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12.解方程：$(x+4)^2=4$
答案
12.【解】由方程$(x+4)^2=4$,得$x+4=\pm2$.
$\therefore x+4=2$,或$x+4=-2$.
$\therefore$原方程的解为$x_1=-2,x_2=-6$.
$\therefore x+4=2$,或$x+4=-2$.
$\therefore$原方程的解为$x_1=-2,x_2=-6$.
解析
【分析】
观察方程特征，左边是含未知数的整式的平方，右边是正的常数，适合用直接开平方法求解。解题时先将$(x+4)$看作一个整体，根据平方根的定义：若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，可将二次方程降次转化为两个一元一次方程，再分别求解这两个一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
解：由方程$(x+4)^2=4$，根据平方根的性质得$x+4=\pm2$，
$\therefore x+4=2$，或$x+4=-2$，
当$x+4=2$时，解得$x=2-4=-2$；
当$x+4=-2$时，解得$x=-2-4=-6$，
$\therefore$原方程的解为$x_1=-2,x_2=-6$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=-6$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心是运用整体思想，通过开平方将二次方程转化为已学的一元一次方程求解，运算难度低，需要熟练掌握直接开平方法的适用条件和解题步骤。
【难度系数】
0.9
观察方程特征，左边是含未知数的整式的平方，右边是正的常数，适合用直接开平方法求解。解题时先将$(x+4)$看作一个整体，根据平方根的定义：若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，可将二次方程降次转化为两个一元一次方程，再分别求解这两个一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
解：由方程$(x+4)^2=4$，根据平方根的性质得$x+4=\pm2$，
$\therefore x+4=2$，或$x+4=-2$，
当$x+4=2$时，解得$x=2-4=-2$；
当$x+4=-2$时，解得$x=-2-4=-6$，
$\therefore$原方程的解为$x_1=-2,x_2=-6$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=-6$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心是运用整体思想，通过开平方将二次方程转化为已学的一元一次方程求解，运算难度低，需要熟练掌握直接开平方法的适用条件和解题步骤。
【难度系数】
0.9
1.方程$(x-3)^2=1$的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为(
A.8
B.10
C.8或10
D.不能确定
B
).A.8
B.10
C.8或10
D.不能确定
答案
1.B
解析
【分析】
解题需分三步思考：①先利用直接开平方法求解一元二次方程，得到方程的两个根；②因为等腰三角形的腰和底未明确，所以要分两种情况分类讨论，分别将两个根作为腰或底构造三角形；③每种情况都必须验证是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），排除不符合的情况后，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
第一步：解方程$(x-3)^2=1$
对等式两边开平方，得$x-3=\pm1$
当$x-3=1$时，$x_1=4$；当$x-3=-1$时，$x_2=2$
即方程的两个根为2和4。
第二步：分类讨论等腰三角形的边长，验证三边关系
情况1：若腰长为2，底边长为4，此时三角形三边长为2，2，4
$\because 2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，$\therefore$ 该情况不成立，舍去。
情况2：若腰长为4，底边长为2，此时三角形三边长为4，4，2
$\because 4+2＞4$，$4+4＞2$，满足三角形三边关系，$\therefore$ 该情况成立。
此时三角形周长为$4+4+2=10$。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与三角形性质的综合题，易错点是忽略三角形三边关系的验证，直接将两种情况的周长都算上而错选C，解题时遇到等腰三角形边长未明确腰和底的问题，一定要先分类讨论再验证三边合理性。
【难度系数】
0.7
解题需分三步思考：①先利用直接开平方法求解一元二次方程，得到方程的两个根；②因为等腰三角形的腰和底未明确，所以要分两种情况分类讨论，分别将两个根作为腰或底构造三角形；③每种情况都必须验证是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），排除不符合的情况后，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
第一步：解方程$(x-3)^2=1$
对等式两边开平方，得$x-3=\pm1$
当$x-3=1$时，$x_1=4$；当$x-3=-1$时，$x_2=2$
即方程的两个根为2和4。
第二步：分类讨论等腰三角形的边长，验证三边关系
情况1：若腰长为2，底边长为4，此时三角形三边长为2，2，4
$\because 2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，$\therefore$ 该情况不成立，舍去。
情况2：若腰长为4，底边长为2，此时三角形三边长为4，4，2
$\because 4+2＞4$，$4+4＞2$，满足三角形三边关系，$\therefore$ 该情况成立。
此时三角形周长为$4+4+2=10$。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与三角形性质的综合题，易错点是忽略三角形三边关系的验证，直接将两种情况的周长都算上而错选C，解题时遇到等腰三角形边长未明确腰和底的问题，一定要先分类讨论再验证三边合理性。
【难度系数】
0.7
2.将一个面积为1 m²的正方形的边长增加x m，若得到的新的正方形的面积为9 m²，则x的值为(
A.1
B.2
C.3
D.8
B
).A.1
B.2
C.3
D.8
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先根据原正方形的面积求出原边长，再结合边长增加x后的新正方形面积列一元二次方程，最后解方程并结合实际意义舍去不符合要求的根即可。要注意边长增加的长度为正数，负根没有实际意义需要排除。
【解析】
1. 求原正方形边长：
已知原正方形面积为1 m²，根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为边长），可得原正方形边长$a=\sqrt{1}=1\ \mathrm{m}$。
2. 列方程：
边长增加$x$ m后，新正方形边长为$(1+x)\ \mathrm{m}$，已知新正方形面积为9 m²，因此列方程：
$(1+x)^2=9$
3. 解方程：
用直接开平方法求解，得$1+x=\pm3$：
当$1+x=3$时，解得$x=2$，符合实际意义；
当$1+x=-3$时，解得$x=-4$，边长增加量不能为负，舍去。
因此$x$的值为2。
【答案】
B
【知识点】
正方形面积计算，直接开平方法解一元二次方程，一元二次方程实际应用
【点评】
本题结合几何图形面积考查一元二次方程的实际应用，解题时需注意结合实际情景对方程的根进行取舍，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据原正方形的面积求出原边长，再结合边长增加x后的新正方形面积列一元二次方程，最后解方程并结合实际意义舍去不符合要求的根即可。要注意边长增加的长度为正数，负根没有实际意义需要排除。
【解析】
1. 求原正方形边长：
已知原正方形面积为1 m²，根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为边长），可得原正方形边长$a=\sqrt{1}=1\ \mathrm{m}$。
2. 列方程：
边长增加$x$ m后，新正方形边长为$(1+x)\ \mathrm{m}$，已知新正方形面积为9 m²，因此列方程：
$(1+x)^2=9$
3. 解方程：
用直接开平方法求解，得$1+x=\pm3$：
当$1+x=3$时，解得$x=2$，符合实际意义；
当$1+x=-3$时，解得$x=-4$，边长增加量不能为负，舍去。
因此$x$的值为2。
【答案】
B
【知识点】
正方形面积计算，直接开平方法解一元二次方程，一元二次方程实际应用
【点评】
本题结合几何图形面积考查一元二次方程的实际应用，解题时需注意结合实际情景对方程的根进行取舍，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3.方程$\frac{1}{2}(x+2)^2 -3=1$的根是
$x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$
.答案
3.$x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$
解析
【分析】
这是一道求解一元二次方程的题目，观察方程结构可发现含$(x+2)$的平方项，优先选择直接开平方法求解更简便。解题思路如下：第一步先移项，将不含未知数的常数项全部移到等号右侧；第二步将平方项的系数化为1，得到$(x+2)^2$等于非负常数的形式；第三步对等式两边直接开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；第四步分别求解两个一次方程，即可得到原方程的根。
【解析】
解：原方程为$\frac{1}{2}(x+2)^2 -3=1$
1. 移项，得：$\frac{1}{2}(x+2)^2=1+3$
计算右侧得：$\frac{1}{2}(x+2)^2=4$
2. 两边同时乘2，将平方项系数化为1，得：$(x+2)^2=8$
3. 两边直接开平方，得：$x+2=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$
4. 移项求解，得：$x=-2\pm2\sqrt{2}$
【答案】
$x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，二次根式化简
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，重点考查对直接开平方法的掌握，解题时将含未知数的平方部分看作整体整理后再开方，比展开为一般式求解更快捷，不易出错。
【难度系数】
0.8
这是一道求解一元二次方程的题目，观察方程结构可发现含$(x+2)$的平方项，优先选择直接开平方法求解更简便。解题思路如下：第一步先移项，将不含未知数的常数项全部移到等号右侧；第二步将平方项的系数化为1，得到$(x+2)^2$等于非负常数的形式；第三步对等式两边直接开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；第四步分别求解两个一次方程，即可得到原方程的根。
【解析】
解：原方程为$\frac{1}{2}(x+2)^2 -3=1$
1. 移项，得：$\frac{1}{2}(x+2)^2=1+3$
计算右侧得：$\frac{1}{2}(x+2)^2=4$
2. 两边同时乘2，将平方项系数化为1，得：$(x+2)^2=8$
3. 两边直接开平方，得：$x+2=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$
4. 移项求解，得：$x=-2\pm2\sqrt{2}$
【答案】
$x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，二次根式化简
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，重点考查对直接开平方法的掌握，解题时将含未知数的平方部分看作整体整理后再开方，比展开为一般式求解更快捷，不易出错。
【难度系数】
0.8
4.若一个正方形的面积是12 cm²，则该正方形的边长为
$2\sqrt{3}$
cm.答案
4.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先回忆正方形面积与边长的关系：正方形面积等于边长的平方。我们可以设边长为未知数，根据面积公式列方程，由于边长是正数，因此取算术平方根，最后将所得二次根式化为最简形式即可得到答案。
【解析】
设该正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$），根据正方形面积公式可得：
$x^2=12$
因为边长为正数，所以$x$是12的算术平方根，即：
$x=\sqrt{12}$
化简二次根式：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
因此该正方形的边长为$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
正方形面积公式，算术平方根，二次根式化简
【点评】
本题属于基础题，解题时要结合图形的实际意义，边长为非负数，因此求平方根时只需保留算术平方根，最终的二次根式结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆正方形面积与边长的关系：正方形面积等于边长的平方。我们可以设边长为未知数，根据面积公式列方程，由于边长是正数，因此取算术平方根，最后将所得二次根式化为最简形式即可得到答案。
【解析】
设该正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$），根据正方形面积公式可得：
$x^2=12$
因为边长为正数，所以$x$是12的算术平方根，即：
$x=\sqrt{12}$
化简二次根式：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
因此该正方形的边长为$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
正方形面积公式，算术平方根，二次根式化简
【点评】
本题属于基础题，解题时要结合图形的实际意义，边长为非负数，因此求平方根时只需保留算术平方根，最终的二次根式结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
5.某农场计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于盲目扩大种植，造成草莓滞销.为了加快销售，减少损失，该农场对价格进行了两次下调，每次价格下调的百分率相同.
(1)设该农场每次价格下调的百分率为$ x $，则第一次下调后的单价为
(2)若该农场对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售，求该农场每次价格下调的百分率.
(1)设该农场每次价格下调的百分率为$ x $，则第一次下调后的单价为
$15(1-x)$
元，第二次下调后的单价为$15(1-x)^2$
元(用含有$ x $的式子表示)；(2)若该农场对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售，求该农场每次价格下调的百分率.
答案
5.【解】(1)$15(1-x),15(1-x)^2$
(2)由题意,得$15(1-x)^2=9.6$.
解得$x_1=0.2,x_2=1.8$.
$\because$降价的百分率不可能大于1,
$\therefore x_2=1.8$不符合题意,应舍去.
符合题目要求的是$x_1=0.2=20\%$.
答:该农场每次价格下调的百分率是20%.
(2)由题意,得$15(1-x)^2=9.6$.
解得$x_1=0.2,x_2=1.8$.
$\because$降价的百分率不可能大于1,
$\therefore x_2=1.8$不符合题意,应舍去.
符合题目要求的是$x_1=0.2=20\%$.
答:该农场每次价格下调的百分率是20%.
解析
【分析】
(1) 价格下调的核心逻辑是：下调后的价格=原价×(1-下调百分率)。第一次下调以原价15元为基础，直接套用公式即可得到第一次下调后的单价；第二次下调是在第一次下调后的单价基础上，再次按相同百分率下调，因此用第一次下调后的单价再乘(1-x)，就能得到第二次下调后的单价。
(2) 第二问已知两次下调后的最终单价为9.6元，将第一问得到的第二次下调后单价的代数式等于9.6，即可列出一元二次方程。求解方程后要注意降价百分率的实际意义，百分率不可能大于1，因此需要舍去不符合实际的根，最终转化为百分数即可得到结果。
【解析】
(1) 第一次下调后单价：原价为15元，下调百分率为x，因此价格为$15(1-x)$元；
第二次下调以$15(1-x)$为基础再次下调x，因此价格为$15(1-x)·(1-x)=15(1-x)^2$元。
(2) 根据题意列方程：
$15(1-x)^2=9.6$
方程两边同时除以15，得：
$(1-x)^2=0.64$
开平方得：
$1-x=\pm0.8$
解得$x_1=0.2$，$x_2=1.8$。
$\because$ 降价百分率不能大于1，$\therefore x_2=1.8$不符合题意，舍去。
$\therefore x=0.2=20\%$。
【答案】
(1) $15(1-x)$，$15(1-x)^2$；
(2) 该农场每次价格下调的百分率是20%。
【知识点】
列代数式、一元二次方程应用、百分率问题
【点评】
本题是百分率类基础应用题，解题关键是掌握每次调价后价格的计算规律，求解方程后要结合实际场景对根进行取舍，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.8
(1) 价格下调的核心逻辑是：下调后的价格=原价×(1-下调百分率)。第一次下调以原价15元为基础，直接套用公式即可得到第一次下调后的单价；第二次下调是在第一次下调后的单价基础上，再次按相同百分率下调，因此用第一次下调后的单价再乘(1-x)，就能得到第二次下调后的单价。
(2) 第二问已知两次下调后的最终单价为9.6元，将第一问得到的第二次下调后单价的代数式等于9.6，即可列出一元二次方程。求解方程后要注意降价百分率的实际意义，百分率不可能大于1，因此需要舍去不符合实际的根，最终转化为百分数即可得到结果。
【解析】
(1) 第一次下调后单价：原价为15元，下调百分率为x，因此价格为$15(1-x)$元；
第二次下调以$15(1-x)$为基础再次下调x，因此价格为$15(1-x)·(1-x)=15(1-x)^2$元。
(2) 根据题意列方程：
$15(1-x)^2=9.6$
方程两边同时除以15，得：
$(1-x)^2=0.64$
开平方得：
$1-x=\pm0.8$
解得$x_1=0.2$，$x_2=1.8$。
$\because$ 降价百分率不能大于1，$\therefore x_2=1.8$不符合题意，舍去。
$\therefore x=0.2=20\%$。
【答案】
(1) $15(1-x)$，$15(1-x)^2$；
(2) 该农场每次价格下调的百分率是20%。
【知识点】
列代数式、一元二次方程应用、百分率问题
【点评】
本题是百分率类基础应用题，解题关键是掌握每次调价后价格的计算规律，求解方程后要结合实际场景对根进行取舍，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.8
