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4. 已知一次函数的图象经过点$(1,2),(-1,-4)$.
（1）求这个函数的表达式.
（2）这个函数的图象经过怎样的平移,可经过点$(2,2)$? 所得图象的函数表达式是什么?
（1）求这个函数的表达式.
（2）这个函数的图象经过怎样的平移,可经过点$(2,2)$? 所得图象的函数表达式是什么?
答案
解：(1) 设该一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将点$(1,2)$、$(-1,-4)$代入表达式，得：
$\begin{cases}k + b = 2 \\-k + b = -4\end{cases}$
两式相加得$2b=-2$，解得$b=-1$，
将$b=-1$代入$k+b=2$，得$k=3$。
所以这个函数的表达式为$y=3x-1$。
(2) 平移后一次函数的比例系数不变，设平移后所得图象的函数表达式为$y=3x+m$，
将点$(2,2)$代入得：
$2 = 3×2 + m$，
解得$m=-4$。
所得图象的函数表达式为$y=3x-4$。
对比原函数$y=3x-1$，将原函数图象沿$y$轴向下平移3个单位长度，即可经过点$(2,2)$。
答：(1) 函数表达式为$y=3x-1$；(2) 将原函数图象向下平移3个单位可经过点$(2,2)$，所得图象的函数表达式为$y=3x-4$。
将点$(1,2)$、$(-1,-4)$代入表达式，得：
$\begin{cases}k + b = 2 \\-k + b = -4\end{cases}$
两式相加得$2b=-2$，解得$b=-1$，
将$b=-1$代入$k+b=2$，得$k=3$。
所以这个函数的表达式为$y=3x-1$。
(2) 平移后一次函数的比例系数不变，设平移后所得图象的函数表达式为$y=3x+m$，
将点$(2,2)$代入得：
$2 = 3×2 + m$，
解得$m=-4$。
所得图象的函数表达式为$y=3x-4$。
对比原函数$y=3x-1$，将原函数图象沿$y$轴向下平移3个单位长度，即可经过点$(2,2)$。
答：(1) 函数表达式为$y=3x-1$；(2) 将原函数图象向下平移3个单位可经过点$(2,2)$，所得图象的函数表达式为$y=3x-4$。
解析
【分析】
（1）求一次函数表达式可使用待定系数法：一次函数的标准形式为$y=kx+b$（$k≠0$），包含k、b两个未知参数，已知函数图象经过两个点，将两点坐标分别代入表达式，即可得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，就能得到函数表达式。
（2）一次函数图象平移时，直线的倾斜程度不变，即比例系数k的取值不变，因此可先设平移后的函数表达式为$y=3x+m$，再将点$(2,2)$代入表达式求出m的值，对比原函数的常数项，结合“上加下减常数项”的平移规律，即可确定平移的方向和距离。
【解析】
(1) 设该一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将点$(1,2)$、$(-1,-4)$代入表达式，得：
$\begin{cases}k + b = 2 \\-k + b = -4\end{cases}$
两式相加得$2b=-2$，解得$b=-1$，
将$b=-1$代入$k+b=2$，得$k=3$。
所以这个函数的表达式为$y=3x-1$。
(2) 平移后一次函数的比例系数不变，设平移后所得图象的函数表达式为$y=3x+m$，
将点$(2,2)$代入得：
$2 = 3×2 + m$，
解得$m=-4$。
所得图象的函数表达式为$y=3x-4$。
对比原函数$y=3x-1$，将原函数图象沿$y$轴向下平移3个单位长度，即可经过点$(2,2)$。
【答案】
(1) $y=3x-1$；
(2) 沿y轴向下平移3个单位长度，所得函数表达式为$y=3x-4$。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数平移性质
3. 二元一次方程组解法
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，第一问考察待定系数法的基础应用，第二问的解题关键是掌握一次函数平移时k值不变的性质，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
（1）求一次函数表达式可使用待定系数法：一次函数的标准形式为$y=kx+b$（$k≠0$），包含k、b两个未知参数，已知函数图象经过两个点，将两点坐标分别代入表达式，即可得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，就能得到函数表达式。
（2）一次函数图象平移时，直线的倾斜程度不变，即比例系数k的取值不变，因此可先设平移后的函数表达式为$y=3x+m$，再将点$(2,2)$代入表达式求出m的值，对比原函数的常数项，结合“上加下减常数项”的平移规律，即可确定平移的方向和距离。
【解析】
(1) 设该一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将点$(1,2)$、$(-1,-4)$代入表达式，得：
$\begin{cases}k + b = 2 \\-k + b = -4\end{cases}$
两式相加得$2b=-2$，解得$b=-1$，
将$b=-1$代入$k+b=2$，得$k=3$。
所以这个函数的表达式为$y=3x-1$。
(2) 平移后一次函数的比例系数不变，设平移后所得图象的函数表达式为$y=3x+m$，
将点$(2,2)$代入得：
$2 = 3×2 + m$，
解得$m=-4$。
所得图象的函数表达式为$y=3x-4$。
对比原函数$y=3x-1$，将原函数图象沿$y$轴向下平移3个单位长度，即可经过点$(2,2)$。
【答案】
(1) $y=3x-1$；
(2) 沿y轴向下平移3个单位长度，所得函数表达式为$y=3x-4$。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数平移性质
3. 二元一次方程组解法
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，第一问考察待定系数法的基础应用，第二问的解题关键是掌握一次函数平移时k值不变的性质，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 某市为鼓励居民节约用水，采用阶梯水价计费的方法，按月计算每户家庭的水费.月用水量不超过$20\ \mathrm{m}^3$时，按2元/$\mathrm{m}^3$计费；月用水量超过$20\ \mathrm{m}^3$时，其中的$20\ \mathrm{m}^3$仍按2元/$\mathrm{m}^3$收费，超过部分按2.6元/$\mathrm{m}^3$计费.设每户家庭用水量$x\ \mathrm{m}^3$时，应交水费$y$元.
（1）分别求出当$0{≤}x{≤}20$和$x＞20$时$y$关于$x$的函数表达式.
（2）小明家第二季度交纳水费情况如下表：
小明家该季度共用多少水？
（1）分别求出当$0{≤}x{≤}20$和$x＞20$时$y$关于$x$的函数表达式.
（2）小明家第二季度交纳水费情况如下表：
小明家该季度共用多少水？
答案
解：
(1) 当$0≤ x≤ 20$时，$y$关于$x$的函数表达式为：
$y=2x$
当$x＞20$时，$y=2×20 + 2.6(x-20)$，化简得：
$y=2.6x - 12$
(2) 当月用水量为$20\ \mathrm{m}^3$时，应交水费为$2×20=40$元。
四月水费30元$＜40$元，将$y=30$代入$y=2x$，得：
$2x=30$
解得$x=15$
五月水费34元$＜40$元，将$y=34$代入$y=2x$，得：
$2x=34$
解得$x=17$
六月水费42.6元$＞40$元，将$y=42.6$代入$y=2.6x-12$，得：
$2.6x -12 = 42.6$
解得$x=21$
该季度总用水量为$15+17+21=53\ (\mathrm{m}^3)$
答：小明家该季度共用$53\ \mathrm{m}^3$水。
(1) 当$0≤ x≤ 20$时，$y$关于$x$的函数表达式为：
$y=2x$
当$x＞20$时，$y=2×20 + 2.6(x-20)$，化简得：
$y=2.6x - 12$
(2) 当月用水量为$20\ \mathrm{m}^3$时，应交水费为$2×20=40$元。
四月水费30元$＜40$元，将$y=30$代入$y=2x$，得：
$2x=30$
解得$x=15$
五月水费34元$＜40$元，将$y=34$代入$y=2x$，得：
$2x=34$
解得$x=17$
六月水费42.6元$＞40$元，将$y=42.6$代入$y=2.6x-12$，得：
$2.6x -12 = 42.6$
解得$x=21$
该季度总用水量为$15+17+21=53\ (\mathrm{m}^3)$
答：小明家该季度共用$53\ \mathrm{m}^3$水。
解析
【分析】
本题是阶梯水价类的分段函数应用题，解题思路如下：
(1) 分两种情况推导函数表达式：①当$0≤x≤20$时，水费=用水单价×用水量，直接列式即可；②当$x＞20$时，水费由两部分组成：20$\mathrm{m}^3$的基础费用，加上超出20$\mathrm{m}^3$部分的加价费用，合并化简即可得到对应函数式。
(2) 首先计算用水量为20$\mathrm{m}^3$时的应付水费作为分界值，分别对比三个月的交费金额，判断每个月用水量所属的区间，代入对应函数表达式求出每月的用水量，最后将三个月用水量相加，即可得到第二季度总用水量。
【解析】
(1) 当$0≤x≤20$时，按2元/$\mathrm{m}^3$计费，因此$y$关于$x$的函数表达式为：
$y=2x$
当$x＞20$时，20$\mathrm{m}^3$按2元/$\mathrm{m}^3$收费，超出部分按2.6元/$\mathrm{m}^3$收费，因此：
$y=2×20 + 2.6(x-20)$
化简得：$y=2.6x - 12$
(2) 当月用水量为$20\ \mathrm{m}^3$时，应交水费为$2×20=40$元。
四月交费30元，$30＜40$，说明四月用水量未超过20$\mathrm{m}^3$，将$y=30$代入$y=2x$，得：
$2x=30$，解得$x=15$
五月交费34元，$34＜40$，说明五月用水量未超过20$\mathrm{m}^3$，将$y=34$代入$y=2x$，得：
$2x=34$，解得$x=17$
六月交费42.6元，$42.6＞40$，说明六月用水量超过20$\mathrm{m}^3$，将$y=42.6$代入$y=2.6x-12$，得：
$2.6x -12 = 42.6$，解得$x=21$
该季度总用水量为$15+17+21=53\ (\mathrm{m}^3)$
【答案】
(1) $0≤x≤20$时，$y=2x$；$x＞20$时，$y=2.6x-12$
(2) $53\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
分段函数；一次函数的实际应用；一元一次方程求解
【点评】
本题结合生活中的阶梯收费场景出题，核心考查分段函数的实际应用，解题的关键是先明确分段收费的分界点，判断每个月用水量对应的收费区间，再代入对应解析式计算即可，整体难度不大，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是阶梯水价类的分段函数应用题，解题思路如下：
(1) 分两种情况推导函数表达式：①当$0≤x≤20$时，水费=用水单价×用水量，直接列式即可；②当$x＞20$时，水费由两部分组成：20$\mathrm{m}^3$的基础费用，加上超出20$\mathrm{m}^3$部分的加价费用，合并化简即可得到对应函数式。
(2) 首先计算用水量为20$\mathrm{m}^3$时的应付水费作为分界值，分别对比三个月的交费金额，判断每个月用水量所属的区间，代入对应函数表达式求出每月的用水量，最后将三个月用水量相加，即可得到第二季度总用水量。
【解析】
(1) 当$0≤x≤20$时，按2元/$\mathrm{m}^3$计费，因此$y$关于$x$的函数表达式为：
$y=2x$
当$x＞20$时，20$\mathrm{m}^3$按2元/$\mathrm{m}^3$收费，超出部分按2.6元/$\mathrm{m}^3$收费，因此：
$y=2×20 + 2.6(x-20)$
化简得：$y=2.6x - 12$
(2) 当月用水量为$20\ \mathrm{m}^3$时，应交水费为$2×20=40$元。
四月交费30元，$30＜40$，说明四月用水量未超过20$\mathrm{m}^3$，将$y=30$代入$y=2x$，得：
$2x=30$，解得$x=15$
五月交费34元，$34＜40$，说明五月用水量未超过20$\mathrm{m}^3$，将$y=34$代入$y=2x$，得：
$2x=34$，解得$x=17$
六月交费42.6元，$42.6＞40$，说明六月用水量超过20$\mathrm{m}^3$，将$y=42.6$代入$y=2.6x-12$，得：
$2.6x -12 = 42.6$，解得$x=21$
该季度总用水量为$15+17+21=53\ (\mathrm{m}^3)$
【答案】
(1) $0≤x≤20$时，$y=2x$；$x＞20$时，$y=2.6x-12$
(2) $53\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
分段函数；一次函数的实际应用；一元一次方程求解
【点评】
本题结合生活中的阶梯收费场景出题，核心考查分段函数的实际应用，解题的关键是先明确分段收费的分界点，判断每个月用水量对应的收费区间，再代入对应解析式计算即可，整体难度不大，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
