12.用公式法解方程：
(1)$x^2 - 2x - 3 = 0$；
(2)$3x^2 - 2x - 9 = 0$；
(3)$y^2 + 2 = 2\sqrt{2}y$；
(4)$2x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$。

12.【解】(1)$\because a=1,b=-2,c=-3$,
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-3)=16＞0.$
$\therefore$方程有两个不相等的实数根$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=1\pm2$,即$x_1=3,x_2=-1.$
(2)$\because a=3,b=-2,c=-9$,
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×3×(-9)=112＞0.$
$\therefore$方程有两个不相等的实数根$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm2\sqrt{7}}{3}.$
即$x_1=\frac{1+2\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}.$
(3)将方程$y^2+2=2\sqrt{2}y$化为一般形式是$y^2-2\sqrt{2}y+2=0$,其中$a=1,b=-2\sqrt{2},c=2$,
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{2})^2-4×1×2=0.$
$\therefore$方程有两个相等的实数根$y_1=y_2=-\frac{b}{2a}=\sqrt{2}.$
(4)$\because a=2,b=-1,c=\frac{1}{4}$,
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×2×\frac{1}{4}=-1＜0.$
$\therefore$方程没有实数根.

【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，注意系数要带对应符号；②计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根；③若$\Delta≥0$，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根，结果要化为最简形式。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，
$\because a=1,b=-2,c=-3$,
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-3)=16＞0$,
$\therefore$方程有两个不相等的实数根，代入求根公式得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2×1}=1\pm2$,
即$x_1=3,x_2=-1$.
(2) 对于方程$3x^2 - 2x - 9 = 0$，
$\because a=3,b=-2,c=-9$,
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×3×(-9)=112＞0$,
$\therefore$方程有两个不相等的实数根，代入求根公式得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{112}}{2×3}=\frac{1\pm2\sqrt{7}}{3}$,
即$x_1=\frac{1+2\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$.
(3) 先将方程$y^2 + 2 = 2\sqrt{2}y$移项化为一般形式：$y^2-2\sqrt{2}y+2=0$，
$\because a=1,b=-2\sqrt{2},c=2$,
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{2})^2-4×1×2=0$,
$\therefore$方程有两个相等的实数根，
$\therefore y_1=y_2=-\frac{b}{2a}=\frac{2\sqrt{2}}{2×1}=\sqrt{2}$.
(4) 对于方程$2x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$，
$\because a=2,b=-1,c=\frac{1}{4}$,
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×2×\frac{1}{4}=-1＜0$,
$\therefore$方程没有实数根.
【答案】
(1)$x_1=3,x_2=-1$；
(2)$x_1=\frac{1+2\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$；
(3)$y_1=y_2=\sqrt{2}$；
(4)方程没有实数根。
【知识点】
公式法解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程一般式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，解题核心是严格遵循步骤规范，确定系数时要注意带对应符号，计算判别式时要细心，非一般形式的方程要先整理为一般形式再求解，有助于夯实一元二次方程解法的基础。
【难度系数】
0.75

1.(2024,绵阳,8)若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(k - 1)x + k^2 + 2 = 0$有实数根，则$k$的取值范围为().

A.$k ＞ -\dfrac{1}{2}$
B.$k ＜ -\dfrac{1}{2}$
C.$k ≥ -\dfrac{1}{2}$
D.$k ≤ -\dfrac{1}{2}$

1.D

【分析】
要确定一元二次方程有实数根时参数k的取值范围，需利用一元二次方程根的判别式求解：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有实数根的充要条件是判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$；接下来找出题目中方程对应的a、b、c的值，代入判别式得到关于k的不等式，最后解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(k - 1)x + k^2 + 2 = 0$有实数根，因此判别式$\Delta ≥ 0$。
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2(k-1)$，常数项$c=k^2+2$，代入判别式公式得：
$\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\\&=[-2(k-1)]^2 - 4×1×(k^2+2)\\&=4(k^2-2k+1) - 4k^2 - 8\\&=4k^2 -8k +4 -4k^2 -8\\&=-8k -4\end{aligned}$
由$\Delta ≥ 0$可得：
$-8k -4 ≥ 0$
移项得：$-8k ≥ 4$
不等式两边同时除以负数$-8$，不等号方向改变，解得：
$k ≤ -\frac{1}{2}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，整式化简
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查根的判别式的使用，解题时需要注意两点：一是判别式计算时整式展开要准确，二是解不等式两边除以负数时要记得改变不等号的方向，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.7

2.已知$a,b,c$为常数,点$P(a,c)$在第二象限,则关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况为().

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判定

2.B

【分析】
解题时首先根据第二象限内点的坐标特征确定a、c的符号，再结合一元二次方程根的判别式公式判断判别式的正负，即可得到方程根的情况。步骤如下：1. 第二象限的点横坐标小于0、纵坐标大于0，可推出a＜0，c＞0；2. 一元二次方程根的判别式为Δ=b²-4ac，结合a、c的符号可推出-4ac为正数，又因为b²是非负数，因此Δ一定大于0，对应方程有两个不相等的实数根。
【解析】
∵点P(a,c)在第二象限，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，即-4ac＞0，
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，
∵$b^2 ≥ 0$恒成立，
∴$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 + (-4ac) ＞ 0$，
∴该方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础综合题，将平面直角坐标系点的坐标性质和一元二次方程根的判别式考点结合，解题核心是先由点的位置得到a、c的符号关系，再代入判别式判断正负，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8

3.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -3x -k=0$.
(1)当________时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当________时,方程有两个相等的实数根;
(3)当________时,方程没有实数根.

3.(1)$k＞-\frac{9}{4}$ (2)$k=-\frac{9}{4}$ (3)$k＜-\frac{9}{4}$

【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解。解题步骤如下：首先从给定方程中确定对应的$a、b、c$（注意符号不要出错），再计算出判别式的表达式，最后分别根据“两个不相等实数根对应$\Delta＞0$、两个相等实数根对应$\Delta=0$、没有实数根对应$\Delta＜0$”的规则，列等式或不等式求解$k$的取值即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -3x -k=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-k$，先计算判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-3)^2 -4×1×(-k) = 9 + 4k$
(1) 当方程有两个不相等的实数根时，$\Delta＞0$，即：
$9+4k＞0$
解得$k＞-\frac{9}{4}$
(2) 当方程有两个相等的实数根时，$\Delta=0$，即：
$9+4k=0$
解得$k=-\frac{9}{4}$
(3) 当方程没有实数根时，$\Delta＜0$，即：
$9+4k＜0$
解得$k＜-\frac{9}{4}$
【答案】
(1)$k＞-\frac{9}{4}$ (2)$k=-\frac{9}{4}$ (3)$k＜-\frac{9}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是考查根的判别式应用的基础题型，需牢记判别式与一元二次方程根的三种对应关系，计算时要注意常数项的符号，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.85

4.(2024,南通,13)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -2x +k=0$有两个不相等的实数根.请写出一个满足题意的$k$的值.

4.$-1$(答案不唯一)

【分析】
要解决本题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。我们先代入题目中方程的系数，列出关于$k$的不等式，解不等式得到$k$的取值范围，再在范围内任选一个值即可。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 -2x +k=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=k$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta＞0$，即：
$\begin{aligned}(-2)^2 - 4×1× k &＞ 0\\4 - 4k &＞ 0\\-4k &＞ -4\\k &＜ 1\end{aligned}$
因此只要取小于1的实数都满足题意，例如$k=-1$。
【答案】
$-1$(答案不唯一)
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类题目，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是熟记根的不同情况对应的判别式取值范围，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.85

5.用公式法解方程$\sqrt{2}x^2 + 2\sqrt{6}x = \sqrt{2}$，有一位同学的解答如下：
∵在方程$\sqrt{2}x^2 + 2\sqrt{6}x = \sqrt{2}$中，$a=\sqrt{2}$，$b=2\sqrt{6}$，$c=\sqrt{2}$，
∴$b^2 -4ac=(2\sqrt{6})^2 -4×\sqrt{2}×\sqrt{2}=16$.
∴$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\sqrt{6}\pm\sqrt{16}}{2\sqrt{2}}=-\sqrt{3}\pm\sqrt{2}$.
故$x_1=-\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{3}+\sqrt{2}$.
请你分析以上解答有无错误，如果有错误，请指出错误的地方，并写出正确的结果.

5.【解】该解答有错误.正确解答如下：
将方程$\sqrt{2}x^2 + 2\sqrt{6}x = \sqrt{2}$化为一般形式是$\sqrt{2}x^2 + 2\sqrt{6}x - \sqrt{2}=0$,
其中$a=\sqrt{2},b=2\sqrt{6},c=-\sqrt{2},\therefore b^2-4ac=32.$
$\therefore x=\frac{-2\sqrt{6}\pm\sqrt{32}}{2\sqrt{2}}=-\sqrt{3}\pm2.$
故$x_1=2-\sqrt{3},x_2=-2-\sqrt{3}.$

【分析】
要判断原解答是否正确，首先要明确公式法解一元二次方程的核心前提：必须先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，才能准确确定$a$、$b$、$c$的取值，尤其要注意常数项$c$的符号。原解答的错误根源是没有移项，直接把等号右侧的$\sqrt{2}$当作常数项$c$，导致$c$的符号错误，后续判别式、求根结果均出错。正确解题思路为：先移项得到方程的一般形式，确定正确的$a、b、c$，再计算判别式，最后代入求根公式化简得到结果。
【解析】
原解答有错误，错误点为：未将方程化为一元二次方程的一般形式，误将等号右侧的$\sqrt{2}$当作常数项$c$，实际$c$应为$-\sqrt{2}$。
正确解题步骤：
1. 移项，将原方程化为一般形式：$\sqrt{2}x^2 + 2\sqrt{6}x - \sqrt{2}=0$
2. 确定各项系数：$a=\sqrt{2}$，$b=2\sqrt{6}$，$c=-\sqrt{2}$
3. 计算判别式：$b^2-4ac=(2\sqrt{6})^2 - 4×\sqrt{2}×(-\sqrt{2})=24+8=32$
4. 代入求根公式化简：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\sqrt{6}\pm\sqrt{32}}{2\sqrt{2}}=\frac{-2\sqrt{6}\pm4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=-\sqrt{3}\pm2$
5. 写出方程的两根：$x_1=2-\sqrt{3}$，$x_2=-2-\sqrt{3}$
【答案】
该解答有错误。正确解答如下：将方程$\sqrt{2}x^2 + 2\sqrt{6}x = \sqrt{2}$化为一般形式是$\sqrt{2}x^2 + 2\sqrt{6}x - \sqrt{2}=0$,其中$a=\sqrt{2},b=2\sqrt{6},c=-\sqrt{2},\therefore b^2-4ac=32$.$\therefore x=\frac{-2\sqrt{6}\pm\sqrt{32}}{2\sqrt{2}}=-\sqrt{3}\pm2$.故$x_1=2-\sqrt{3},x_2=-2-\sqrt{3}$。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
3. 二次根式化简
【点评】
本题主要考查公式法解一元二次方程的规范操作，易错点是忽略先化一般形式的步骤，导致常数项符号判断错误。解题时需严格遵循步骤，同时要注意二次根式运算的准确性。
【难度系数】
0.6