1.将一元二次方程$x^2 -6x -8=0$配方后得到的方程为().

A.$(x-3)^2=1$
B.$(x-3)^2=17$
C.$(x+3)^2=1$
D.$(x+3)^2=17$

1.B

【分析】
要解决这道一元二次方程配方的题目，首先回忆配方法的常规步骤：对于二次项系数为1的一元二次方程，第一步先把常数项移到等号右侧，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧凑成完全平方的形式，即可得到配方后的方程，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 -6x -8=0$进行配方：
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2 -6x = 8$；
第二步：配方，一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(-3)^2=9$，在方程两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 = 8 +9$
等号左侧根据完全平方公式可整理为$(x-3)^2$，右侧计算得$17$，即配方后方程为$(x-3)^2=17$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，核心是掌握配方法的操作步骤，解题时要注意一次项系数的符号，避免配方时符号出错。
【难度系数】
0.8

2.用配方法解方程$x^2 -8x +5=0$，正确的变形为().

A.$(x-6)^2=11$
B.$(x-8)^2=11$
C.$(x-4)^2=11$
D.$(x-4)^2=21$

2.C

【分析】
这道题考查用配方法变形一元二次方程，解题思路如下：首先回忆配方法的标准步骤，第一步将常数项移到等号右侧，只保留含未知数的项在左侧；第二步计算一次项系数一半的平方，在等式左右两边同时加上这个数，保证等式成立；第三步将左侧整理为完全平方形式，右侧合并常数项，最后和选项对比就能得到答案。要注意配方时符号不要出错，必须给等式两边同时加相同的数。
【解析】
对原方程$x^2 -8x +5=0$按配方法步骤变形：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 8x = -5$；
2. 配方：一次项系数为$-8$，它的一半是$-4$，平方为$(-4)^2=16$，给等式两边同时加16，得$x^2 - 8x + 16 = -5 + 16$；
3. 整理：左侧是完全平方形式，右侧合并常数项，得$(x-4)^2=11$。
对比选项，C符合变形结果。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的基础考查题，核心考察配方的操作规则，易错点是容易记错配方时添加的常数为一次项系数一半的平方，或出现只给等式单侧加常数的错误，熟练掌握配方法步骤就能快速解答。
【难度系数】
0.8

3.把方程$x^2 +4x -5=0$化成$(x+a)^2 =b$的形式，则下列结果正确的是().

A.$a=-2,b=3$
B.$a=2,b=9$
C.$a=2,b=1$
D.$a=2,b=5$

3.B

【分析】
本题需要用配方法将给定的一元二次方程转化为$(x+a)^2 =b$的形式，解题思路分三步：第一步先将常数项移到方程右侧，第二步根据完全平方公式的结构，在方程左右两侧同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，第三步对比形式得到$a$、$b$的值，再匹配选项即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 +4x -5=0$进行变形：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 +4x =5$
2. 配方，一次项系数为4，其一半的平方为$(\frac{4}{2})^2=4$，在方程左右两边同时加4：
$x^2 +4x +4 =5 +4$
3. 左侧写成完全平方形式，右侧计算结果：
$(x+2)^2 =9$
对比$(x+a)^2 =b$的形式，可得$a=2$，$b=9$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 等式的性质
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考查将一元二次方程配方为完全平方式的操作步骤，熟练掌握“移项、加一次项系数一半的平方、凑完全平方”的配方法流程即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4.解方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的结果是().

A.$x_1=-1,x_2=3$
B.$x_1=-1,x_2=2$
C.$x_1=1,x_2=-3$
D.$x_1=1,x_2=2$

4.A

【分析】
本题考查一元二次方程的求解，可优先选用因式分解法简化计算：首先观察方程左边的二次三项式，尝试用十字相乘法分解因式，将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别求解两个一元一次方程即可得到方程的根。
【解析】
解法一（因式分解法）：
对原方程左边的二次三项式进行十字相乘分解：
二次项系数1可拆为$1 × 1$，常数项-3可拆为$1 × (-3)$，交叉相乘求和得$1 × (-3) + 1 × 1 = -2$，恰好等于一次项系数，因此：
$x^2 - 2x -3 = (x+1)(x-3)$
原方程可化为：$(x+1)(x-3)=0$
令每个因式等于0，得：
$x+1=0$ 或 $x-3=0$
分别解得：$x_1=-1$，$x_2=3$
也可通过配方法验证：原方程移项得$x^2-2x=3$，配方得$x^2-2x+1=3+1$，即$(x-1)^2=4$，开方得$x-1=\pm 2$，解得结果与因式分解法一致。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 解一元二次方程
2. 因式分解法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握因式分解、配方法、公式法等常用解方程方法即可快速作答，使用十字相乘法时要注意常数项的符号，避免出错。
【难度系数】
0.85

5.解方程$(x+3)(x-1)=5$的结果是().

A.$x_1=4,x_2=-2$
B.$x_1=3,x_2=-1$
C.$x_1=-3,x_2=1$
D.$x_1=-4,x_2=2$

5.D

【分析】
要解这个方程，首先注意方程右边不是0，不能直接令两个因式分别等于5，正确思路是：第一步先利用多项式乘多项式法则展开左边的乘积，第二步通过移项、合并同类项把方程整理为一元二次方程的一般形式，第三步选择合适的方法（本题用因式分解法最简便）求解方程，最后匹配选项即可。
【解析】
解：首先展开方程左边：
$(x+3)(x-1)=x^2 -x +3x -3 = x^2 +2x -3$
原方程可化为：
$x^2 +2x -3 =5$
移项合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 +2x -8 =0$
对左边用十字相乘法因式分解：
$(x+4)(x-2)=0$
令每个因式分别为0，得：
$x+4=0$ 或 $x-2=0$
解得：$x_1=-4, x_2=2$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法解方程、多项式乘多项式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是部分同学会错误地直接令两个因式分别等于5求解，牢记解因式形式的方程时，必须先把方程整理为右侧为0的形式再拆分因式求解。
【难度系数】
0.8

6.根据题意填空：
(1)$x^2 + 6x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；(2)$x^2 - 5x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。

6.(1)9,3 (2)$\frac{25}{4},\frac{5}{2}$

【分析】
本题考查完全平方公式的应用，属于配方法的基础操作。解题思路：先回忆完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，当二次项系数为1时，等式左边的常数项是一次项系数一半的平方，等式右侧括号里的常数是一次项系数的一半，只需找到每小问的一次项系数，按上述规则计算即可。
【解析】
(1) 对于$x^2+6x$，一次项系数为6：
一次项系数的一半为$6÷2=3$，
需要配的常数项为$3^2=9$，
因此$x^2+6x+9=(x+3)^2$，依次填9、3。
(2) 对于$x^2-5x$，一次项系数为-5：
一次项系数的一半为$-5÷2=-\frac{5}{2}$，
需要配的常数项为$(-\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，
因此$x^2-5x+\frac{25}{4}=(x-\frac{5}{2})^2$，依次填$\frac{25}{4}$、$\frac{5}{2}$。
【答案】
(1)9，3；(2)$\frac{25}{4}$，$\frac{5}{2}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，是解一元二次方程配方法步骤的核心基础，需要熟练掌握二次项系数为1时常数项的配法，计算时注意一次项系数的符号即可。
【难度系数】
0.9

7.根据题意填空：
(1)$x^2 + \frac{4}{3}x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；(2)$4x^2 + 12x + \_\_\_\_\_\_ = (2x + 3)^2$

7.(1)$\frac{4}{9},\frac{2}{3}$ (2)9

【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题核心是牢记完全平方和公式的结构特征：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。解题思路：
1. 第(1)小题：已知二次项为$x^2$，可知公式中$a=x$，再结合一次项系数求出$b$的值，最后计算$b^2$即为要填的常数项；
2. 第(2)小题：可直接将右侧的完全平方式展开，对比左侧即可得到缺的常数项，也可对照完全平方公式的结构直接计算常数项。
【解析】
(1) 根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，本题中$a=x$，则一次项$2ab=\frac{4}{3}x$，代入$a=x$得：
$2· x· b=\frac{4}{3}x$，两边同时除以不为0的$x$，得$2b=\frac{4}{3}$，解得$b=\frac{2}{3}$。
则常数项为$b^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，因此依次填$\frac{4}{9}$、$\frac{2}{3}$。
(2) 将右侧$(2x+3)^2$展开，根据完全平方公式得：
$(2x+3)^2=(2x)^2+2×2x×3+3^2=4x^2+12x+9$，对比左侧式子，可知缺的常数项为9。
【答案】
(1)$\frac{4}{9}$，$\frac{2}{3}$；(2)$9$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础练习题，重点考查对完全平方公式结构的熟悉程度，熟练掌握公式中各项的对应关系，是后续用配方法解一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.85

8.一元二次方程$x^2 + 2x + 1 = 4$的解是.

8.$x_1=1,x_2=-3$

【分析】
拿到本题首先观察方程结构，发现等号左侧的$x^2+2x+1$刚好符合完全平方和公式的形式，因此可以优先选择直接开平方法解题，比整理成一般式再求解更简便。解题步骤为先将左侧转化为完全平方式，把方程变形为$(x+a)^2=b$（$b≥0$）的形式，再对两边开平方转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：原方程可变形为：
$(x+1)^2=4$
对等式两边同时开平方，得：
$x+1=\pm2$
即$x+1=2$ 或 $x+1=-2$
分别解两个一元一次方程：
当$x+1=2$时，$x_1=2-1=1$；
当$x+1=-2$时，$x_2=-2-1=-3$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-3$
【知识点】
完全平方公式、直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题，解题时先观察方程结构选择简便解法，能减少计算量，提升解题正确率，需要注意开平方时不要漏掉负根的情况。
【难度系数】
0.8

9.若二次三项式$x^2 - 2(m+1)x +16$是一个完全平方式，则m的值为.

9.$m_1=-5,m_2=3$

【分析】
要解决这个问题，首先回忆完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式。本题中二次三项式的首项是$x^2$（对应$a=x$），常数项是$16=4^2$（对应$b^2=16$，因此$b=\pm4$），中间项的系数应该对应$\pm2ab$，由此可以建立关于$m$的方程求解，注意要考虑完全平方的两种形式，避免漏解。
【解析】
因为二次三项式$x^2 - 2(m+1)x +16$是完全平方式，根据完全平方公式的结构：
首项$x^2=(x)^2$，常数项$16=(\pm4)^2$，因此中间项$-2(m+1)x$应等于$\pm 2· x·4=\pm8x$。
由此列方程：
$-2(m+1)=8$ 或 $-2(m+1)=-8$
解第一个方程：
两边同时除以$-2$得：$m+1=-4$，解得$m=-5$；
解第二个方程：
两边同时除以$-2$得：$m+1=4$，解得$m=3$。
综上，$m$的值为$-5$或$3$。
【答案】
$m_1=-5,m_2=3$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，易错点是忽略完全平方存在“和的平方”“差的平方”两种形式，只计算一种情况导致漏解，解题时需注意分类讨论，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.7

10.把下列方程化为$(x+m)^2=n$的形式：
(1)方程$2x^2 -4x -7=0$，可化为________；
(2)方程$x^2 -x +\frac{1}{5}=0$，可化为________。

10.(1)$(x-1)^2=\frac{9}{2}$ (2)$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{20}$

【分析】
本题要求用配方法将一元二次方程化为$(x+m)^2=n$的形式，解题思路遵循配方法的固定步骤：①若二次项系数不为1，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；②将常数项移到方程的右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方的形式，右边合并计算常数即可得到结果。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 -4x -7=0$：
第一步，两边同时除以2，将二次项系数化为1，得：
$x^2 - 2x - \frac{7}{2}=0$
第二步，移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 -2x = \frac{7}{2}$
第三步，两边同时加上一次项系数$-2$一半的平方，即$(-1)^2=1$：
$x^2 -2x +1 = \frac{7}{2} +1$
左边写成完全平方形式，右侧计算得：
$(x-1)^2 = \frac{9}{2}$
(2) 对于方程$x^2 -x +\frac{1}{5}=0$：
第一步，二次项系数已经是1，直接移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 -x = -\frac{1}{5}$
第二步，两边同时加上一次项系数$-1$一半的平方，即$(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$：
$x^2 -x +\frac{1}{4} = -\frac{1}{5} + \frac{1}{4}$
左边写成完全平方形式，右侧通分计算得：
$(x-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{20}$
【答案】
(1)$(x-1)^2=\frac{9}{2}$；(2)$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{20}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先化1，移项时要注意符号变化，计算一次项系数一半的平方时不要出错。
【难度系数】
0.8

11.用配方法解方程：
(1)$x^2 + 4x = 2$；
(2)$x^2 - 3x - \frac{7}{4} = 0$。

11.【解】(1)配方,得$(x+2)^2=6$.
$\therefore x+2=\pm\sqrt{6}$.
$\therefore$原方程的解是$x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$.
(2)配方,得$(x-\frac{3}{2})^2=4$.
$\therefore x-\frac{3}{2}=\pm2$.
$\therefore$原方程的解是$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{7}{2}$.

【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程左边转化为完全平方式，右边为常数，再通过直接开平方求解。解题步骤为：①若二次项系数不为1，先化为1；②将常数项移到方程右侧；③方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧配方为完全平方式；④开平方转化为两个一元一次方程求解。
(1)题方程已满足二次项系数为1、常数项在右侧的要求，直接给两边加一次项系数4的一半的平方（即$2^2=4$）即可配方；(2)题先将常数项移到右侧，再给两边加一次项系数-3的一半的平方（即$(-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$）即可配方。
【解析】
(1) 对$x^2 + 4x = 2$配方，方程左右两边同时加4，得：
$x^2 + 4x + 4 = 2 + 4$
即$(x+2)^2 = 6$
直接开平方得：$x+2 = \pm\sqrt{6}$
移项即可得到方程的两个解。
(2) 先移项，将常数项移到方程右侧，得：
$x^2 - 3x = \frac{7}{4}$
配方，方程左右两边同时加$\frac{9}{4}$，得：
$x^2 -3x + \frac{9}{4} = \frac{7}{4} + \frac{9}{4}$
即$(x-\frac{3}{2})^2 = 4$
直接开平方得：$x-\frac{3}{2} = \pm2$
分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【答案】
(1)$x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$；
(2)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{7}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考察配方法的标准操作步骤，解题的关键是熟练掌握“方程两边加一次项系数一半的平方”这一配方核心技巧，计算时注意符号和分数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8