10. 如图，已知AC，DB的交点为E，AE=DE，$∠ A=∠ D$；过点E作$EF⊥ BC$，垂足为F.
（1）求证：$△ ABE≌△ DCE$；
（2）求证：F为边BC的中点.

证明：
(1) 在$△ ABE$和$△ DCE$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ D, \\AE = DE, \\∠ AEB = ∠ DEC,\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ DCE(\mathrm{ASA})$。
(2) $\because △ ABE ≌ △ DCE$，
$\therefore BE = CE$。
$\because EF ⊥ BC$，
$\therefore ∠ EFB = ∠ EFC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ EFB$和$\mathrm{Rt}△ EFC$中，
$\begin{cases}BE = CE, \\EF = EF,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ EFB ≌ \mathrm{Rt}△ EFC(\mathrm{HL})$，
$\therefore BF = CF$，
即$F$为边$BC$的中点。

11. 如图，AE与BD相交于点C，AC=EC，BC=DC，AB=4 cm，点P从点A出发，沿A→B→A的路径以3 cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E的路径以1 cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动。设点P的运动时间为t s。
（1）求证：AB//DE。
（2）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值。

（1）证明：
在$△ ABC$和$△ EDC$中，
$\{\begin{array}{l}AC=EC, \\∠ ACB=∠ ECD, \\BC=DC,\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ EDC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ A=∠ E$，
$\therefore AB// DE$（内错角相等，两直线平行）。
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（2）解：
由（1）中$△ ABC ≌ △ EDC$，可得$DE=AB=4\ \mathrm{cm}$。
当线段$PQ$经过点$C$时，$∠ ACP=∠ ECQ$，
又$\because AC=EC$，$∠ A=∠ E$，
$\therefore △ ACP ≌ △ ECQ(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AP=EQ$。
分两种情况讨论：
1. 当点$P$从$A$向$B$运动时，$0≤ t≤ \dfrac{4}{3}$，
$AP=3t\ \mathrm{cm}$，$EQ=DE-DQ=(4-t)\ \mathrm{cm}$，
列方程得：$3t=4-t$，
解得：$t=1$；
2. 当点$P$从$B$向$A$运动时，$\dfrac{4}{3}＜ t≤ \dfrac{8}{3}$，
$AP=(8-3t)\ \mathrm{cm}$，$EQ=DE-DQ=(4-t)\ \mathrm{cm}$，
列方程得：$8-3t=4-t$，
解得：$t=2$。
综上，$t$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{2}$。