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1[2025江苏徐州期末]电信公司的收费标准有A,B两类,已知每月应缴费用S(元)与通话时间t(分)之间的关系如图所示.当通话时间为200分钟时,按这两类收费标准应缴费用的差为 (
A.10元
B.15元
C.20元
D.30元
(第1题图)
(第2题图)
C
)A.10元
B.15元
C.20元
D.30元
(第1题图)
(第2题图)
答案
【解析】设A类标准应缴费用$S_A=kt+b$,将$(0,20)$,$(100,30)$代入,得$b=20,100k+b=30$,解得$k=0.1$,所以A类标准应缴费用$S_A=0.1t+20$. 设B类标准应缴费用$S_B=at$,将点$(100,30)$代入,得$30=100a$,解得$a=0.3$,所以B类标准应缴费用$S_B=0.3t$. 当$t=200$时,$S_A=0.1×200+20=40$,$S_B=0.3×200=60$. 因为$60-40=20$(元),所以按这两类收费标准应缴费用的差为20元,故选C.
解析
【分析】
本题是一次函数在收费问题中的实际应用，解题思路可分为三步：首先观察图像获取两类收费标准对应的函数经过的坐标点，A类图象过(0,20)和(100,30)，B类图象过(0,0)和(100,30)；其次利用待定系数法分别求出A、B两类收费对应的一次函数解析式；最后将t=200代入两个解析式求出对应费用，计算差值即可得到结果。
【解析】
设A类收费标准的应缴费用函数为$S_A=kt+b$，将$(0,20)$、$(100,30)$代入解析式得：
$\begin{cases} b=20 \\ 100k + b = 30 \end{cases}$
解得$k=0.1$，因此$S_A=0.1t+20$。
设B类收费标准的应缴费用函数为$S_B=at$，将$(100,30)$代入解析式得：
$100a=30$，解得$a=0.3$，因此$S_B=0.3t$。
当$t=200$时：
$S_A=0.1×200 + 20=40$（元）
$S_B=0.3×200=60$（元）
两类收费的费用差为$60-40=20$（元），故选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法，一次函数应用，图像信息提取
【点评】
本题结合生活中的通讯收费场景考查一次函数的应用，核心是掌握从函数图象中提取有效坐标点、用待定系数法求解解析式的方法，整体难度不高，是一次函数实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数在收费问题中的实际应用，解题思路可分为三步：首先观察图像获取两类收费标准对应的函数经过的坐标点，A类图象过(0,20)和(100,30)，B类图象过(0,0)和(100,30)；其次利用待定系数法分别求出A、B两类收费对应的一次函数解析式；最后将t=200代入两个解析式求出对应费用，计算差值即可得到结果。
【解析】
设A类收费标准的应缴费用函数为$S_A=kt+b$，将$(0,20)$、$(100,30)$代入解析式得：
$\begin{cases} b=20 \\ 100k + b = 30 \end{cases}$
解得$k=0.1$，因此$S_A=0.1t+20$。
设B类收费标准的应缴费用函数为$S_B=at$，将$(100,30)$代入解析式得：
$100a=30$，解得$a=0.3$，因此$S_B=0.3t$。
当$t=200$时：
$S_A=0.1×200 + 20=40$（元）
$S_B=0.3×200=60$（元）
两类收费的费用差为$60-40=20$（元），故选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法，一次函数应用，图像信息提取
【点评】
本题结合生活中的通讯收费场景考查一次函数的应用，核心是掌握从函数图象中提取有效坐标点、用待定系数法求解解析式的方法，整体难度不高，是一次函数实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
2[2025广东深圳期中]甲从A地匀速骑电动车到B地，乙从B地匀速骑摩托车到A地，两人同时出发，到达目的地后，立即停止运动，甲、乙两人与A地的距离y(km)与他们骑车的时间x(h)之间的函数关系，则下列说法错误的是（
A.A、B两地的距离为120 km
B.甲的速度为20 km/h
C.乙的速度为30 km/h
D.乙骑车3 h到达A地
C
）A.A、B两地的距离为120 km
B.甲的速度为20 km/h
C.乙的速度为30 km/h
D.乙骑车3 h到达A地
答案
【解析】由图象可知A、B两地的距离为120 km,故选项A正确,不符合题意;由图象可知,甲的速度为$120÷6=20(\mathrm{km/h})$,故选项B正确,不符合题意;由题易知,甲与A地的距离$y(\mathrm{km})$与他们骑车的时间$x(\mathrm{h})$之间的函数关系式为$y=20x$,当$y=40$时,$40=20x$,解得$x=2$,所以乙的速度为$(120-40)÷2=40(\mathrm{km/h})$,故选项C错误,符合题意;乙骑车$120÷40=3(\mathrm{h})$到达A地,故选项D正确,不符合题意. 故选C.
解析
【分析】
解题时首先明确两个一次函数图象对应的运动主体：从原点出发的图象代表从A地出发的甲的运动，从(0,120)出发的图象代表从B地出发的乙的运动，x轴代表运动时间，y轴代表距离A地的距离。接下来按选项逐一分析：1. 观察y轴最大值可直接得到A、B两地的距离；2. 已知甲走完全程的路程和时间，用路程除以时间即可求得甲的速度；3. 先根据甲的函数关系求出两人相遇时的运动时间，再结合乙在这段时间行驶的路程计算乙的速度，判断C选项正误；4. 用总路程除以乙的速度得到乙走完全程的时间，判断D选项正误。
【解析】
由图象可知，A、B两地的距离为120 km，故A选项正确，不符合题意；
甲从A地到B地用时6h，全程120km，因此甲的速度为$120÷6=20(\mathrm{km/h})$，故B选项正确，不符合题意；
甲与A地的距离y和时间x的函数关系式为$y=20x$，当两人相遇时$y=40$，代入得$40=20x$，解得$x=2$，即出发2h后两人相遇。此时乙从B地出发走了$120-40=80(\mathrm{km})$，因此乙的速度为$80÷2=40(\mathrm{km/h})$，故C选项错误，符合题意；
乙走完全程的时间为$120÷40=3(\mathrm{h})$，即乙骑车3h到达A地，故D选项正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数实际应用，行程问题计算，函数图象分析
【点评】
本题结合一次函数图象考查行程类实际问题，解题的核心是读懂图象横、纵坐标的含义，明确图象中特殊点代表的实际运动状态，结合路程、速度、时间三者的关系即可逐步求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两个一次函数图象对应的运动主体：从原点出发的图象代表从A地出发的甲的运动，从(0,120)出发的图象代表从B地出发的乙的运动，x轴代表运动时间，y轴代表距离A地的距离。接下来按选项逐一分析：1. 观察y轴最大值可直接得到A、B两地的距离；2. 已知甲走完全程的路程和时间，用路程除以时间即可求得甲的速度；3. 先根据甲的函数关系求出两人相遇时的运动时间，再结合乙在这段时间行驶的路程计算乙的速度，判断C选项正误；4. 用总路程除以乙的速度得到乙走完全程的时间，判断D选项正误。
【解析】
由图象可知，A、B两地的距离为120 km，故A选项正确，不符合题意；
甲从A地到B地用时6h，全程120km，因此甲的速度为$120÷6=20(\mathrm{km/h})$，故B选项正确，不符合题意；
甲与A地的距离y和时间x的函数关系式为$y=20x$，当两人相遇时$y=40$，代入得$40=20x$，解得$x=2$，即出发2h后两人相遇。此时乙从B地出发走了$120-40=80(\mathrm{km})$，因此乙的速度为$80÷2=40(\mathrm{km/h})$，故C选项错误，符合题意；
乙走完全程的时间为$120÷40=3(\mathrm{h})$，即乙骑车3h到达A地，故D选项正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数实际应用，行程问题计算，函数图象分析
【点评】
本题结合一次函数图象考查行程类实际问题，解题的核心是读懂图象横、纵坐标的含义，明确图象中特殊点代表的实际运动状态，结合路程、速度、时间三者的关系即可逐步求解。
【难度系数】
0.7
3[2025山东济南中考]A,B两地相距100 km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶,甲、乙两人各自到A地的距离 s(km)与骑车时间 t(h)的关系如图所示,则他们相遇时距离 A 地
$\frac{300}{7}$
km.答案
【解析】由题图,设图象甲对应的函数表达式为$s_甲=k_1t$,图象乙对应的函数表达式为$s_乙=k_2t+100$,则$30=2k_1$,$80=k_2+100$,解得$k_1=15$,$k_2=-20$,所以$s_甲=15t$,$s_乙=-20t+100$,所以当他们相遇时,$15t=-20t+100$,解得$t=\frac{20}{7}$,代入$s_甲=15t$,得$s_甲=\frac{300}{7}$,即他们相遇时距离A地$\frac{300}{7}\ \mathrm{km}$. 故答案为$\frac{300}{7}$.
解析
【分析】
首先观察s-t图像的意义：甲从A地出发，t=0时距离A地0km，因此甲的s与t为正比例函数关系；乙从B地出发，t=0时距离A地100km，因此乙的s与t为一次函数关系。解题步骤如下：第一步用待定系数法分别求出甲、乙的s关于t的函数解析式；第二步，两人相遇时到A地的距离相等，即两个函数的s值相等，联立方程求出相遇时间t；最后将t代入甲的函数解析式，得到的s就是相遇时距离A地的距离。
【解析】
设甲对应的函数表达式为$s_甲 = k_1 t$（$k_1≠0$），乙对应的函数表达式为$s_乙 = k_2 t + b$（$k_2≠0$）。
由图像可知，甲的图象过点$(2,30)$，代入得$30 = 2k_1$，解得$k_1=15$，因此$s_甲 = 15t$。
乙的图象过点$(0,100)$和$(1,80)$，代入$(0,100)$得$b=100$，再代入$(1,80)$得$80 = k_2 + 100$，解得$k_2=-20$，因此$s_乙 = -20t + 100$。
两人相遇时到A地的距离相等，即$s_甲 = s_乙$，列方程：
$15t = -20t + 100$
移项合并得$35t = 100$，解得$t = \frac{20}{7}$。
将$t=\frac{20}{7}$代入$s_甲=15t$，得$s_甲 = 15×\frac{20}{7} = \frac{300}{7}$。
【答案】
$\frac{300}{7}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一次函数交点的意义
【点评】
本题结合行程问题的s-t图像考查一次函数的实际应用，解题核心是准确提取图像中的坐标信息，用待定系数法求出函数解析式，再结合相遇的实际意义建立方程求解，重点考查学生的图像解读能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察s-t图像的意义：甲从A地出发，t=0时距离A地0km，因此甲的s与t为正比例函数关系；乙从B地出发，t=0时距离A地100km，因此乙的s与t为一次函数关系。解题步骤如下：第一步用待定系数法分别求出甲、乙的s关于t的函数解析式；第二步，两人相遇时到A地的距离相等，即两个函数的s值相等，联立方程求出相遇时间t；最后将t代入甲的函数解析式，得到的s就是相遇时距离A地的距离。
【解析】
设甲对应的函数表达式为$s_甲 = k_1 t$（$k_1≠0$），乙对应的函数表达式为$s_乙 = k_2 t + b$（$k_2≠0$）。
由图像可知，甲的图象过点$(2,30)$，代入得$30 = 2k_1$，解得$k_1=15$，因此$s_甲 = 15t$。
乙的图象过点$(0,100)$和$(1,80)$，代入$(0,100)$得$b=100$，再代入$(1,80)$得$80 = k_2 + 100$，解得$k_2=-20$，因此$s_乙 = -20t + 100$。
两人相遇时到A地的距离相等，即$s_甲 = s_乙$，列方程：
$15t = -20t + 100$
移项合并得$35t = 100$，解得$t = \frac{20}{7}$。
将$t=\frac{20}{7}$代入$s_甲=15t$，得$s_甲 = 15×\frac{20}{7} = \frac{300}{7}$。
【答案】
$\frac{300}{7}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一次函数交点的意义
【点评】
本题结合行程问题的s-t图像考查一次函数的实际应用，解题核心是准确提取图像中的坐标信息，用待定系数法求出函数解析式，再结合相遇的实际意义建立方程求解，重点考查学生的图像解读能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
4[2024山东济南中考]某公司生产了A,B两款新能源电动汽车.如图,$l_1$,$l_2$分别表示A款,B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量$y(\mathrm{kW·h})$与汽车行驶路程$x(\mathrm{km})$的关系.当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时,A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多
12
$\mathrm{kW·h}$.答案
【解析】A款新能源电动汽车每千米的耗电量为$(80-48)÷200=0.16(\mathrm{kW·h})$,B款新能源电动汽车每千米的耗电量为$(80-40)÷200=0.2(\mathrm{kW·h})$,所以$l_1$对应的函数关系式为$y_1=80-0.16x$,$l_2$对应的函数关系式为$y_2=80-0.2x$. 当$x=300$时,$y_1=80-0.16×300=32$,$y_2=80-0.2×300=20$,$32-20=12(\mathrm{kW·h})$,所以当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时,A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多12 $\mathrm{kW·h}$. 故答案为12.
解析
【分析】
解题时先观察函数图象获取信息：两款车充满电的初始电量都是80kW·h，行驶200km时A款剩余电量48kW·h，B款剩余电量40kW·h。先分别计算两款车每千米的耗电量，再写出剩余电量y与行驶路程x的函数关系式，最后把x=300代入两个函数式求出剩余电量，作差即可得到答案。
【解析】
先计算两款车每千米的耗电量：
A款（对应$l_1$）每千米耗电量：$(80-48)÷200=0.16(\mathrm{kW·h})$，可得A款剩余电量的函数关系式为$y_1=80-0.16x$；
B款（对应$l_2$）每千米耗电量：$(80-40)÷200=0.2(\mathrm{kW·h})$，可得B款剩余电量的函数关系式为$y_2=80-0.2x$。
当$x=300$时：
A款剩余电量$y_1=80-0.16×300=32(\mathrm{kW·h})$，
B款剩余电量$y_2=80-0.2×300=20(\mathrm{kW·h})$，
剩余电量差值为$32-20=12(\mathrm{kW·h})$。
【答案】
12
【知识点】
一次函数实际应用；求一次函数解析式；一次函数代入求值
【点评】
本题结合新能源汽车续航的生活场景考查一次函数的应用，解题关键是从图象中提取有效信息得到函数关系，侧重考查学生的读图能力和基础运算能力，解题时注意计算不要出错。
【难度系数】
0.7
解题时先观察函数图象获取信息：两款车充满电的初始电量都是80kW·h，行驶200km时A款剩余电量48kW·h，B款剩余电量40kW·h。先分别计算两款车每千米的耗电量，再写出剩余电量y与行驶路程x的函数关系式，最后把x=300代入两个函数式求出剩余电量，作差即可得到答案。
【解析】
先计算两款车每千米的耗电量：
A款（对应$l_1$）每千米耗电量：$(80-48)÷200=0.16(\mathrm{kW·h})$，可得A款剩余电量的函数关系式为$y_1=80-0.16x$；
B款（对应$l_2$）每千米耗电量：$(80-40)÷200=0.2(\mathrm{kW·h})$，可得B款剩余电量的函数关系式为$y_2=80-0.2x$。
当$x=300$时：
A款剩余电量$y_1=80-0.16×300=32(\mathrm{kW·h})$，
B款剩余电量$y_2=80-0.2×300=20(\mathrm{kW·h})$，
剩余电量差值为$32-20=12(\mathrm{kW·h})$。
【答案】
12
【知识点】
一次函数实际应用；求一次函数解析式；一次函数代入求值
【点评】
本题结合新能源汽车续航的生活场景考查一次函数的应用，解题关键是从图象中提取有效信息得到函数关系，侧重考查学生的读图能力和基础运算能力，解题时注意计算不要出错。
【难度系数】
0.7
5[2026辽宁抚顺质检]如图，$l_1$反映了某公司产品的销售收入$y$(千元)与销售量$x$(t)之间的关系，$l_2$反映了该公司产品的销售成本$y$(千元)与销售量$x$(t)之间的关系，其中点$A$的坐标为$(0,3)$，点$P$的坐标为$(6,5)$。
(1)当销售量$x=$
(2)求$l_1$和$l_2$的函数表达式。
(3)当该公司盈利(销售收入$-$销售成本)$10\ 000$元时，销售量是多少？
(1)当销售量$x=$
6
时，销售收入等于销售成本；当销售量$x$＞6
时，该公司盈利(销售收入大于销售成本)。(2)求$l_1$和$l_2$的函数表达式。
(3)当该公司盈利(销售收入$-$销售成本)$10\ 000$元时，销售量是多少？
答案
(1)由图象可知,当$x=6$时,销售收入等于销售成本;当$x＞6$时,销售收入大于销售成本,该公司盈利,故答案为6,$＞6$.
(2)设$l_1:y_1=kx(k≠0)$,将$(6,5)$代入得$6k=5$,解得$k=\frac{5}{6}$,所以$l_1$对应的函数表达式为$y_1=\frac{5}{6}x$. 设$l_2:y_2=ax+b$,把$(0,3)$,$(6,5)$代入得$b=3$,$6a+b=5$,解得$a=\frac{1}{3}$,所以$l_2$对应的函数表达式为$y_2=\frac{1}{3}x+3$.
(3)根据题意得,$\frac{5}{6}x - (\frac{1}{3}x+3) = 10$,解得$x=26$.
答:当该公司盈利(销售收入-销售成本)10 000元时,销售量是26 t.
(2)设$l_1:y_1=kx(k≠0)$,将$(6,5)$代入得$6k=5$,解得$k=\frac{5}{6}$,所以$l_1$对应的函数表达式为$y_1=\frac{5}{6}x$. 设$l_2:y_2=ax+b$,把$(0,3)$,$(6,5)$代入得$b=3$,$6a+b=5$,解得$a=\frac{1}{3}$,所以$l_2$对应的函数表达式为$y_2=\frac{1}{3}x+3$.
(3)根据题意得,$\frac{5}{6}x - (\frac{1}{3}x+3) = 10$,解得$x=26$.
答:当该公司盈利(销售收入-销售成本)10 000元时,销售量是26 t.
解析
【分析】
(1) 观察两个一次函数的图像，交点的横坐标就是销售收入等于销售成本时的销售量；当销售收入对应的图像$l_1$在销售成本对应的图像$l_2$上方时，销售收入大于销售成本，对应$x$的取值范围就是盈利的销售量范围。
(2) 求一次函数表达式使用待定系数法：$l_1$过原点，属于正比例函数，设为$y_1=kx$，代入点$P$的坐标即可求出$k$；$l_2$是一般一次函数，设为$y_2=ax+b$，代入已知的$A(0,3)$和$P(6,5)$两个点的坐标，解二元一次方程组即可求出$a$、$b$的值。
(3) 盈利=销售收入-销售成本，先统一单位：10000元=10千元，据此列一元一次方程求解即可得到对应销售量。
【解析】
(1) 由图像可知$l_1$和$l_2$的交点为$P(6,5)$，即当$x=6$时，销售收入等于销售成本；当$x＞6$时，$l_1$的图像在$l_2$上方，此时销售收入大于销售成本，公司盈利。
(2) 设$l_1$对应的函数表达式为$y_1=kx\ (k≠0)$，将$P(6,5)$代入得$6k=5$，解得$k=\frac{5}{6}$，因此$l_1$的函数表达式为$y_1=\frac{5}{6}x$。
设$l_2$对应的函数表达式为$y_2=ax+b\ (a≠0)$，将$A(0,3)$、$P(6,5)$分别代入得：
$\begin{cases}b=3\\6a+b=5\end{cases}$
把$b=3$代入$6a+b=5$，解得$a=\frac{1}{3}$，因此$l_2$的函数表达式为$y_2=\frac{1}{3}x+3$。
(3) 统一单位：10000元=10千元，根据题意列方程：
$\frac{5}{6}x - (\frac{1}{3}x + 3) = 10$
化简得$\frac{1}{2}x - 3 = 10$，解得$x=26$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{＞6}$
(2) $l_1$：$\boldsymbol{y_1=\frac{5}{6}x}$；$l_2$：$\boldsymbol{y_2=\frac{1}{3}x+3}$
(3) $\boldsymbol{26\ \mathrm{t}}$
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合公司经营的实际场景考查一次函数相关知识，解题关键是理解一次函数图像交点、上下位置对应的实际意义，熟练掌握待定系数法求解析式的方法，能根据等量关系列方程解决实际问题，兼具基础性和实用性。
【难度系数】
0.7
(1) 观察两个一次函数的图像，交点的横坐标就是销售收入等于销售成本时的销售量；当销售收入对应的图像$l_1$在销售成本对应的图像$l_2$上方时，销售收入大于销售成本，对应$x$的取值范围就是盈利的销售量范围。
(2) 求一次函数表达式使用待定系数法：$l_1$过原点，属于正比例函数，设为$y_1=kx$，代入点$P$的坐标即可求出$k$；$l_2$是一般一次函数，设为$y_2=ax+b$，代入已知的$A(0,3)$和$P(6,5)$两个点的坐标，解二元一次方程组即可求出$a$、$b$的值。
(3) 盈利=销售收入-销售成本，先统一单位：10000元=10千元，据此列一元一次方程求解即可得到对应销售量。
【解析】
(1) 由图像可知$l_1$和$l_2$的交点为$P(6,5)$，即当$x=6$时，销售收入等于销售成本；当$x＞6$时，$l_1$的图像在$l_2$上方，此时销售收入大于销售成本，公司盈利。
(2) 设$l_1$对应的函数表达式为$y_1=kx\ (k≠0)$，将$P(6,5)$代入得$6k=5$，解得$k=\frac{5}{6}$，因此$l_1$的函数表达式为$y_1=\frac{5}{6}x$。
设$l_2$对应的函数表达式为$y_2=ax+b\ (a≠0)$，将$A(0,3)$、$P(6,5)$分别代入得：
$\begin{cases}b=3\\6a+b=5\end{cases}$
把$b=3$代入$6a+b=5$，解得$a=\frac{1}{3}$，因此$l_2$的函数表达式为$y_2=\frac{1}{3}x+3$。
(3) 统一单位：10000元=10千元，根据题意列方程：
$\frac{5}{6}x - (\frac{1}{3}x + 3) = 10$
化简得$\frac{1}{2}x - 3 = 10$，解得$x=26$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{＞6}$
(2) $l_1$：$\boldsymbol{y_1=\frac{5}{6}x}$；$l_2$：$\boldsymbol{y_2=\frac{1}{3}x+3}$
(3) $\boldsymbol{26\ \mathrm{t}}$
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合公司经营的实际场景考查一次函数相关知识，解题关键是理解一次函数图像交点、上下位置对应的实际意义，熟练掌握待定系数法求解析式的方法，能根据等量关系列方程解决实际问题，兼具基础性和实用性。
【难度系数】
0.7
