登录
1 下列关于等边三角形的说法中，不正确的是
（
A.等边三角形的三条边都相等
B.等边三角形的三个内角都等于$60°$
C.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
D.等腰三角形具有等边三角形的性质
（
D
）A.等边三角形的三条边都相等
B.等边三角形的三个内角都等于$60°$
C.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
D.等腰三角形具有等边三角形的性质
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查等边三角形的相关概念与性质，解题时需先回忆等边三角形的定义、性质，以及等边三角形和等腰三角形的从属关系，再逐一判断每个选项的正误，选出说法不正确的选项即可。
【解析】
对每个选项逐一分析：
A. 根据等边三角形的定义，等边三角形的三条边都相等，该说法正确，不符合题意；
B. 三角形内角和为$180°$，等边三角形三个内角相等，因此每个内角为$180°÷3=60°$，该说法正确，不符合题意；
C. 等边三角形沿三条高（或三条角平分线、三条中线）所在的直线折叠，直线两侧的部分都能完全重合，因此是轴对称图形，共有3条对称轴，该说法正确，不符合题意；
D. 等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形具有等腰三角形的所有性质，但等腰三角形只有两条边相等，三个内角不一定都是$60°$，不具有等边三角形的全部性质，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；等腰与等边的从属关系；轴对称图形概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生准确区分等边三角形和等腰三角形的性质范围，牢记等边三角形的相关特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查等边三角形的相关概念与性质，解题时需先回忆等边三角形的定义、性质，以及等边三角形和等腰三角形的从属关系，再逐一判断每个选项的正误，选出说法不正确的选项即可。
【解析】
对每个选项逐一分析：
A. 根据等边三角形的定义，等边三角形的三条边都相等，该说法正确，不符合题意；
B. 三角形内角和为$180°$，等边三角形三个内角相等，因此每个内角为$180°÷3=60°$，该说法正确，不符合题意；
C. 等边三角形沿三条高（或三条角平分线、三条中线）所在的直线折叠，直线两侧的部分都能完全重合，因此是轴对称图形，共有3条对称轴，该说法正确，不符合题意；
D. 等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形具有等腰三角形的所有性质，但等腰三角形只有两条边相等，三个内角不一定都是$60°$，不具有等边三角形的全部性质，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；等腰与等边的从属关系；轴对称图形概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生准确区分等边三角形和等腰三角形的性质范围，牢记等边三角形的相关特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2 教材P93复习题T12变式 如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠E的度数为（
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
（第2题）
C
）A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
（第2题）答案
2. C
解析
【分析】解题时先从已知的等边三角形入手，首先利用等边三角形内角为60°、三线合一的性质，结合BD是AC边上的高，求出∠DBC的度数；再根据“同圆的半径相等”得到DB=DE，可知△DBE是等腰三角形，最后利用等腰三角形等边对等角的性质即可求出∠E的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD⊥AC，即∠BDC=90°，
在△BDC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠DBC=180°-∠BDC-∠ACB=180°-90°-60°=30°，
由作图可知，DB、DE都是圆D的半径，
∴DB=DE，
∴△DBE为等腰三角形，
∴∠E=∠DBC=30°。
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】本题是角度计算的基础题，核心是结合特殊三角形的性质和圆的特征转化角度关系，解题关键是找到∠DBC和∠E的相等关系，考查对基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】0.8
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD⊥AC，即∠BDC=90°，
在△BDC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠DBC=180°-∠BDC-∠ACB=180°-90°-60°=30°，
由作图可知，DB、DE都是圆D的半径，
∴DB=DE，
∴△DBE为等腰三角形，
∴∠E=∠DBC=30°。
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】本题是角度计算的基础题，核心是结合特殊三角形的性质和圆的特征转化角度关系，解题关键是找到∠DBC和∠E的相等关系，考查对基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】0.8
3 如图，$△ ABC$是等边三角形，$D$，$E$分别是$AC$，$BC$上的点，若$AE=AD$，$∠ CED=20°$，则$∠ BAE=$
40°
。答案
3. $40°$
解析
【分析】
解题时首先回忆等边三角形的性质，其三个内角均为60°。已知AE=AD，可得△ADE为等腰三角形，两底角相等。我们可以先在△CDE中利用三角形内角和求出∠CDE的度数，再结合平角的性质求出等腰△ADE的底角∠ADE，进而得到∠AED的度数，求出∠AEC的大小后，最后利用三角形外角的性质即可算出∠BAE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=∠C=∠BAC=60°
在△CDE中，∠C=60°，∠CED=20°
根据三角形内角和为180°，得：
∠CDE=180°-∠C-∠CED=180°-60°-20°=100°
∵点D在AC上，∠ADC为平角
∴∠ADE=180°-∠CDE=180°-100°=80°
又
∵AE=AD，
∴△ADE是等腰三角形
∴∠AED=∠ADE=80°
∴∠AEC=∠AED+∠CED=80°+20°=100°
∵∠AEC是△ABE的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和：
∠AEC=∠B+∠BAE
∴∠BAE=∠AEC-∠B=100°-60°=40°
【答案】
$40°$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是梳理清楚图形中各角的位置关系，结合特殊三角形的性质逐步推导角度，需要注意平角、外角等隐含的角度关系的运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆等边三角形的性质，其三个内角均为60°。已知AE=AD，可得△ADE为等腰三角形，两底角相等。我们可以先在△CDE中利用三角形内角和求出∠CDE的度数，再结合平角的性质求出等腰△ADE的底角∠ADE，进而得到∠AED的度数，求出∠AEC的大小后，最后利用三角形外角的性质即可算出∠BAE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=∠C=∠BAC=60°
在△CDE中，∠C=60°，∠CED=20°
根据三角形内角和为180°，得：
∠CDE=180°-∠C-∠CED=180°-60°-20°=100°
∵点D在AC上，∠ADC为平角
∴∠ADE=180°-∠CDE=180°-100°=80°
又
∵AE=AD，
∴△ADE是等腰三角形
∴∠AED=∠ADE=80°
∴∠AEC=∠AED+∠CED=80°+20°=100°
∵∠AEC是△ABE的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和：
∠AEC=∠B+∠BAE
∴∠BAE=∠AEC-∠B=100°-60°=40°
【答案】
$40°$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是梳理清楚图形中各角的位置关系，结合特殊三角形的性质逐步推导角度，需要注意平角、外角等隐含的角度关系的运用。
【难度系数】
0.7
4 如图,在等边三角形ABC中,D是边AB上的一点,E是CB延长线上的一点,连接CD,DE.若$∠ BDE=25°$,$CD=DE$,求$∠ ACD$的度数.
答案
4. $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ ABC = ∠ ACB = 60°$.
$\because ∠ BDE=25°, \therefore ∠ E = ∠ ABC - ∠ BDE = 60° - 25° = 35°$.
$\because CD = DE, \therefore ∠ DCE = ∠ E = 35°. \therefore ∠ ACD = ∠ ACB - ∠ DCE = 60° - 35° = 25°$
$\because ∠ BDE=25°, \therefore ∠ E = ∠ ABC - ∠ BDE = 60° - 25° = 35°$.
$\because CD = DE, \therefore ∠ DCE = ∠ E = 35°. \therefore ∠ ACD = ∠ ACB - ∠ DCE = 60° - 35° = 25°$
解析
【分析】
解题时先从已知的等边三角形入手，利用等边三角形每个内角都是60°的性质得到∠ABC和∠ACB的度数；其次观察到∠ABC是△BDE的外角，结合三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，已知∠BDE的度数即可求出∠E的度数；再根据CD=DE可知△CDE是等腰三角形，利用等边对等角得到∠DCE=∠E；最后用∠ACB的度数减去∠DCE的度数，就能求出∠ACD的度数。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°。
∵ ∠ABC是△BDE的外角，
∴ ∠ABC = ∠E + ∠BDE，
已知∠BDE=25°，代入得：
∠E = ∠ABC - ∠BDE = 60° - 25° = 35°。
∵ CD = DE，
∴ △CDE是等腰三角形，
∴ ∠DCE = ∠E = 35°。
∴ ∠ACD = ∠ACB - ∠DCE = 60° - 35° = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，将等边三角形、等腰三角形的性质与三角形外角性质结合考查，解题关键是理清各角之间的数量关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.75
解题时先从已知的等边三角形入手，利用等边三角形每个内角都是60°的性质得到∠ABC和∠ACB的度数；其次观察到∠ABC是△BDE的外角，结合三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，已知∠BDE的度数即可求出∠E的度数；再根据CD=DE可知△CDE是等腰三角形，利用等边对等角得到∠DCE=∠E；最后用∠ACB的度数减去∠DCE的度数，就能求出∠ACD的度数。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°。
∵ ∠ABC是△BDE的外角，
∴ ∠ABC = ∠E + ∠BDE，
已知∠BDE=25°，代入得：
∠E = ∠ABC - ∠BDE = 60° - 25° = 35°。
∵ CD = DE，
∴ △CDE是等腰三角形，
∴ ∠DCE = ∠E = 35°。
∴ ∠ACD = ∠ACB - ∠DCE = 60° - 35° = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，将等边三角形、等腰三角形的性质与三角形外角性质结合考查，解题关键是理清各角之间的数量关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.75
5 教材P82练习T2变式 如图,在等边三角形ABC中,CD是AB上的高,$∠ ADE = ∠ BDF = 60°$,则图中与AD相等的线段有 （
A.2条
B.5条
C.7条
D.9条
（第5题）
C
）A.2条
B.5条
C.7条
D.9条
（第5题）答案
5. C
解析
【分析】
首先利用等边三角形三线合一的性质，由CD是等边△ABC的高得出AD=BD，且∠A、∠B均为60°；再结合已知∠ADE=∠BDF=60°，可判定△ADE、△BDF都是等边三角形，得到这两个三角形的边均等于AD；接着根据角度关系推导等角对等边，得出EC、FC也和AD相等，最后统计相等线段的总数即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，CD是AB边上的高，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AD=BD，CD平分∠ACB，即∠ACD=∠BCD=30°。
①
∵∠A=60°，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE。
②
∵∠B=60°，∠BDF=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BD=BF=DF，又
∵AD=BD，
∴AD=BF=DF。
③
∵∠ADE=∠B=60°，
∴DE//BC，
∴∠EDC=∠BCD=30°，又
∵∠ACD=30°，
∴∠EDC=∠ACD，
∴EC=DE，即EC=AD。
④
∵∠CDB=90°，∠BDF=60°，
∴∠CDF=30°，
又
∵∠BCD=30°，
∴∠CDF=∠BCD，
∴FC=DF，即FC=AD。
综上，与AD相等的线段有BD、AE、DE、BF、DF、EC、FC，共7条。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，等边三角形的判定，等角对等边
【点评】
本题是等边三角形性质与判定的基础综合题，解题关键是熟练运用等边三角形的相关性质，结合角度关系推导相等线段，统计线段时注意不要漏算，避免因粗心丢分。
【难度系数】
0.6
首先利用等边三角形三线合一的性质，由CD是等边△ABC的高得出AD=BD，且∠A、∠B均为60°；再结合已知∠ADE=∠BDF=60°，可判定△ADE、△BDF都是等边三角形，得到这两个三角形的边均等于AD；接着根据角度关系推导等角对等边，得出EC、FC也和AD相等，最后统计相等线段的总数即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，CD是AB边上的高，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AD=BD，CD平分∠ACB，即∠ACD=∠BCD=30°。
①
∵∠A=60°，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE。
②
∵∠B=60°，∠BDF=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BD=BF=DF，又
∵AD=BD，
∴AD=BF=DF。
③
∵∠ADE=∠B=60°，
∴DE//BC，
∴∠EDC=∠BCD=30°，又
∵∠ACD=30°，
∴∠EDC=∠ACD，
∴EC=DE，即EC=AD。
④
∵∠CDB=90°，∠BDF=60°，
∴∠CDF=30°，
又
∵∠BCD=30°，
∴∠CDF=∠BCD，
∴FC=DF，即FC=AD。
综上，与AD相等的线段有BD、AE、DE、BF、DF、EC、FC，共7条。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，等边三角形的判定，等角对等边
【点评】
本题是等边三角形性质与判定的基础综合题，解题关键是熟练运用等边三角形的相关性质，结合角度关系推导相等线段，统计线段时注意不要漏算，避免因粗心丢分。
【难度系数】
0.6
6 新情境 生活实际 如图，在一个池塘旁有一条笔直的公路MN，公路对面有一个建筑A，小明在公路一侧点B处测得∠ABN=60°，为了得到此时他与建筑物A之间的距离，小明沿公路MN继续向东走到点C处，测得∠ACB=60°，并测得他走了48米，则AB的长为
48
米。答案
6. 48
解析
【分析】
解题时首先定位到△ABC，先根据已知的两个角度数，结合三角形内角和定理计算出△ABC第三个内角的度数，判断△ABC的形状，再利用特殊三角形的边的性质结合已知BC的长度，即可求出AB的长。
【解析】
在△ABC中：
∵ ∠ABC = ∠ABN = 60°，∠ACB = 60°
∴ ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 60° - 60° = 60°
∴ ∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60°，即△ABC是等边三角形
∴ AB = BC
∵ BC = 48米
∴ AB = 48米
【答案】
48
【知识点】
三角形内角和定理；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题结合生活测量场景考查等边三角形的相关知识，解题的关键是根据已知角的度数判断出三角形为等边三角形，注重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先定位到△ABC，先根据已知的两个角度数，结合三角形内角和定理计算出△ABC第三个内角的度数，判断△ABC的形状，再利用特殊三角形的边的性质结合已知BC的长度，即可求出AB的长。
【解析】
在△ABC中：
∵ ∠ABC = ∠ABN = 60°，∠ACB = 60°
∴ ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 60° - 60° = 60°
∴ ∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60°，即△ABC是等边三角形
∴ AB = BC
∵ BC = 48米
∴ AB = 48米
【答案】
48
【知识点】
三角形内角和定理；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题结合生活测量场景考查等边三角形的相关知识，解题的关键是根据已知角的度数判断出三角形为等边三角形，注重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.8
7 如图,延长$△ ABC$的各边,使$BF=AC$,$AE=CD=AB$,连接$DE$,$EF$,$FD$,得到的$△ DEF$是等边三角形.求证:
(1) $△ AEF ≌ △ CDE$;
(2) $△ ABC$是等边三角形.
(1) $△ AEF ≌ △ CDE$;
(2) $△ ABC$是等边三角形.
答案
7. (1) $\because BF=AC, AB=AE, \therefore BF+AB = AC+AE$, 即$FA=EC. \because △ DEF$ 是等边三角形, $\therefore EF=DE$. 在$△ AEF$ 和 $△ CDE$ 中, $\begin{cases} AE=CD, \\ FA=EC, \\ EF=DE, \end{cases} \therefore △ AEF ≌ △ CDE$
(2) 由(1),得$△ AEF ≌ △ CDE, \therefore ∠ FEA = ∠ EDC. \because ∠ BCA = ∠ EDC + ∠ DEC, △ DEF$ 是等边三角形, $\therefore ∠ BCA = ∠ FEA + ∠ DEC = ∠ DEF = 60°$. 同理,可得$∠ BAC=60°. \therefore △ ABC$ 是等边三角形
(2) 由(1),得$△ AEF ≌ △ CDE, \therefore ∠ FEA = ∠ EDC. \because ∠ BCA = ∠ EDC + ∠ DEC, △ DEF$ 是等边三角形, $\therefore ∠ BCA = ∠ FEA + ∠ DEC = ∠ DEF = 60°$. 同理,可得$∠ BAC=60°. \therefore △ ABC$ 是等边三角形
解析
【分析】
(1) 要证明△AEF≌△CDE，优先找全等的判定条件：已知AE=CD，等边△DEF可推出EF=DE，还缺一组边相等；利用已知的BF=AC、AB=AE，通过线段和的运算即可得到FA=EC，满足SSS全等判定的条件。
(2) 要证明△ABC是等边三角形，可通过证明它的内角为60°实现：利用(1)的全等结论得到对应角相等，结合三角形外角的性质，将△ABC的内角和等边△DEF的60°内角建立联系，得到△ABC的两个内角为60°，即可判定它是等边三角形。
【解析】
(1) 证明：
$\because BF=AC, AB=AE$，
$\therefore BF+AB = AC+AE$，即$FA=EC$。
$\because △DEF$是等边三角形，
$\therefore EF=DE$。
在$△AEF$和$△CDE$中：
$\begin{cases} AE=CD \\ FA=EC \\ EF=DE \end{cases}$
$\therefore △AEF ≌ △CDE$（SSS）。
(2) 证明：
由(1)的全等结论可得$∠FEA = ∠EDC$。
$\because ∠BCA$是$△CDE$的外角，
$\therefore ∠BCA = ∠EDC + ∠DEC$。
又$\because △DEF$是等边三角形，$\therefore ∠DEF=60°$，
$\therefore ∠BCA = ∠FEA + ∠DEC = ∠DEF = 60°$。
同理可得$∠BAC=60°$，
$\therefore △ABC$是等边三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{△AEF ≌ △CDE}$得证；
(2) $\boldsymbol{△ABC}$是等边三角形得证。
【知识点】
全等三角形的SSS判定、等边三角形的性质与判定、三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形和等边三角形的综合基础题，解题核心是先通过线段和差推导全等的边条件，再利用全等性质转化角的关系，结合等边三角形的性质完成判定，能很好地巩固三角形相关的核心知识点。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△AEF≌△CDE，优先找全等的判定条件：已知AE=CD，等边△DEF可推出EF=DE，还缺一组边相等；利用已知的BF=AC、AB=AE，通过线段和的运算即可得到FA=EC，满足SSS全等判定的条件。
(2) 要证明△ABC是等边三角形，可通过证明它的内角为60°实现：利用(1)的全等结论得到对应角相等，结合三角形外角的性质，将△ABC的内角和等边△DEF的60°内角建立联系，得到△ABC的两个内角为60°，即可判定它是等边三角形。
【解析】
(1) 证明：
$\because BF=AC, AB=AE$，
$\therefore BF+AB = AC+AE$，即$FA=EC$。
$\because △DEF$是等边三角形，
$\therefore EF=DE$。
在$△AEF$和$△CDE$中：
$\begin{cases} AE=CD \\ FA=EC \\ EF=DE \end{cases}$
$\therefore △AEF ≌ △CDE$（SSS）。
(2) 证明：
由(1)的全等结论可得$∠FEA = ∠EDC$。
$\because ∠BCA$是$△CDE$的外角，
$\therefore ∠BCA = ∠EDC + ∠DEC$。
又$\because △DEF$是等边三角形，$\therefore ∠DEF=60°$，
$\therefore ∠BCA = ∠FEA + ∠DEC = ∠DEF = 60°$。
同理可得$∠BAC=60°$，
$\therefore △ABC$是等边三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{△AEF ≌ △CDE}$得证；
(2) $\boldsymbol{△ABC}$是等边三角形得证。
【知识点】
全等三角形的SSS判定、等边三角形的性质与判定、三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形和等边三角形的综合基础题，解题核心是先通过线段和差推导全等的边条件，再利用全等性质转化角的关系，结合等边三角形的性质完成判定，能很好地巩固三角形相关的核心知识点。
【难度系数】
0.7
