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6. 已知一次函数 $ y_1 = kx + 2 $（$ k $ 为常数，$ k ≠ 0 $）和 $ y_2 = x - 3 $。
（1）当 $ k = -2 $ 时，若 $ y_1 ＞ y_2 $，求 $ x $ 的取值范围。
（2）当 $ x ＜ 1 $ 时，$ y_1 ＞ y_2 $。结合图象，直接写出 $ k $ 的取值范围。
（1）当 $ k = -2 $ 时，若 $ y_1 ＞ y_2 $，求 $ x $ 的取值范围。
（2）当 $ x ＜ 1 $ 时，$ y_1 ＞ y_2 $。结合图象，直接写出 $ k $ 的取值范围。
答案
解：
(1) 当$k=-2$时，$y_1=-2x+2$。
$\because y_1＞y_2$，
$\therefore -2x+2 ＞ x-3$，
移项得：$-3x ＞ -5$，
系数化为1得：$x ＜ \dfrac{5}{3}$。
(2) $k$的取值范围是$-4 ≤ k ≤ 1$且$k ≠ 0$。
(1) 当$k=-2$时，$y_1=-2x+2$。
$\because y_1＞y_2$，
$\therefore -2x+2 ＞ x-3$，
移项得：$-3x ＞ -5$，
系数化为1得：$x ＜ \dfrac{5}{3}$。
(2) $k$的取值范围是$-4 ≤ k ≤ 1$且$k ≠ 0$。
解析
【分析】
（1）本小问解题思路：先将k=-2代入y₁的表达式得到具体的函数式，再根据y₁＞y₂的条件列出关于x的一元一次不等式，按照解一元一次不等式的步骤求解即可得到x的取值范围。
（2）本小问需结合一次函数图象分析：首先取临界点x=1，计算此时y₂的取值，要使x＜1时y₁恒大于y₂，需保证x=1处y₁的取值不小于y₂，得到k的下限；再分析斜率的情况：当k=1时，y₁与y₂平行，y₁恒大于y₂，满足条件；当k＞1时，y₁斜率大于y₂，x足够小时y₁会小于y₂，不满足要求；最后结合题目k≠0的限制，综合得到k的取值范围。
【解析】
(1) 当$k=-2$时，代入$y_1 = kx + 2$得$y_1=-2x+2$。
$\because y_1＞y_2$，$y_2 = x - 3$，
$\therefore -2x+2 ＞ x-3$，
移项、合并同类项得：$-3x ＞ -5$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＜ \dfrac{5}{3}$。
(2) 先计算$x=1$时，$y_2=1-3=-2$，将$x=1$代入$y_1$得$y_1=k+2$。
要使$x＜1$时$y_1＞y_2$，首先$x=1$处需满足$y_1≥ y_2$，即$k+2≥ -2$，解得$k≥ -4$；
当$k=1$时，$y_1=x+2$，$y_1-y_2=5＞0$恒成立，满足条件；
当$k＞1$时，$y_1$的斜率大于$y_2$，x取足够小的负数时，$y_1$会小于$y_2$，不符合要求；
又题目规定$k≠0$，综上可得$k$的取值范围。
【答案】
(1) $x ＜ \dfrac{5}{3}$；
(2) $-4 ≤ k ≤ 1$且$k ≠ 0$。
【知识点】
一次函数的性质，解一元一次不等式，一次函数与不等式的关系
【点评】
本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，第一问属于基础题型，熟练掌握一元一次不等式的解法即可得分；第二问需要结合函数图象的斜率、临界点分析取值范围，易错点是遗漏k=1的特殊情况和题目给出的k≠0的限制，运用数形结合思想可更直观得到取值范围。
【难度系数】
0.6
（1）本小问解题思路：先将k=-2代入y₁的表达式得到具体的函数式，再根据y₁＞y₂的条件列出关于x的一元一次不等式，按照解一元一次不等式的步骤求解即可得到x的取值范围。
（2）本小问需结合一次函数图象分析：首先取临界点x=1，计算此时y₂的取值，要使x＜1时y₁恒大于y₂，需保证x=1处y₁的取值不小于y₂，得到k的下限；再分析斜率的情况：当k=1时，y₁与y₂平行，y₁恒大于y₂，满足条件；当k＞1时，y₁斜率大于y₂，x足够小时y₁会小于y₂，不满足要求；最后结合题目k≠0的限制，综合得到k的取值范围。
【解析】
(1) 当$k=-2$时，代入$y_1 = kx + 2$得$y_1=-2x+2$。
$\because y_1＞y_2$，$y_2 = x - 3$，
$\therefore -2x+2 ＞ x-3$，
移项、合并同类项得：$-3x ＞ -5$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＜ \dfrac{5}{3}$。
(2) 先计算$x=1$时，$y_2=1-3=-2$，将$x=1$代入$y_1$得$y_1=k+2$。
要使$x＜1$时$y_1＞y_2$，首先$x=1$处需满足$y_1≥ y_2$，即$k+2≥ -2$，解得$k≥ -4$；
当$k=1$时，$y_1=x+2$，$y_1-y_2=5＞0$恒成立，满足条件；
当$k＞1$时，$y_1$的斜率大于$y_2$，x取足够小的负数时，$y_1$会小于$y_2$，不符合要求；
又题目规定$k≠0$，综上可得$k$的取值范围。
【答案】
(1) $x ＜ \dfrac{5}{3}$；
(2) $-4 ≤ k ≤ 1$且$k ≠ 0$。
【知识点】
一次函数的性质，解一元一次不等式，一次函数与不等式的关系
【点评】
本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，第一问属于基础题型，熟练掌握一元一次不等式的解法即可得分；第二问需要结合函数图象的斜率、临界点分析取值范围，易错点是遗漏k=1的特殊情况和题目给出的k≠0的限制，运用数形结合思想可更直观得到取值范围。
【难度系数】
0.6
7. 八年级(2)班学生准备外出秋游，甲、乙两家旅行社的报价都是每人60元，且均表示对学生优惠.甲旅行社表示：全部8折收费.乙旅行社表示：不超过30人的人数按9折收费，超过30人的人数按7折收费.
（1）设八年级(2)班学生数为$x$，甲、乙两家旅行社实际收费分别为$y_1$元、$y_2$元，试求两家旅行社的收费关于学生人数的函数表达式；
（2）试讨论选择哪家旅行社合算.
（1）设八年级(2)班学生数为$x$，甲、乙两家旅行社实际收费分别为$y_1$元、$y_2$元，试求两家旅行社的收费关于学生人数的函数表达式；
（2）试讨论选择哪家旅行社合算.
答案
解：
（1）甲旅行社的收费表达式：
$y_1 = 60 × 0.8 · x = 48x$（$x$为正整数）
乙旅行社分两种情况：
当$0 ＜ x ≤ 30$，且$x$为正整数时，
$y_2 = 60 × 0.9 · x = 54x$；
当$x ＞ 30$，且$x$为正整数时，
$y_2 = 60 × 0.9 × 30 + 60 × 0.7 · (x-30) = 42x + 360$。
因此乙旅行社的收费表达式为：
$y_2=\begin{cases}54x & (0＜x≤30,\ x为正整数) \\42x+360 & (x＞30,\ x为正整数)\end{cases}$
（2）分情况讨论：
① 当$0 ＜ x ≤ 30$时，$48x ＜ 54x$，即$y_1 ＜ y_2$，选择甲旅行社合算；
② 当$x ＞ 30$时：
令$y_1 = y_2$，即$48x = 42x + 360$，解得$x=60$，此时两家旅行社收费相同；
令$y_1 ＜ y_2$，即$48x ＜ 42x + 360$，解得$x ＜ 60$，此时$30 ＜ x ＜ 60$，$y_1 ＜ y_2$，选择甲旅行社合算；
令$y_1 ＞ y_2$，即$48x ＞ 42x + 360$，解得$x ＞ 60$，此时$y_1 ＞ y_2$，选择乙旅行社合算。
综上：当学生人数小于60时，选择甲旅行社合算；当学生人数等于60时，两家旅行社费用相同，任选其一即可；当学生人数大于60时，选择乙旅行社合算。
（1）甲旅行社的收费表达式：
$y_1 = 60 × 0.8 · x = 48x$（$x$为正整数）
乙旅行社分两种情况：
当$0 ＜ x ≤ 30$，且$x$为正整数时，
$y_2 = 60 × 0.9 · x = 54x$；
当$x ＞ 30$，且$x$为正整数时，
$y_2 = 60 × 0.9 × 30 + 60 × 0.7 · (x-30) = 42x + 360$。
因此乙旅行社的收费表达式为：
$y_2=\begin{cases}54x & (0＜x≤30,\ x为正整数) \\42x+360 & (x＞30,\ x为正整数)\end{cases}$
（2）分情况讨论：
① 当$0 ＜ x ≤ 30$时，$48x ＜ 54x$，即$y_1 ＜ y_2$，选择甲旅行社合算；
② 当$x ＞ 30$时：
令$y_1 = y_2$，即$48x = 42x + 360$，解得$x=60$，此时两家旅行社收费相同；
令$y_1 ＜ y_2$，即$48x ＜ 42x + 360$，解得$x ＜ 60$，此时$30 ＜ x ＜ 60$，$y_1 ＜ y_2$，选择甲旅行社合算；
令$y_1 ＞ y_2$，即$48x ＞ 42x + 360$，解得$x ＞ 60$，此时$y_1 ＞ y_2$，选择乙旅行社合算。
综上：当学生人数小于60时，选择甲旅行社合算；当学生人数等于60时，两家旅行社费用相同，任选其一即可；当学生人数大于60时，选择乙旅行社合算。
解析
【分析】
（1）求两家旅行社的收费函数表达式时，首先梳理收费规则：甲旅行社无人数限制，全部打8折，直接根据“总费用=单价×折扣×人数”列式即可；乙旅行社收费以30人为分界点，属于分段计费，因此要写分段函数：人数不超过30时全部按9折计算，人数超过30时，前30人按9折收费，超出30人的部分按7折收费，分别代入数量关系列式，注意人数x为正整数。
（2）讨论哪家旅行社合算本质是比较y₁和y₂的大小，同样按乙的分段标准分类讨论：先分析0＜x≤30的情况，直接比较两个一次函数的大小；再分析x＞30的情况，分别令y₁=y₂、y₁＜y₂、y₁＞y₂，通过解方程或不等式求出对应的x范围，最后汇总所有情况得出结论即可。
【解析】
（1）甲旅行社全部按8折收费：
$y_1 = 60 × 0.8 · x = 48x$（$x$为正整数）
乙旅行社分两种情况计费：
当$0 ＜ x ≤ 30$，且$x$为正整数时，全部按9折收费：
$y_2 = 60 × 0.9 · x = 54x$
当$x ＞ 30$，且$x$为正整数时，30人按9折收费，超出30人的部分按7折收费：
$y_2 = 60 × 0.9 × 30 + 60 × 0.7 · (x-30) = 1620 + 42(x-30) = 42x + 360$
因此乙旅行社的收费表达式为：
$y_2=\begin{cases}54x & (0＜x≤30,\ x为正整数) \\42x+360 & (x＞30,\ x为正整数)\end{cases}$
（2）分情况比较两家收费高低：
① 当$0 ＜ x ≤ 30$时，$y_1=48x$，$y_2=54x$，显然$48x ＜ 54x$，即$y_1 ＜ y_2$，选择甲旅行社合算；
② 当$x ＞ 30$时：
令$y_1 = y_2$，即$48x = 42x + 360$，解得$x=60$，此时两家旅行社收费相同；
令$y_1 ＜ y_2$，即$48x ＜ 42x + 360$，解得$x ＜ 60$，结合前提$x＞30$，得$30 ＜ x ＜ 60$时，选择甲旅行社合算；
令$y_1 ＞ y_2$，即$48x ＞ 42x + 360$，解得$x ＞ 60$，此时选择乙旅行社合算。
【答案】
（1）$y_1=48x$（$x$为正整数）；$y_2=\begin{cases}54x & (0＜x≤30,\ x为正整数) \\42x+360 & (x＞30,\ x为正整数)\end{cases}$
（2）当学生人数小于60时，选择甲旅行社合算；当学生人数等于60时，两家旅行社费用相同，可任选其一；当学生人数大于60时，选择乙旅行社合算。
【知识点】
一次函数应用；分段函数；方案选择
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景命题，重点考查分段函数的列式方法和分类讨论比较函数值大小的能力，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.65
（1）求两家旅行社的收费函数表达式时，首先梳理收费规则：甲旅行社无人数限制，全部打8折，直接根据“总费用=单价×折扣×人数”列式即可；乙旅行社收费以30人为分界点，属于分段计费，因此要写分段函数：人数不超过30时全部按9折计算，人数超过30时，前30人按9折收费，超出30人的部分按7折收费，分别代入数量关系列式，注意人数x为正整数。
（2）讨论哪家旅行社合算本质是比较y₁和y₂的大小，同样按乙的分段标准分类讨论：先分析0＜x≤30的情况，直接比较两个一次函数的大小；再分析x＞30的情况，分别令y₁=y₂、y₁＜y₂、y₁＞y₂，通过解方程或不等式求出对应的x范围，最后汇总所有情况得出结论即可。
【解析】
（1）甲旅行社全部按8折收费：
$y_1 = 60 × 0.8 · x = 48x$（$x$为正整数）
乙旅行社分两种情况计费：
当$0 ＜ x ≤ 30$，且$x$为正整数时，全部按9折收费：
$y_2 = 60 × 0.9 · x = 54x$
当$x ＞ 30$，且$x$为正整数时，30人按9折收费，超出30人的部分按7折收费：
$y_2 = 60 × 0.9 × 30 + 60 × 0.7 · (x-30) = 1620 + 42(x-30) = 42x + 360$
因此乙旅行社的收费表达式为：
$y_2=\begin{cases}54x & (0＜x≤30,\ x为正整数) \\42x+360 & (x＞30,\ x为正整数)\end{cases}$
（2）分情况比较两家收费高低：
① 当$0 ＜ x ≤ 30$时，$y_1=48x$，$y_2=54x$，显然$48x ＜ 54x$，即$y_1 ＜ y_2$，选择甲旅行社合算；
② 当$x ＞ 30$时：
令$y_1 = y_2$，即$48x = 42x + 360$，解得$x=60$，此时两家旅行社收费相同；
令$y_1 ＜ y_2$，即$48x ＜ 42x + 360$，解得$x ＜ 60$，结合前提$x＞30$，得$30 ＜ x ＜ 60$时，选择甲旅行社合算；
令$y_1 ＞ y_2$，即$48x ＞ 42x + 360$，解得$x ＞ 60$，此时选择乙旅行社合算。
【答案】
（1）$y_1=48x$（$x$为正整数）；$y_2=\begin{cases}54x & (0＜x≤30,\ x为正整数) \\42x+360 & (x＞30,\ x为正整数)\end{cases}$
（2）当学生人数小于60时，选择甲旅行社合算；当学生人数等于60时，两家旅行社费用相同，可任选其一；当学生人数大于60时，选择乙旅行社合算。
【知识点】
一次函数应用；分段函数；方案选择
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景命题，重点考查分段函数的列式方法和分类讨论比较函数值大小的能力，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.65
