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1 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$在$AB$上，点$F$在$AC$的延长线上，且$BD=CF$，连接$DF$交$BC$于点$E$.求证：$DE=FE$.
答案
1. 过点 D 作AF 的平行线交 BC 于点 G,则∠FCE=∠DGE,∠DGB = ∠ACB.
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠ACB.
∴ ∠ABC=∠DGB.
∴ DG=BD.
∵ BD=CF,
∴ DG=CF.
在 △DGE 和 △FCE 中,$\begin{cases} ∠DGE=∠FCE, \\ ∠DEG=∠FEC, \\ DG=FC, \end{cases}$
∴ △DGE ≌ △FCE.
∴ DE=FE
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠ACB.
∴ ∠ABC=∠DGB.
∴ DG=BD.
∵ BD=CF,
∴ DG=CF.
在 △DGE 和 △FCE 中,$\begin{cases} ∠DGE=∠FCE, \\ ∠DEG=∠FEC, \\ DG=FC, \end{cases}$
∴ △DGE ≌ △FCE.
∴ DE=FE
解析
【分析】
要证明DE=FE，通常可证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知DE、FE所在的△DBE和△FCE不满足全等条件，因此需要添加辅助线构造全等三角形。已知AB=AC，△ABC为等腰三角形，且BD=CF，可过点D作AF的平行线交BC于点G：一方面可利用平行线的性质和等腰三角形等角对等边的性质，推出∠ABC=∠DGB，进而得到DG=BD，结合已知BD=CF可推出DG=CF，得到一组相等的边；另一方面可得到两组相等的角，满足全等三角形的判定条件，即可通过证△DGE≌△FCE得到DE=FE。
【解析】
过点D作AF的平行线交BC于点G，则∠FCE=∠DGE，∠DGB = ∠ACB。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠ACB，
∴ ∠ABC=∠DGB，
∴ DG=BD。
∵ BD=CF，
∴ DG=CF。
在△DGE和△FCE中：
$\begin{cases} ∠DGE=∠FCE \\ ∠DEG=∠FEC \\ DG=FC \end{cases}$
∴ △DGE ≌ △FCE（AAS），
∴ DE=FE。
【答案】
DE=FE
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形结合的典型证明题，解题关键是通过作平行线构造全等三角形和等腰三角形，实现线段与角的等量转化，能够有效考查对几何辅助线的构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要证明DE=FE，通常可证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知DE、FE所在的△DBE和△FCE不满足全等条件，因此需要添加辅助线构造全等三角形。已知AB=AC，△ABC为等腰三角形，且BD=CF，可过点D作AF的平行线交BC于点G：一方面可利用平行线的性质和等腰三角形等角对等边的性质，推出∠ABC=∠DGB，进而得到DG=BD，结合已知BD=CF可推出DG=CF，得到一组相等的边；另一方面可得到两组相等的角，满足全等三角形的判定条件，即可通过证△DGE≌△FCE得到DE=FE。
【解析】
过点D作AF的平行线交BC于点G，则∠FCE=∠DGE，∠DGB = ∠ACB。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠ACB，
∴ ∠ABC=∠DGB，
∴ DG=BD。
∵ BD=CF，
∴ DG=CF。
在△DGE和△FCE中：
$\begin{cases} ∠DGE=∠FCE \\ ∠DEG=∠FEC \\ DG=FC \end{cases}$
∴ △DGE ≌ △FCE（AAS），
∴ DE=FE。
【答案】
DE=FE
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形结合的典型证明题，解题关键是通过作平行线构造全等三角形和等腰三角形，实现线段与角的等量转化，能够有效考查对几何辅助线的构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
2 如图，$AB=CE$，且$∠ A + ∠ ACE = 180°$，$AC$交$BE$于点$M$，求证：$BM=EM$. 
(第2题)
(第2题)答案
2. 如图,过点 B 作 BH//CE,交 AM 于点 H,则∠ACE=∠BHM.
∵ ∠A+∠ACE=180°,
∴ ∠A+∠BHM=180°.又
∵ ∠BHM+∠AHB=180°,
∴ ∠A=∠AHB.
∴ AB=HB.
又
∵ AB = CE,
∴ BH = CE. 在 △BHM 和 △ECM 中,∠BHM=∠C,∠HMB=∠CME,BH=EC,
∴ △BHM≌△ECM.
∴ BM=EM
解析
【分析】
要证明BM=EM，可考虑证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知BM和EM分别在对顶的两个三角形中，直接证明全等缺少边相等的条件，结合已知条件∠A+∠ACE=180°、AB=CE，可过B作BH//CE，一方面利用平行线性质得到角相等，另一方面可通过角的互补关系推出AB=BH，将已知的AB=CE转化为BH=CE，即可凑齐三角形全等的条件，进而证明对应边相等。
【解析】
过点B作BH//CE，交AM于点H：
1. 由平行线的性质，得∠ACE=∠BHM；
2. 已知∠A+∠ACE=180°，等量代换得∠A+∠BHM=180°；
3. 由平角定义可知∠BHM+∠AHB=180°，根据同角的补角相等，得∠A=∠AHB；
4. 根据等角对等边，得AB=HB；
5. 已知AB=CE，等量代换得BH=CE；
6. 在△BHM和△ECM中：
$\{\begin{array}{l} ∠BHM=∠ECM\\ ∠HMB=∠CME\\ BH=EC \end{array} $
所以△BHM≌△ECM（AAS）；
7. 由全等三角形对应边相等，得BM=EM。
【答案】
过点 B 作 BH//CE,交 AM 于点 H,则∠ACE=∠BHM.
∵ ∠A+∠ACE=180°,
∴ ∠A+∠BHM=180°.又
∵ ∠BHM+∠AHB=180°,
∴ ∠A=∠AHB.
∴ AB=HB.
又
∵ AB = CE,
∴ BH = CE. 在 △BHM 和 △ECM 中,∠BHM=∠C,∠HMB=∠CME,BH=EC,
∴ △BHM≌△ECM.
∴ BM=EM
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形判定、全等三角形判定与性质
【点评】
本题是典型的构造辅助线证明线段相等的问题，解题核心是通过作平行线将已知的角互补、边相等的条件进行转化，构造出全等三角形，能有效训练几何辅助线的构造思维。
【难度系数】
0.6
要证明BM=EM，可考虑证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知BM和EM分别在对顶的两个三角形中，直接证明全等缺少边相等的条件，结合已知条件∠A+∠ACE=180°、AB=CE，可过B作BH//CE，一方面利用平行线性质得到角相等，另一方面可通过角的互补关系推出AB=BH，将已知的AB=CE转化为BH=CE，即可凑齐三角形全等的条件，进而证明对应边相等。
【解析】
过点B作BH//CE，交AM于点H：
1. 由平行线的性质，得∠ACE=∠BHM；
2. 已知∠A+∠ACE=180°，等量代换得∠A+∠BHM=180°；
3. 由平角定义可知∠BHM+∠AHB=180°，根据同角的补角相等，得∠A=∠AHB；
4. 根据等角对等边，得AB=HB；
5. 已知AB=CE，等量代换得BH=CE；
6. 在△BHM和△ECM中：
$\{\begin{array}{l} ∠BHM=∠ECM\\ ∠HMB=∠CME\\ BH=EC \end{array} $
所以△BHM≌△ECM（AAS）；
7. 由全等三角形对应边相等，得BM=EM。
【答案】
过点 B 作 BH//CE,交 AM 于点 H,则∠ACE=∠BHM.
∵ ∠A+∠ACE=180°,
∴ ∠A+∠BHM=180°.又
∵ ∠BHM+∠AHB=180°,
∴ ∠A=∠AHB.
∴ AB=HB.
又
∵ AB = CE,
∴ BH = CE. 在 △BHM 和 △ECM 中,∠BHM=∠C,∠HMB=∠CME,BH=EC,
∴ △BHM≌△ECM.
∴ BM=EM
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形判定、全等三角形判定与性质
【点评】
本题是典型的构造辅助线证明线段相等的问题，解题核心是通过作平行线将已知的角互补、边相等的条件进行转化，构造出全等三角形，能有效训练几何辅助线的构造思维。
【难度系数】
0.6
3 如图，AD是∠BAC的平分线，∠B=∠EAC，ED⊥AD于点D.求证:ED平分∠AEB.
答案
3. 延长 AD 交 BC 于点 F.
∵ AD 是 ∠BAC 的平分线,
∴ ∠BAD=∠CAD.
∵ ∠DFE=∠B+∠BAD,∠DAE=∠EAC+∠CAD,∠B=∠EAC,
∴ ∠DFE=∠DAE.
∴ AE= FE.
∵ ED⊥AD,
∴ ED 平分∠AEB
∵ AD 是 ∠BAC 的平分线,
∴ ∠BAD=∠CAD.
∵ ∠DFE=∠B+∠BAD,∠DAE=∠EAC+∠CAD,∠B=∠EAC,
∴ ∠DFE=∠DAE.
∴ AE= FE.
∵ ED⊥AD,
∴ ED 平分∠AEB
解析
【分析】
要证明ED平分∠AEB，结合已知ED⊥AD的条件，可联想等腰三角形“三线合一”的性质，因此需要构造以E为顶点，AD所在直线为高的等腰三角形。我们可以通过延长AD交BE于点F，只需证明△AEF是等腰三角形（即AE=FE）即可。要证AE=FE，需证对应的底角相等，即∠DAE=∠DFE，接下来利用角平分线的定义、已知的∠B=∠EAC，结合三角形外角的性质进行角的等量代换，即可证明两角相等，得到等腰三角形后，再利用三线合一的性质即可完成证明。
【解析】
证明：延长AD交BC于点F.
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD.
∵ ∠DFE是△ABF的外角，
∴ ∠DFE=∠B+∠BAD，
又
∵ ∠DAE=∠EAC+∠CAD，且已知∠B=∠EAC，
∴ ∠DFE=∠DAE（等量代换）.
∴ AE=FE（等角对等边），即△AEF为等腰三角形.
∵ ED⊥AD，即ED是等腰△AEF底边AF上的高，
∴ ED平分∠AEB（等腰三角形三线合一）.
【答案】
ED平分∠AEB，证明成立。
【知识点】
1.角平分线的定义 2.三角形外角性质 3.等腰三角形三线合一
【点评】
本题解题关键是根据已知的垂直、角相等条件合理添加辅助线构造等腰三角形，通过角的等量代换得到等腰三角形后，利用三线合一性质即可完成证明，考查了学生对几何性质的综合运用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
要证明ED平分∠AEB，结合已知ED⊥AD的条件，可联想等腰三角形“三线合一”的性质，因此需要构造以E为顶点，AD所在直线为高的等腰三角形。我们可以通过延长AD交BE于点F，只需证明△AEF是等腰三角形（即AE=FE）即可。要证AE=FE，需证对应的底角相等，即∠DAE=∠DFE，接下来利用角平分线的定义、已知的∠B=∠EAC，结合三角形外角的性质进行角的等量代换，即可证明两角相等，得到等腰三角形后，再利用三线合一的性质即可完成证明。
【解析】
证明：延长AD交BC于点F.
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD.
∵ ∠DFE是△ABF的外角，
∴ ∠DFE=∠B+∠BAD，
又
∵ ∠DAE=∠EAC+∠CAD，且已知∠B=∠EAC，
∴ ∠DFE=∠DAE（等量代换）.
∴ AE=FE（等角对等边），即△AEF为等腰三角形.
∵ ED⊥AD，即ED是等腰△AEF底边AF上的高，
∴ ED平分∠AEB（等腰三角形三线合一）.
【答案】
ED平分∠AEB，证明成立。
【知识点】
1.角平分线的定义 2.三角形外角性质 3.等腰三角形三线合一
【点评】
本题解题关键是根据已知的垂直、角相等条件合理添加辅助线构造等腰三角形，通过角的等量代换得到等腰三角形后，利用三线合一性质即可完成证明，考查了学生对几何性质的综合运用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
