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4 如图，AD是$△ ABC$的高，且$AB+BD=DC$，$∠ BAD=38°$，求$∠ C$的度数.
答案
4. 在线段 DC 上取一点 E,使 DE=DB,连接 AE.
∵ AD 是△ABC 的高,
∴ AD⊥BC.
∴ AD 垂直平分 BE.
∴ AB=AE.
∵ ∠BAD = 38°,
∴ ∠AEB = ∠B = 90° - ∠BAD = 52°.
∵ AB+BD=DC,DE+CE=DC,
∴ AB=CE.
∴ AE=CE.
∴ ∠EAC=∠C.
∵ ∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,
∴ ∠C=$\frac{1}{2}$∠AEB=26°
∵ AD 是△ABC 的高,
∴ AD⊥BC.
∴ AD 垂直平分 BE.
∴ AB=AE.
∵ ∠BAD = 38°,
∴ ∠AEB = ∠B = 90° - ∠BAD = 52°.
∵ AB+BD=DC,DE+CE=DC,
∴ AB=CE.
∴ AE=CE.
∴ ∠EAC=∠C.
∵ ∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,
∴ ∠C=$\frac{1}{2}$∠AEB=26°
解析
【分析】
题目给出AD是△ABC的高，且有线段和关系$AB+BD=DC$，已知$∠ BAD$的度数求$∠ C$。我们可以用截长补短的思路构造辅助线：在DC上截取$DE=BD$，结合AD垂直BC，可得AD垂直平分BE，进而得到$AB=AE$，将AB转化为AE；再结合$AB+BD=DC$的条件，可推得$AE=CE$，得到等腰$△ AEC$，最后利用三角形外角的性质即可求出$∠ C$的度数。
【解析】
在线段 DC 上取一点 E，使$DE=DB$，连接 AE。
∵ AD 是$△ ABC$的高，
∴ $AD⊥ BC$，
∴ AD 垂直平分线段 BE，
∴ $AB=AE$。
∵ $∠ BAD = 38°$，
∴ $∠ B = 90° - ∠ BAD = 52°$，
∴ $∠ AEB = ∠ B = 52°$。
∵ $AB + BD = DC$，$DE + CE = DC$，且$BD=DE$，
∴ $AB = CE$，
又
∵ $AB=AE$，
∴ $AE=CE$，
∴ $∠ EAC=∠ C$。
∵ $∠ AEB$是$△ AEC$的外角，
∴ $∠ AEB=∠ EAC + ∠ C = 2∠ C$，
∴ $∠ C = \frac{1}{2}∠ AEB = \frac{1}{2}×52° = 26°$。
【答案】
$26°$
【知识点】
垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题通过构造截长补短类辅助线，将已知的线段和的条件转化为线段相等关系，结合垂直平分线、等腰三角形和外角的性质求解，是几何中构造辅助线转化条件的典型题型，需要熟练掌握这类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6
题目给出AD是△ABC的高，且有线段和关系$AB+BD=DC$，已知$∠ BAD$的度数求$∠ C$。我们可以用截长补短的思路构造辅助线：在DC上截取$DE=BD$，结合AD垂直BC，可得AD垂直平分BE，进而得到$AB=AE$，将AB转化为AE；再结合$AB+BD=DC$的条件，可推得$AE=CE$，得到等腰$△ AEC$，最后利用三角形外角的性质即可求出$∠ C$的度数。
【解析】
在线段 DC 上取一点 E，使$DE=DB$，连接 AE。
∵ AD 是$△ ABC$的高，
∴ $AD⊥ BC$，
∴ AD 垂直平分线段 BE，
∴ $AB=AE$。
∵ $∠ BAD = 38°$，
∴ $∠ B = 90° - ∠ BAD = 52°$，
∴ $∠ AEB = ∠ B = 52°$。
∵ $AB + BD = DC$，$DE + CE = DC$，且$BD=DE$，
∴ $AB = CE$，
又
∵ $AB=AE$，
∴ $AE=CE$，
∴ $∠ EAC=∠ C$。
∵ $∠ AEB$是$△ AEC$的外角，
∴ $∠ AEB=∠ EAC + ∠ C = 2∠ C$，
∴ $∠ C = \frac{1}{2}∠ AEB = \frac{1}{2}×52° = 26°$。
【答案】
$26°$
【知识点】
垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题通过构造截长补短类辅助线，将已知的线段和的条件转化为线段相等关系，结合垂直平分线、等腰三角形和外角的性质求解，是几何中构造辅助线转化条件的典型题型，需要熟练掌握这类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6
5 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=108°$，$AB=AC$，$BD$平分$∠ ABC$，交$AC$于点$D$.求证：$BC=AB+CD$.
答案
5. 在 BC 上取点 E,使 BE=BA,连接 DE.
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠ABD=∠EBD.在△ABD 和△EBD 中,$\begin{cases} AB=EB, \\ ∠ABD=∠EBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴ △ABD≌△EBD.
∴ ∠BAC=∠BED=108°.
∴ ∠DEC=72°.
∵ AB=AC,
∴ ∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=36°.
∴ ∠CDE=180°-∠C-∠DEC=72°=∠DEC.
∴ CD=CE.
∴ BC=BE+EC=AB+CD
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠ABD=∠EBD.在△ABD 和△EBD 中,$\begin{cases} AB=EB, \\ ∠ABD=∠EBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴ △ABD≌△EBD.
∴ ∠BAC=∠BED=108°.
∴ ∠DEC=72°.
∵ AB=AC,
∴ ∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=36°.
∴ ∠CDE=180°-∠C-∠DEC=72°=∠DEC.
∴ CD=CE.
∴ BC=BE+EC=AB+CD
解析
【分析】
要证明线段BC等于AB与CD的和，可采用截长补短的解题思路：首先在较长的线段BC上截取BE=AB，只需证明剩余的线段EC=CD即可。结合BD是∠ABC角平分线的条件，可先利用SAS证明△ABD与△EBD全等，得到对应角∠BED的度数，再结合等腰△ABC的内角性质，计算△CDE的内角度数，证明△CDE为等腰三角形得到EC=CD，最后通过线段和的关系即可完成证明。
【解析】
证明：在BC上取点E，使BE=BA，连接DE。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠EBD。
在△ABD和△EBD中，
$\begin{cases} AB=EB, \\ ∠ABD=∠EBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴ △ABD≌△EBD（SAS）。
∴ ∠BAC=∠BED=108°，
∴ ∠DEC=180°-∠BED=72°。
∵ AB=AC，∠BAC=108°，
∴ ∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}×(180°-∠BAC)=36°$。
在△CDE中，∠CDE=180°-∠C-∠DEC=180°-36°-72°=72°，
∴ ∠CDE=∠DEC，
∴ CD=CE。
∵ BC=BE+EC，且BE=AB，EC=CD，
∴ BC=AB+CD。
【答案】
BC=AB+CD
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的判定与性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是线段和差类证明的典型题型，解题核心是合理运用截长补短法构造辅助线，结合角平分线的条件构造全等三角形，再通过等腰三角形的性质转化线段关系，能有效训练几何辅助线的构造思维。
【难度系数】
0.6
要证明线段BC等于AB与CD的和，可采用截长补短的解题思路：首先在较长的线段BC上截取BE=AB，只需证明剩余的线段EC=CD即可。结合BD是∠ABC角平分线的条件，可先利用SAS证明△ABD与△EBD全等，得到对应角∠BED的度数，再结合等腰△ABC的内角性质，计算△CDE的内角度数，证明△CDE为等腰三角形得到EC=CD，最后通过线段和的关系即可完成证明。
【解析】
证明：在BC上取点E，使BE=BA，连接DE。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠EBD。
在△ABD和△EBD中，
$\begin{cases} AB=EB, \\ ∠ABD=∠EBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴ △ABD≌△EBD（SAS）。
∴ ∠BAC=∠BED=108°，
∴ ∠DEC=180°-∠BED=72°。
∵ AB=AC，∠BAC=108°，
∴ ∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}×(180°-∠BAC)=36°$。
在△CDE中，∠CDE=180°-∠C-∠DEC=180°-36°-72°=72°，
∴ ∠CDE=∠DEC，
∴ CD=CE。
∵ BC=BE+EC，且BE=AB，EC=CD，
∴ BC=AB+CD。
【答案】
BC=AB+CD
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的判定与性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是线段和差类证明的典型题型，解题核心是合理运用截长补短法构造辅助线，结合角平分线的条件构造全等三角形，再通过等腰三角形的性质转化线段关系，能有效训练几何辅助线的构造思维。
【难度系数】
0.6
6 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，点D在线段BC上，连接AD，若$∠ B = 2∠ CAD$，$AB = 8$，$CD = 2$，求BC的长。
答案
6. 如图,作∠CAE=∠CAD,AE 交 BC 的延长线于点 E.
∵ ∠ACD=90°,
∴ ∠ACE=90°.又
∵ AC=AC,
∴ △ACE≌△ACD.
∴ AE=AD,CE=CD=2,∠E=∠ADE.
∵ ∠B=2∠CAD,
∴ ∠EAD=∠B.
∵ ∠ADE=∠B+∠DAB,∠EAB=∠EAD+∠DAB,
∴ ∠ADE=∠EAB.
∴ ∠E=∠EAB.
∴ BE=BA=8.
∴ BC=BE-CE=6
解析
【分析】
本题给出了直角三角形、∠B=2∠CAD的二倍角关系，以及AB、CD的长度，要求BC的长。解题时优先考虑处理二倍角条件：通过构造与∠CAD相等的角，将二倍角转化为等角，结合直角、公共边可证明全等三角形，得到等角等边；再通过角的等量推导找到等腰三角形，利用等腰三角形等边的性质将已知的AB长度转化为BE的长度，最后通过线段的和差计算BC的长。
【解析】
作∠CAE=∠CAD，AE 交 BC 的延长线于点 E。
∵ ∠ACD=90°，
∴ ∠ACE=180°-∠ACD=90°，即∠ACE=∠ACD。
在△ACE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠CAE=∠CAD \\AC=AC \\∠ACE=∠ACD\end{array} $
∴ △ACE≌△ACD（ASA）。
∴ AE=AD，CE=CD=2，∠E=∠ADE。
∵ ∠B=2∠CAD，且∠EAD=∠CAE+∠CAD=2∠CAD，
∴ ∠EAD=∠B。
∵ ∠ADE是△ABD的外角，
∴ ∠ADE=∠B+∠DAB，
又
∵ ∠EAB=∠EAD+∠DAB，
∴ ∠ADE=∠EAB。
结合∠E=∠ADE，可得∠E=∠EAB，
∴ BE=BA=8（等角对等边）。
∴ BC=BE-CE=8-2=6。
【答案】
BC的长为6
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形外角的性质
【点评】
本题是构造等腰三角形解题的典型题型，核心是通过构造辅助线转化二倍角条件，结合全等三角形的性质推导角的等量关系，进而得到等腰三角形求解，解题的关键是掌握二倍角的常见辅助线构造方法。
【难度系数】
0.6
本题给出了直角三角形、∠B=2∠CAD的二倍角关系，以及AB、CD的长度，要求BC的长。解题时优先考虑处理二倍角条件：通过构造与∠CAD相等的角，将二倍角转化为等角，结合直角、公共边可证明全等三角形，得到等角等边；再通过角的等量推导找到等腰三角形，利用等腰三角形等边的性质将已知的AB长度转化为BE的长度，最后通过线段的和差计算BC的长。
【解析】
作∠CAE=∠CAD，AE 交 BC 的延长线于点 E。
∵ ∠ACD=90°，
∴ ∠ACE=180°-∠ACD=90°，即∠ACE=∠ACD。
在△ACE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠CAE=∠CAD \\AC=AC \\∠ACE=∠ACD\end{array} $
∴ △ACE≌△ACD（ASA）。
∴ AE=AD，CE=CD=2，∠E=∠ADE。
∵ ∠B=2∠CAD，且∠EAD=∠CAE+∠CAD=2∠CAD，
∴ ∠EAD=∠B。
∵ ∠ADE是△ABD的外角，
∴ ∠ADE=∠B+∠DAB，
又
∵ ∠EAB=∠EAD+∠DAB，
∴ ∠ADE=∠EAB。
结合∠E=∠ADE，可得∠E=∠EAB，
∴ BE=BA=8（等角对等边）。
∴ BC=BE-CE=8-2=6。
【答案】
BC的长为6
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形外角的性质
【点评】
本题是构造等腰三角形解题的典型题型，核心是通过构造辅助线转化二倍角条件，结合全等三角形的性质推导角的等量关系，进而得到等腰三角形求解，解题的关键是掌握二倍角的常见辅助线构造方法。
【难度系数】
0.6
7 如图,在$△ ABC$中,AD为BC边上的中线,$AC=\frac{1}{2}BC,∠ ACB=2∠ B$,求证:$∠ BAC=90°$.
答案
7. 如图,作∠ACB 的平分线交 AB 于点 E,连接 ED,则∠ACB=2∠ECB.
∵ ∠ACB=2∠B,
∴ ∠B=∠ECB.
∴ CE=EB. 又
∵ AD 为 BC 边上的中线,
∴ BD=CD=$\frac{1}{2}$BC.
∴ ED⊥BC.
∴ ∠EDC=90°. 又
∵ AC=$\frac{1}{2}$BC,
∴ AC=CD. 在△AEC 和△DEC 中,$\begin{cases} AC=DC, \\ ∠ACE=∠DCE, \\ CE=CE, \end{cases}$
∴ △AEC≌△DEC.
∴ ∠BAC=∠EDC=90°
解析
【分析】
遇到二倍角关系时，通常可以作大角的角平分线，得到两个相等的小角，从而构造等腰三角形。本题中已知∠ACB=2∠B，因此先作∠ACB的平分线，可得∠B=∠ECB，推出△EBC是等腰三角形；再结合AD是BC中线，可得CD=$\frac{1}{2}$BC，与已知AC=$\frac{1}{2}$BC对比得AC=CD；最后利用SAS证明△AEC和△DEC全等，结合等腰三角形三线合一得到的∠EDC=90°，即可推出∠BAC的度数。
【解析】
证明：作∠ACB的平分线交AB于点E，连接ED，则∠ACB=2∠ECB。
∵ ∠ACB=2∠B，
∴ ∠B=∠ECB，根据等角对等边可得CE=EB。
∵ AD为BC边上的中线，
∴ BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
根据等腰三角形三线合一的性质可得ED⊥BC，即∠EDC=90°。
∵ AC=$\frac{1}{2}$BC，
∴ AC=CD。
在△AEC和△DEC中：
$\begin{cases} AC=DC \\ ∠ACE=∠DCE \\ CE=CE \end{cases}$
∴ △AEC≌△DEC（SAS），
∴ ∠BAC=∠EDC=90°。
【答案】
如图,作∠ACB 的平分线交 AB 于点 E,连接 ED,则∠ACB=2∠ECB.
∵ ∠ACB=2∠B,
∴ ∠B=∠ECB.
∴ CE=EB. 又
∵ AD 为 BC 边上的中线,
∴ BD=CD=$\frac{1}{2}$BC.
∴ ED⊥BC.
∴ ∠EDC=90°. 又
∵ AC=$\frac{1}{2}$BC,
∴ AC=CD. 在△AEC 和△DEC 中,$\begin{cases} AC=DC, \\ ∠ACE=∠DCE, \\ CE=CE, \end{cases}$
∴ △AEC≌△DEC.
∴ ∠BAC=∠EDC=90°
【知识点】
等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
本题是典型的几何证明题，解题的核心是通过构造角平分线将二倍角条件转化为等角条件，进而构造等腰三角形和全等三角形，将分散的已知条件关联起来，最终推导得到结论，掌握二倍角的常用辅助线构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
遇到二倍角关系时，通常可以作大角的角平分线，得到两个相等的小角，从而构造等腰三角形。本题中已知∠ACB=2∠B，因此先作∠ACB的平分线，可得∠B=∠ECB，推出△EBC是等腰三角形；再结合AD是BC中线，可得CD=$\frac{1}{2}$BC，与已知AC=$\frac{1}{2}$BC对比得AC=CD；最后利用SAS证明△AEC和△DEC全等，结合等腰三角形三线合一得到的∠EDC=90°，即可推出∠BAC的度数。
【解析】
证明：作∠ACB的平分线交AB于点E，连接ED，则∠ACB=2∠ECB。
∵ ∠ACB=2∠B，
∴ ∠B=∠ECB，根据等角对等边可得CE=EB。
∵ AD为BC边上的中线，
∴ BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
根据等腰三角形三线合一的性质可得ED⊥BC，即∠EDC=90°。
∵ AC=$\frac{1}{2}$BC，
∴ AC=CD。
在△AEC和△DEC中：
$\begin{cases} AC=DC \\ ∠ACE=∠DCE \\ CE=CE \end{cases}$
∴ △AEC≌△DEC（SAS），
∴ ∠BAC=∠EDC=90°。
【答案】
如图,作∠ACB 的平分线交 AB 于点 E,连接 ED,则∠ACB=2∠ECB.
∵ ∠ACB=2∠B,
∴ ∠B=∠ECB.
∴ CE=EB. 又
∵ AD 为 BC 边上的中线,
∴ BD=CD=$\frac{1}{2}$BC.
∴ ED⊥BC.
∴ ∠EDC=90°. 又
∵ AC=$\frac{1}{2}$BC,
∴ AC=CD. 在△AEC 和△DEC 中,$\begin{cases} AC=DC, \\ ∠ACE=∠DCE, \\ CE=CE, \end{cases}$
∴ △AEC≌△DEC.
∴ ∠BAC=∠EDC=90°
【知识点】
等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
本题是典型的几何证明题，解题的核心是通过构造角平分线将二倍角条件转化为等角条件，进而构造等腰三角形和全等三角形，将分散的已知条件关联起来，最终推导得到结论，掌握二倍角的常用辅助线构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
