
【答案】
$x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，重点考查配方法的标准操作步骤，熟练掌握移项、系数化1、配方、开方的流程即可快速解题。
【难度系数】
0.85
1.(2024,德州,8)把多项式$x^2 -3x +4$进行配方,结果为(
A.$(x-3)^2 -5$
B.$(x-\dfrac{3}{2})^2 +\dfrac{7}{4}$
C.$(x-\dfrac{3}{2})^2 +\dfrac{25}{4}$
D.$(x+\dfrac{3}{2})^2 +\dfrac{7}{4}$
B
).A.$(x-3)^2 -5$
B.$(x-\dfrac{3}{2})^2 +\dfrac{7}{4}$
C.$(x-\dfrac{3}{2})^2 +\dfrac{25}{4}$
D.$(x+\dfrac{3}{2})^2 +\dfrac{7}{4}$
答案
1.B
解析
【分析】
这是二次三项式的配方问题，二次项系数为1，解题思路如下：1. 先分离二次项和一次项，将常数项暂时单独放置；2. 根据完全平方公式的结构特征，加上一次项系数一半的平方，凑出完全平方式，同时要减去这个相同的数，保证多项式的整体值不变；3. 最后合并常数项得到配方结果，再匹配选项即可。
【解析】
对多项式$x^2 -3x +4$进行配方：
1. 凑完全平方结构：
$x^2 -3x +4 = x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 - (\dfrac{3}{2})^2 + 4$
2. 将前三项改写为完全平方形式：
$= (x - \dfrac{3}{2})^2 - \dfrac{9}{4} + 4$
3. 合并常数项：
$= (x - \dfrac{3}{2})^2 + (-\dfrac{9}{4} + \dfrac{16}{4}) = (x - \dfrac{3}{2})^2 + \dfrac{7}{4}$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是掌握二次项系数为1时的配方操作规则，注意凑完全平方时需“加同一个数再减同一个数”保证原式值不变，该技能是后续解一元二次方程、研究二次函数性质的重要基础。
【难度系数】
0.8
这是二次三项式的配方问题，二次项系数为1，解题思路如下：1. 先分离二次项和一次项，将常数项暂时单独放置；2. 根据完全平方公式的结构特征，加上一次项系数一半的平方，凑出完全平方式，同时要减去这个相同的数，保证多项式的整体值不变；3. 最后合并常数项得到配方结果，再匹配选项即可。
【解析】
对多项式$x^2 -3x +4$进行配方：
1. 凑完全平方结构：
$x^2 -3x +4 = x^2 - 3x + (\dfrac{3}{2})^2 - (\dfrac{3}{2})^2 + 4$
2. 将前三项改写为完全平方形式：
$= (x - \dfrac{3}{2})^2 - \dfrac{9}{4} + 4$
3. 合并常数项：
$= (x - \dfrac{3}{2})^2 + (-\dfrac{9}{4} + \dfrac{16}{4}) = (x - \dfrac{3}{2})^2 + \dfrac{7}{4}$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是掌握二次项系数为1时的配方操作规则，注意凑完全平方时需“加同一个数再减同一个数”保证原式值不变，该技能是后续解一元二次方程、研究二次函数性质的重要基础。
【难度系数】
0.8
2.方程$\frac{1}{2}x^2 -4x -1=0$的解为(
A.$x_1=-4+3\sqrt{2},x_2=-4-3\sqrt{2}$
B.$x_1=0,x_2=8$
C.$x_1=4+3\sqrt{2},x_2=4-3\sqrt{2}$
D.$x_1=4+\sqrt{17},x_2=4-\sqrt{17}$
C
).A.$x_1=-4+3\sqrt{2},x_2=-4-3\sqrt{2}$
B.$x_1=0,x_2=8$
C.$x_1=4+3\sqrt{2},x_2=4-3\sqrt{2}$
D.$x_1=4+\sqrt{17},x_2=4-\sqrt{17}$
答案
2.C
解析
【分析】
这是一道求解一元二次方程的题目，我们可以先消去方程中的分数系数简化计算，再选择配方法或者公式法求解，最后将结果和选项对比即可得到答案。解题时先整理方程，若用配方法则先把常数项移到等号右侧，再给左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式后开方求解；若用公式法则先确定a、b、c的值，计算判别式后代入求根公式计算即可。
【解析】
方法一：配方法
原方程为$\frac{1}{2}x^2 -4x -1=0$，
1. 方程两边同时乘2消去分数，得：$x^2 -8x -2=0$，
2. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 -8x=2$，
3. 配方：左右两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{-8}{2})^2=16$，得$x^2 -8x +16=2+16$，
4. 整理为完全平方式：$(x-4)^2=18$，
5. 开平方得：$x-4=\pm\sqrt{18}=\pm3\sqrt{2}$，
解得$x_1=4+3\sqrt{2}$，$x_2=4-3\sqrt{2}$，对应选项C。
方法二：公式法
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
1. 确定系数：$a=\frac{1}{2}$，$b=-4$，$c=-1$，
2. 计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2 -4×\frac{1}{2}×(-1)=18$，
3. 代入求根公式：$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{18}}{2×\frac{1}{2}}=4\pm3\sqrt{2}$，
即$x_1=4+3\sqrt{2}$，$x_2=4-3\sqrt{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
解一元二次方程、配方法、求根公式
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，消去二次项的分数系数后计算会更简便，熟练掌握配方法或公式法即可快速得出结果，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
这是一道求解一元二次方程的题目，我们可以先消去方程中的分数系数简化计算，再选择配方法或者公式法求解，最后将结果和选项对比即可得到答案。解题时先整理方程，若用配方法则先把常数项移到等号右侧，再给左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式后开方求解；若用公式法则先确定a、b、c的值，计算判别式后代入求根公式计算即可。
【解析】
方法一：配方法
原方程为$\frac{1}{2}x^2 -4x -1=0$，
1. 方程两边同时乘2消去分数，得：$x^2 -8x -2=0$，
2. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 -8x=2$，
3. 配方：左右两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{-8}{2})^2=16$，得$x^2 -8x +16=2+16$，
4. 整理为完全平方式：$(x-4)^2=18$，
5. 开平方得：$x-4=\pm\sqrt{18}=\pm3\sqrt{2}$，
解得$x_1=4+3\sqrt{2}$，$x_2=4-3\sqrt{2}$，对应选项C。
方法二：公式法
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
1. 确定系数：$a=\frac{1}{2}$，$b=-4$，$c=-1$，
2. 计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2 -4×\frac{1}{2}×(-1)=18$，
3. 代入求根公式：$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{18}}{2×\frac{1}{2}}=4\pm3\sqrt{2}$，
即$x_1=4+3\sqrt{2}$，$x_2=4-3\sqrt{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
解一元二次方程、配方法、求根公式
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，消去二次项的分数系数后计算会更简便，熟练掌握配方法或公式法即可快速得出结果，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
3.已知一个直角三角形两条直角边长之和为14，面积为24，则它的两条直角边的差的绝对值为
2
。答案
3.2
解析
【分析】
我们可以先设两条直角边的长度分别为a、b，从题干可提取两个已知条件：①两条直角边长之和为14，即$a+b=14$；②直角三角形面积为24，结合面积公式可推出$ab$的值。要求两条直角边差的绝对值$|a-b|$，既可以利用完全平方公式的变形$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，代入已知值快速计算，也可以通过列一元二次方程求出两条直角边的具体长度，再计算差值的绝对值。
【解析】
解法一：利用完全平方公式变形求解
设两条直角边长分别为$a$、$b$，根据题意可得：
$\begin{cases}a + b = 14 \\\frac{1}{2}ab = 24\end{cases}$
由第二个式子化简得：$ab=48$
根据完全平方公式变形：$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
将$a+b=14$、$ab=48$代入得：
$(a-b)^2=14^2-4×48=196-192=4$
所以$|a-b|=\sqrt{4}=2$
解法二：列一元二次方程求解
设其中一条直角边长为$x$，则另一条直角边长为$14-x$，根据面积公式列方程：
$\frac{1}{2}x(14-x)=24$
整理得：$x^2-14x+48=0$
因式分解得：$(x-6)(x-8)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=8$
两条直角边分别为6和8，差的绝对值为$|8-6|=2$
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式、直角三角形面积计算、一元二次方程应用
【点评】
本题属于基础题型，两种解题方法都符合常规解题思路，熟练掌握代数公式的变形技巧可以简化运算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
我们可以先设两条直角边的长度分别为a、b，从题干可提取两个已知条件：①两条直角边长之和为14，即$a+b=14$；②直角三角形面积为24，结合面积公式可推出$ab$的值。要求两条直角边差的绝对值$|a-b|$，既可以利用完全平方公式的变形$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，代入已知值快速计算，也可以通过列一元二次方程求出两条直角边的具体长度，再计算差值的绝对值。
【解析】
解法一：利用完全平方公式变形求解
设两条直角边长分别为$a$、$b$，根据题意可得：
$\begin{cases}a + b = 14 \\\frac{1}{2}ab = 24\end{cases}$
由第二个式子化简得：$ab=48$
根据完全平方公式变形：$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
将$a+b=14$、$ab=48$代入得：
$(a-b)^2=14^2-4×48=196-192=4$
所以$|a-b|=\sqrt{4}=2$
解法二：列一元二次方程求解
设其中一条直角边长为$x$，则另一条直角边长为$14-x$，根据面积公式列方程：
$\frac{1}{2}x(14-x)=24$
整理得：$x^2-14x+48=0$
因式分解得：$(x-6)(x-8)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=8$
两条直角边分别为6和8，差的绝对值为$|8-6|=2$
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式、直角三角形面积计算、一元二次方程应用
【点评】
本题属于基础题型，两种解题方法都符合常规解题思路，熟练掌握代数公式的变形技巧可以简化运算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4.一个矩形草坪的面积为$280\ \mathrm{m}^2$，相邻两条边的差为$18\ \mathrm{m}$，则该草坪的周长是
76
m.答案
4.76
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆矩形的面积和周长计算公式：矩形面积=长×宽，矩形周长=2×(长+宽)。已知矩形面积和相邻两边的差，我们可以先设较短边的长度为未知数，用含未知数的式子表示较长边的长度，再根据面积公式列一元二次方程，求解方程后舍去不符合实际意义的负根，得到两条邻边的长度，最后代入周长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：设矩形较短的边长为$x\ \mathrm{m}$，则较长的边长为$(x+18)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式列方程：
$x(x+18)=280$
整理得一元二次方程：
$x^2+18x-280=0$
因式分解得：
$(x+28)(x-10)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-28$
因为边长为正数，所以舍去$x=-28$。
则较短边长为$10\ \mathrm{m}$，较长边长为$10+18=28\ \mathrm{m}$。
矩形周长为：$2×(10+28)=76\ \mathrm{m}$。
【答案】
76
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形的面积计算；矩形的周长计算
【点评】
本题属于一元二次方程在几何问题中的基础应用，解题核心是结合矩形面积公式建立方程，求解后要注意根据实际意义对根进行取舍，掌握一元二次方程的解法和矩形的基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先回忆矩形的面积和周长计算公式：矩形面积=长×宽，矩形周长=2×(长+宽)。已知矩形面积和相邻两边的差，我们可以先设较短边的长度为未知数，用含未知数的式子表示较长边的长度，再根据面积公式列一元二次方程，求解方程后舍去不符合实际意义的负根，得到两条邻边的长度，最后代入周长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：设矩形较短的边长为$x\ \mathrm{m}$，则较长的边长为$(x+18)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式列方程：
$x(x+18)=280$
整理得一元二次方程：
$x^2+18x-280=0$
因式分解得：
$(x+28)(x-10)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-28$
因为边长为正数，所以舍去$x=-28$。
则较短边长为$10\ \mathrm{m}$，较长边长为$10+18=28\ \mathrm{m}$。
矩形周长为：$2×(10+28)=76\ \mathrm{m}$。
【答案】
76
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形的面积计算；矩形的周长计算
【点评】
本题属于一元二次方程在几何问题中的基础应用，解题核心是结合矩形面积公式建立方程，求解后要注意根据实际意义对根进行取舍，掌握一元二次方程的解法和矩形的基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
5.时尚服装商店的某种服装进价为每件 60 元.据市场调查:这种服装每件提价 20 元销售时,每月可卖出 400 件;在此基础上,销售价每涨价 1 元,就少卖出 5 件,那么该商店销售这种服装每件定价为多少元时,当月正好获得 4 500 元利润?
答案
5.【解】设该商店销售这种服装每件定价为$x$元,
根据题意,得$(x-60)[400-5(x-80)]=4\ 500$,
整理,得$x^2 -220x +10\ 500=0$.
配方,得$(x-110)^2=1\ 600$. 解得$x_1=150,x_2=70$(不合题意,舍去).
答:该商店销售这种服装每件定价为 150 元时,当月正好获得4 500元利润.
根据题意,得$(x-60)[400-5(x-80)]=4\ 500$,
整理,得$x^2 -220x +10\ 500=0$.
配方,得$(x-110)^2=1\ 600$. 解得$x_1=150,x_2=70$(不合题意,舍去).
答:该商店销售这种服装每件定价为 150 元时,当月正好获得4 500元利润.
解析
【分析】
本题属于销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系。首先设定价为x元，先推导单件利润：单件利润为定价减进价，即(x-60)元；再推导销售数量：已知定价为80元（进价60元+提价20元）时销量为400件，每涨1元少卖5件，定价x元时比80元涨了(x-80)元，因此少卖5(x-80)件，销量为[400-5(x-80)]件；最后根据总利润4500元列方程求解，解出根后结合“售价在80元基础上涨价”的前提舍去不符合实际的根即可。
【解析】
解：设该商店销售这种服装每件定价为$x$元，
根据题意列方程得：
$(x-60)[400-5(x-80)]=4500$
整理方程得：
$x^2 -220x +10500=0$
配方得：
$(x-110)^2=1600$
开方解得$x_1=150$，$x_2=70$
由于售价是在80元的基础上涨价，70＜80不符合题意，故舍去$x_2=70$。
答：该商店销售这种服装每件定价为150元时，当月正好获得4500元利润。
【答案】
150元
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；配方法解方程
【点评】
本题是典型的销售类一元二次方程应用题，解题关键是准确梳理题中数量关系，正确表示出单件利润和销售量，求解后要注意结合实际情境验证根的合理性，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
本题属于销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系。首先设定价为x元，先推导单件利润：单件利润为定价减进价，即(x-60)元；再推导销售数量：已知定价为80元（进价60元+提价20元）时销量为400件，每涨1元少卖5件，定价x元时比80元涨了(x-80)元，因此少卖5(x-80)件，销量为[400-5(x-80)]件；最后根据总利润4500元列方程求解，解出根后结合“售价在80元基础上涨价”的前提舍去不符合实际的根即可。
【解析】
解：设该商店销售这种服装每件定价为$x$元，
根据题意列方程得：
$(x-60)[400-5(x-80)]=4500$
整理方程得：
$x^2 -220x +10500=0$
配方得：
$(x-110)^2=1600$
开方解得$x_1=150$，$x_2=70$
由于售价是在80元的基础上涨价，70＜80不符合题意，故舍去$x_2=70$。
答：该商店销售这种服装每件定价为150元时，当月正好获得4500元利润。
【答案】
150元
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；配方法解方程
【点评】
本题是典型的销售类一元二次方程应用题，解题关键是准确梳理题中数量关系，正确表示出单件利润和销售量，求解后要注意结合实际情境验证根的合理性，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
