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1[2025山东济南期中,中]如图(1)是某湖最深处的截面图,湖面下任意一点A处的压强p(单位:cmHg)与其深度h(单位:m)的函数关系式为$p=ah+p_0$,其图象如图(2)所示,其中$p_0$为湖面大气压强,a为常数且$a＞0$,点M的坐标为(34.5,342).根据图中信息分析,下列结论正确的是 (
A.湖面大气压强为76 cmHg
B.函数表达式$p=ah+p_0$中p的取值范围是$p＜342$
C.湖水深20 m处的压强为256 cmHg
D.p与h的函数表达式为$p=8h+66(0≤h≤34.5)$
D
)A.湖面大气压强为76 cmHg
B.函数表达式$p=ah+p_0$中p的取值范围是$p＜342$
C.湖水深20 m处的压强为256 cmHg
D.p与h的函数表达式为$p=8h+66(0≤h≤34.5)$
答案
D 【解析】由图象可知,直线$p=ah+p_0$过点$(0,66)$和$(34.5,342)$,所以$p_0=66$,$34.5a+p_0=342$,解得$a=8$,所以函数表达式为$p=8h+66(0≤h≤34.5)$,所以湖面大气压强为66 cmHg,故A选项错误,D选项正确. 根据实际意义可知,函数表达式$p=ah+p_0$中,p的取值范围是$66≤p≤342$,故B选项错误. 将$h=20$代入$p=8h+66$,得$p=8×20+66=226$,即湖水深20 m处的压强为226 cmHg,故C选项错误. 故选D.
解析
【分析】
这是一次函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：首先观察函数图象，提取两个已知点的坐标：h=0时p=66，以及最深点M(34.5,342)；再用待定系数法代入一次函数表达式$p=ah+p_0$，求出a和$p_0$的值，得到完整的函数解析式；最后结合解析式、实际意义逐一验证四个选项的正误即可。
【解析】
由图(2)可知，一次函数$p=ah+p_0$的图象过点$(0,66)$和$(34.5,342)$：
1. 求常数$p_0$：将$h=0$，$p=66$代入表达式，得$p_0=66$，即湖面大气压强为66 cmHg；
2. 求常数a：将$p_0=66$，$h=34.5$，$p=342$代入表达式，得$34.5a + 66 = 342$，解得$a=8$；
3. 得到函数解析式：$p=8h+66$，结合实际深度范围，自变量h的取值为$0≤h≤34.5$；
4. 逐一判断选项：
A选项：湖面大气压强为66 cmHg，不是76 cmHg，A错误；
B选项：结合h的范围，p的取值为$66≤p≤342$，不是$p＜342$，B错误；
C选项：将$h=20$代入解析式，得$p=8×20+66=226$ cmHg，不是256 cmHg，C错误；
D选项：函数表达式为$p=8h+66(0≤h≤34.5)$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数的取值范围
【点评】
本题结合生活情境考查一次函数的应用，核心是从函数图象中提取有效坐标信息，利用待定系数法求出函数解析式，再结合解析式和实际意义分析判断选项，解题的关键是掌握待定系数法的应用步骤，理解实际问题中自变量和因变量的取值限制。
【难度系数】
0.7
这是一次函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：首先观察函数图象，提取两个已知点的坐标：h=0时p=66，以及最深点M(34.5,342)；再用待定系数法代入一次函数表达式$p=ah+p_0$，求出a和$p_0$的值，得到完整的函数解析式；最后结合解析式、实际意义逐一验证四个选项的正误即可。
【解析】
由图(2)可知，一次函数$p=ah+p_0$的图象过点$(0,66)$和$(34.5,342)$：
1. 求常数$p_0$：将$h=0$，$p=66$代入表达式，得$p_0=66$，即湖面大气压强为66 cmHg；
2. 求常数a：将$p_0=66$，$h=34.5$，$p=342$代入表达式，得$34.5a + 66 = 342$，解得$a=8$；
3. 得到函数解析式：$p=8h+66$，结合实际深度范围，自变量h的取值为$0≤h≤34.5$；
4. 逐一判断选项：
A选项：湖面大气压强为66 cmHg，不是76 cmHg，A错误；
B选项：结合h的范围，p的取值为$66≤p≤342$，不是$p＜342$，B错误；
C选项：将$h=20$代入解析式，得$p=8×20+66=226$ cmHg，不是256 cmHg，C错误；
D选项：函数表达式为$p=8h+66(0≤h≤34.5)$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数的取值范围
【点评】
本题结合生活情境考查一次函数的应用，核心是从函数图象中提取有效坐标信息，利用待定系数法求出函数解析式，再结合解析式和实际意义分析判断选项，解题的关键是掌握待定系数法的应用步骤，理解实际问题中自变量和因变量的取值限制。
【难度系数】
0.7
2[2025 四川资阳质检，中]已知关于$x$的方程$mx+3=4$的解为$x=1$，则直线$y=(m-2)x-3$一定不经过第
一
象限。答案
一 【解析】因为关于x的方程$mx+3=4$的解为$x=1$,所以$m+3=4$,所以$m=1$,所以直线$y=(m-2)x-3$可化为$y=-x-3$. 因为$k=-1＜0$,$b=-3＜0$,所以$y=-x-3$一定不经过第一象限,即直线$y=(m-2)x-3$一定不经过第一象限. 故答案为一.
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步，已知方程的解为x=1，根据方程解的定义，将x=1代入关于x的方程mx+3=4，即可求出参数m的值；第二步，把求出的m代入直线解析式，得到具体的一次函数表达式；第三步，根据一次函数的系数k、b的正负，判断直线经过的象限，即可得出它不经过的象限。
【解析】
∵ 关于x的方程mx+3=4的解为x=1，
∴ 将x=1代入方程得：$m×1 + 3 = 4$，
解得$m=1$，
将$m=1$代入直线$y=(m-2)x-3$，得：
$y=(1-2)x - 3$，即$y=-x-3$，
在一次函数$y=-x-3$中，$k=-1＜0$，说明直线从左上向右下倾斜，经过第二、四象限；$b=-3＜0$，说明直线与y轴交于负半轴，因此直线还经过第三象限，
∴ 该直线一定不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
一元一次方程的解；一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题综合考查一元一次方程的解和一次函数的图象性质，解题核心是先通过方程的解求出未知参数m，再结合一次函数k、b的符号判断图象经过的象限，是一次函数部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时可分三步思考：第一步，已知方程的解为x=1，根据方程解的定义，将x=1代入关于x的方程mx+3=4，即可求出参数m的值；第二步，把求出的m代入直线解析式，得到具体的一次函数表达式；第三步，根据一次函数的系数k、b的正负，判断直线经过的象限，即可得出它不经过的象限。
【解析】
∵ 关于x的方程mx+3=4的解为x=1，
∴ 将x=1代入方程得：$m×1 + 3 = 4$，
解得$m=1$，
将$m=1$代入直线$y=(m-2)x-3$，得：
$y=(1-2)x - 3$，即$y=-x-3$，
在一次函数$y=-x-3$中，$k=-1＜0$，说明直线从左上向右下倾斜，经过第二、四象限；$b=-3＜0$，说明直线与y轴交于负半轴，因此直线还经过第三象限，
∴ 该直线一定不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
一元一次方程的解；一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题综合考查一元一次方程的解和一次函数的图象性质，解题核心是先通过方程的解求出未知参数m，再结合一次函数k、b的符号判断图象经过的象限，是一次函数部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
3[2025四川成都期末,中]我国新能源汽车快速健康发展,续航里程不断提升.王师傅驾驶一辆纯电动汽车从一高速公路入口A驶入时,该车的剩余电量是100千瓦时,行驶了360千米后,从另一高速公路出口B驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中,剩余电量y(千瓦时)与行驶路程x(千米)之间的关系如图所示.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)若这辆车从高速公路入口A驶入时,剩余电量为78千瓦时,请问王师傅能在不充电的情况下行驶360千米到达高速公路出口B吗?说明理由.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)若这辆车从高速公路入口A驶入时,剩余电量为78千瓦时,请问王师傅能在不充电的情况下行驶360千米到达高速公路出口B吗?说明理由.
答案
(1)设y关于x的函数表达式为$y=kx+b$(k,b为常数,且$k≠0$). 将$(0,100)$和$(150,70)$分别代入$y=kx+b$,得$b=100$,① $150k+b=70$. ②
将①代入②,得$k=-\frac{1}{5}$,
所以y关于x的函数表达式为$y=-\frac{1}{5}x+100$.
(2)王师傅能在不充电的情况下行驶360千米到达高速公路出口B.
理由如下:
该纯电动汽车每千米消耗的电量为$(100-70)÷150=\frac{1}{5}$(千瓦时),该纯电动汽车从高速公路入口A行驶360千米消耗的电量为$\frac{1}{5}×360=72$(千瓦时).
因为$78＞72$,
所以王师傅能在不充电的情况下行驶360千米到达高速公路出口B.
将①代入②,得$k=-\frac{1}{5}$,
所以y关于x的函数表达式为$y=-\frac{1}{5}x+100$.
(2)王师傅能在不充电的情况下行驶360千米到达高速公路出口B.
理由如下:
该纯电动汽车每千米消耗的电量为$(100-70)÷150=\frac{1}{5}$(千瓦时),该纯电动汽车从高速公路入口A行驶360千米消耗的电量为$\frac{1}{5}×360=72$(千瓦时).
因为$78＞72$,
所以王师傅能在不充电的情况下行驶360千米到达高速公路出口B.
解析
【分析】
（1）观察图象可知剩余电量y与行驶路程x是一次函数关系，因此可设一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k≠0$），从图象中提取两个已知点坐标$(0,100)$和$(150,70)$，代入解析式得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数表达式，注意结合实际确定自变量x的取值范围。
（2）要判断剩余电量78千瓦时能否行驶360千米，首先计算该车每千米的耗电量，再求出行驶360千米的总耗电量，将总耗电量与初始剩余电量比较，若初始电量大于总耗电量则可以到达，反之不能。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=kx+b$（k，b为常数，且$k≠0$）。
由图象可知，函数图象过点$(0,100)$和$(150,70)$，将两点分别代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} b=100 \\ 150k+b=70 \end{cases}$
把$b=100$代入$150k+b=70$，解得$k=-\frac{1}{5}$。
结合实际行驶路程的范围，可得y关于x的函数表达式为$y=-\frac{1}{5}x+100 \quad (0≤ x≤360)$。
(2) 王师傅能在不充电的情况下行驶360千米到达出口B，理由如下：
首先计算该车每千米的耗电量：行驶150千米，电量从100千瓦时降到70千瓦时，总耗电量为$100-70=30$千瓦时，因此每千米耗电量为$30÷150=\frac{1}{5}$（千瓦时）。
行驶360千米的总耗电量为：$\frac{1}{5}×360=72$（千瓦时）。
已知初始剩余电量为78千瓦时，因为$78＞72$，即初始电量大于行驶360千米的耗电量，所以王师傅能在不充电的情况下行驶360千米到达高速公路出口B。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{5}x+100 \quad (0≤ x≤360)$
(2) 王师傅能在不充电的情况下行驶360千米到达高速公路出口B，理由见解析。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的实际应用
3. 有理数大小比较
【点评】
本题结合新能源汽车出行的生活场景，考查一次函数的实际应用，解题核心是能从函数图象中提取有效信息，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤，同时能结合实际问题进行运算和判断，体现了数学知识在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
（1）观察图象可知剩余电量y与行驶路程x是一次函数关系，因此可设一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k≠0$），从图象中提取两个已知点坐标$(0,100)$和$(150,70)$，代入解析式得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数表达式，注意结合实际确定自变量x的取值范围。
（2）要判断剩余电量78千瓦时能否行驶360千米，首先计算该车每千米的耗电量，再求出行驶360千米的总耗电量，将总耗电量与初始剩余电量比较，若初始电量大于总耗电量则可以到达，反之不能。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=kx+b$（k，b为常数，且$k≠0$）。
由图象可知，函数图象过点$(0,100)$和$(150,70)$，将两点分别代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} b=100 \\ 150k+b=70 \end{cases}$
把$b=100$代入$150k+b=70$，解得$k=-\frac{1}{5}$。
结合实际行驶路程的范围，可得y关于x的函数表达式为$y=-\frac{1}{5}x+100 \quad (0≤ x≤360)$。
(2) 王师傅能在不充电的情况下行驶360千米到达出口B，理由如下：
首先计算该车每千米的耗电量：行驶150千米，电量从100千瓦时降到70千瓦时，总耗电量为$100-70=30$千瓦时，因此每千米耗电量为$30÷150=\frac{1}{5}$（千瓦时）。
行驶360千米的总耗电量为：$\frac{1}{5}×360=72$（千瓦时）。
已知初始剩余电量为78千瓦时，因为$78＞72$，即初始电量大于行驶360千米的耗电量，所以王师傅能在不充电的情况下行驶360千米到达高速公路出口B。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{5}x+100 \quad (0≤ x≤360)$
(2) 王师傅能在不充电的情况下行驶360千米到达高速公路出口B，理由见解析。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的实际应用
3. 有理数大小比较
【点评】
本题结合新能源汽车出行的生活场景，考查一次函数的实际应用，解题核心是能从函数图象中提取有效信息，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤，同时能结合实际问题进行运算和判断，体现了数学知识在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
4[2025辽宁丹东质检,较难]某公司需要一批食品包装盒,有两种方案可供选择:
方案一:从包装盒加工厂直接购买,购买所需的费用$y_1$(元)与包装盒数$x$(个)满足如图(1)所示的函数关系.
方案二:租赁机器自己加工,所需费用(包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用)$y_2$(元)与包装盒数$x$(个)满足如图(2)所示的函数关系.
根据图象回答下列问题:
(1)方案一中包装盒的单价是多少?
(2)方案二中租赁机器的费用是多少?生产的包装盒的单价是多少?
(3)请分别求出$y_1,y_2$关于$x$的函数表达式.
(4)如果你是决策者,你认为应该选择哪种方案更省钱?
方案一:从包装盒加工厂直接购买,购买所需的费用$y_1$(元)与包装盒数$x$(个)满足如图(1)所示的函数关系.
方案二:租赁机器自己加工,所需费用(包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用)$y_2$(元)与包装盒数$x$(个)满足如图(2)所示的函数关系.
根据图象回答下列问题:
(1)方案一中包装盒的单价是多少?
(2)方案二中租赁机器的费用是多少?生产的包装盒的单价是多少?
(3)请分别求出$y_1,y_2$关于$x$的函数表达式.
(4)如果你是决策者,你认为应该选择哪种方案更省钱?
答案
(1) $500÷100=5$(元/个),所以方案一中包装盒的单价为5元/个.
(2)根据题图(2)可知,租赁机器的费用为2 000元,生产的包装盒的单价为$(3\ 000-2\ 000)÷400=2.5$(元/个).
(3)设$y_1$关于x的函数表达式为$y_1=k_1x$.
因为图象经过点$(100,500)$,
所以$500=100k_1$,
解得$k_1=5$,
所以$y_1=5x$.
设$y_2$关于x的函数表达式为$y_2=k_2x+b$.
因为图象经过点$(0,2\ 000)$和$(400,3\ 000)$,
所以$b=2\ 000$,$400k_2+b=3\ 000$,
所以$k_2=2.5$,$b=2\ 000$,
所以$y_2=2.5x+2\ 000$.
(4)令$5x=2.5x+2\ 000$,
解得$x=800$,
所以当$x=800$时,两种方案所需费用一样;
当$0＜x＜800$时,选择方案一更省钱;
当$x＞800$时,选择方案二更省钱.
【思路分析】
先求出A,B两类标准应缴费用与通话时间之间的函数关系式,再将$t=200$代入计算出相应的费用,作差即可求解.
(2)根据题图(2)可知,租赁机器的费用为2 000元,生产的包装盒的单价为$(3\ 000-2\ 000)÷400=2.5$(元/个).
(3)设$y_1$关于x的函数表达式为$y_1=k_1x$.
因为图象经过点$(100,500)$,
所以$500=100k_1$,
解得$k_1=5$,
所以$y_1=5x$.
设$y_2$关于x的函数表达式为$y_2=k_2x+b$.
因为图象经过点$(0,2\ 000)$和$(400,3\ 000)$,
所以$b=2\ 000$,$400k_2+b=3\ 000$,
所以$k_2=2.5$,$b=2\ 000$,
所以$y_2=2.5x+2\ 000$.
(4)令$5x=2.5x+2\ 000$,
解得$x=800$,
所以当$x=800$时,两种方案所需费用一样;
当$0＜x＜800$时,选择方案一更省钱;
当$x＞800$时,选择方案二更省钱.
【思路分析】
先求出A,B两类标准应缴费用与通话时间之间的函数关系式,再将$t=200$代入计算出相应的费用,作差即可求解.
解析
【分析】
(1)求方案一的单价，根据“单价=总价÷数量”，观察图(1)可知100个包装盒总费用为500元，直接代入计算即可。
(2)方案二的租赁费用是未生产包装盒时的固定支出，对应图(2)中x=0时的y值；生产单价用“(生产一定数量的总费用-固定租赁费)÷生产数量”计算，选取图(2)中x=400时的总费用代入即可。
(3)求函数表达式时，$y_1$是过原点的正比例函数，设为$y_1=k_1x$，代入已知点坐标求出$k_1$即可；$y_2$是带截距的一次函数，设为$y_2=k_2x+b$，代入图中两个已知点坐标解方程组求出$k_2$和b即可。
(4)判断哪种方案省钱即比较$y_1$和$y_2$的大小，先求出两个函数值相等时x的取值，再分三种情况讨论即可。
【解析】
(1) 由图(1)可知，100个包装盒总费用为500元，
则单价为 $500÷100=5$（元/个）。
(2) 由图(2)可知，x=0时$y_2=2000$元，即租赁机器的费用为2000元；
生产400个包装盒总费用为3000元，则生产单价为 $(3000-2000)÷400=2.5$（元/个）。
(3) 设$y_1$关于x的函数表达式为$y_1=k_1x$（$k_1≠0$，$x≥0$且x为整数），
将$(100,500)$代入得：$500=100k_1$，
解得$k_1=5$，故$y_1=5x$（$x≥0$且x为整数）。
设$y_2$关于x的函数表达式为$y_2=k_2x+b$（$k_2≠0$，$x≥0$且x为整数），
将$(0,2000)$、$(400,3000)$代入得：
$\begin{cases}b=2000\\400k_2 + b = 3000\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k_2=2.5\\b=2000\end{cases}$，故$y_2=2.5x + 2000$（$x≥0$且x为整数）。
(4) 令$y_1=y_2$，即$5x=2.5x + 2000$，解得$x=800$。
分情况讨论：
① 当$x=800$时，$y_1=y_2$，两种方案费用相同；
② 当$0＜x＜800$时，$y_1＜y_2$，选择方案一更省钱；
③ 当$x＞800$时，$y_1＞y_2$，选择方案二更省钱。
【答案】
(1) 5元/个
(2) 租赁机器费用2000元，生产单价2.5元/个
(3) $y_1=5x$（$x≥0$且x为整数），$y_2=2.5x+2000$（$x≥0$且x为整数）
(4) 当包装盒数量为800个时，两种方案费用相同；当数量小于800个时选方案一；当数量大于800个时选方案二更省钱
【知识点】
一次函数实际应用，待定系数法求解析式，最优方案选择
【点评】
本题结合实际生活场景，考查对一次函数图象信息的提取能力、用待定系数法求函数解析式的方法，以及分类讨论判断最优方案的思维，能有效锻炼数形结合能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1)求方案一的单价，根据“单价=总价÷数量”，观察图(1)可知100个包装盒总费用为500元，直接代入计算即可。
(2)方案二的租赁费用是未生产包装盒时的固定支出，对应图(2)中x=0时的y值；生产单价用“(生产一定数量的总费用-固定租赁费)÷生产数量”计算，选取图(2)中x=400时的总费用代入即可。
(3)求函数表达式时，$y_1$是过原点的正比例函数，设为$y_1=k_1x$，代入已知点坐标求出$k_1$即可；$y_2$是带截距的一次函数，设为$y_2=k_2x+b$，代入图中两个已知点坐标解方程组求出$k_2$和b即可。
(4)判断哪种方案省钱即比较$y_1$和$y_2$的大小，先求出两个函数值相等时x的取值，再分三种情况讨论即可。
【解析】
(1) 由图(1)可知，100个包装盒总费用为500元，
则单价为 $500÷100=5$（元/个）。
(2) 由图(2)可知，x=0时$y_2=2000$元，即租赁机器的费用为2000元；
生产400个包装盒总费用为3000元，则生产单价为 $(3000-2000)÷400=2.5$（元/个）。
(3) 设$y_1$关于x的函数表达式为$y_1=k_1x$（$k_1≠0$，$x≥0$且x为整数），
将$(100,500)$代入得：$500=100k_1$，
解得$k_1=5$，故$y_1=5x$（$x≥0$且x为整数）。
设$y_2$关于x的函数表达式为$y_2=k_2x+b$（$k_2≠0$，$x≥0$且x为整数），
将$(0,2000)$、$(400,3000)$代入得：
$\begin{cases}b=2000\\400k_2 + b = 3000\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k_2=2.5\\b=2000\end{cases}$，故$y_2=2.5x + 2000$（$x≥0$且x为整数）。
(4) 令$y_1=y_2$，即$5x=2.5x + 2000$，解得$x=800$。
分情况讨论：
① 当$x=800$时，$y_1=y_2$，两种方案费用相同；
② 当$0＜x＜800$时，$y_1＜y_2$，选择方案一更省钱；
③ 当$x＞800$时，$y_1＞y_2$，选择方案二更省钱。
【答案】
(1) 5元/个
(2) 租赁机器费用2000元，生产单价2.5元/个
(3) $y_1=5x$（$x≥0$且x为整数），$y_2=2.5x+2000$（$x≥0$且x为整数）
(4) 当包装盒数量为800个时，两种方案费用相同；当数量小于800个时选方案一；当数量大于800个时选方案二更省钱
【知识点】
一次函数实际应用，待定系数法求解析式，最优方案选择
【点评】
本题结合实际生活场景，考查对一次函数图象信息的提取能力、用待定系数法求函数解析式的方法，以及分类讨论判断最优方案的思维，能有效锻炼数形结合能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
