1. [2025 广元] 某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品. 在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10 000元购买篮球的数量和用8 000元购买足球的数量相同.
(1)求篮球和足球的单价；
(2)学校需购买篮球和足球共120个(两种球都要购买)，足球的数量不能多于篮球数量的$\frac{2}{3}$，设购买篮球$x$个，总费用为$y$元，求总费用$y$(元)与$x$(个)之间的函数关系式，并求出$x$的取值范围和总费用最低时的购买方案.

(1)设篮球的单价为a元，则足球的单价为(a-20)元，由题意，得$\frac{10\ 000}{a}=\frac{8\ 000}{a-20}$，解得$a=100$，经检验，$a=100$是原方程的解，且符合题意，所以$a-20=80$。
答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元。
(2)由题意得，$y=100x+80(120-x)=20x+9\ 600$。
因为足球的数量不能多于篮球数量的$\frac{2}{3}$，所以$120-x≤ \frac{2}{3}x$，所以$x≥ 72$。
因为两种球都要购买，所以$72≤ x＜120$，且$x$为整数。
因为$y=20x+9\ 600$，$20＞0$，所以$y$随$x$的增大而增大，所以当$x=72$时，$y$有最小值，此时$120-x=48$。
答：$y=20x+9\ 600$，$72≤ x＜120$，且$x$为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低。

【分析】
(1) 求两种球的单价时，可先设其中一种球的单价为未知数，根据“数量=总价÷单价”的基本关系，利用题目给出的“10000元购买篮球的数量和8000元购买足球的数量相同”这一等量关系列分式方程求解，注意分式方程求出根后要检验是否符合题意。
(2) 求总费用的函数关系式时，根据“总费用=篮球总费用+足球总费用”，用含x的式子分别表示两种球的费用，化简即可得到函数式；再根据“足球数量不多于篮球数量的$\frac{2}{3}$”“两种球都要购买”两个限制条件列不等式，求出x的取值范围；最后结合一次函数的增减性，判断x取何值时总费用最低，得到最优方案。
【解析】
(1) 设篮球的单价为a元，则足球的单价为$(a-20)$元，由题意得：
$\frac{10\ 000}{a}=\frac{8\ 000}{a-20}$
交叉相乘化简得：$10000(a-20)=8000a$
解得$a=100$
经检验，$a=100$是原方程的解，且符合实际意义。
则足球的单价为$a-20=100-20=80$元。
(2) 已知购买篮球$x$个，则购买足球$(120-x)$个，总费用：
$y=100x+80(120-x)=20x+9\ 600$
根据足球数量的限制条件可得：
$120-x≤ \frac{2}{3}x$
解得$x≥ 72$
又因为两种球都要购买，所以$120-x＞0$，即$x＜120$，且$x$为整数。
因此$x$的取值范围是$72≤ x＜120$，且$x$为整数。
在函数$y=20x+9\ 600$中，$20＞0$，所以$y$随$x$的增大而增大，当$x$取最小值72时，总费用最低，此时足球数量为$120-72=48$个。
【答案】
(1) 篮球的单价为100元，足球的单价为80元。
(2) 总费用与$x$的函数关系式为$y=20x+9\ 600$，$x$的取值范围是$72≤ x＜120$且$x$为整数；总费用最低时的购买方案为购买篮球72个，足球48个。
【知识点】
分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际采购场景，综合考查了分式方程、一次函数与一元一次不等式的相关知识，解题时需要准确梳理题目中的等量关系和不等关系，同时要注意分式方程必须验根，自变量的取值要符合实际意义，能锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65

2. [2025 天津] 已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家 0.6 km，公园离家 1.8 km. 小华从家出发，先匀速步行了 6 min 到书店，在书店停留了 12 min，之后匀速步行了 12 min 到公园，在公园停留 25 min 后，再用 15 min 匀速跑步返回家. 下面图中 x 表示时间，y 表示离家的距离. 图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系.

请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：

②填空：小华从公园返回家的速度为 km/min；
③当 $0 ≤ x ≤ 30$ 时，请直接写出小华离家的距离 y 关于时间 x 的函数表达式；
(2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以 0.05 km/min 的速度散步直接到公园. 在从家到公园的过程中，对于同一个 x 的值，小华离家的距离为 $y_1$，小华的妈妈离家的距离为 $y_2$，当 $y_1 ＜ y_2$ 时，求 x 的取值范围(直接写出结果即可).

(1)①0.1；0.6；1.8
②0.12
③小华离家的距离 y 关于时间 x 的函数表达式为
$y=\begin{cases}0.1x(0≤ x≤ 6),\\0.6(6＜x≤ 18),\\0.1x-1.2(18＜x≤ 30).\end{cases}$
(2)$12＜x＜24$

点拨：根据题意可知，小华的妈妈离家的距离$y_2$与时间$x$之间的函数关系式为$y_2=0.05x$，其图象如图所示。
当$y_1=y_2$时，令$0.05x=0.6$，解得$x=12$，$6＜12＜18$，符合题意；
令$0.05x=0.1x-1.2$，解得$x=24$，$18＜24＜30$，符合题意。
结合图象可知，当$y_1＜y_2$时，$12＜x＜24$。

【分析】
解题时先结合题干描述和图象明确小华各时间段的运动状态，再逐问求解：
(1)①计算速度直接用对应时间段的路程除以时间，求指定时间的离家距离看该时间所属的运动阶段即可；②返程速度用公园到家的路程除以返程时间计算；③$0≤x≤30$分为三个运动阶段：0~6min步行去书店、6~18min书店停留、18~30min步行去公园，分别根据速度或固定距离写出每段的函数解析式即可。
(2)先写出妈妈离家距离的函数表达式，再分别求两段$y_1=y_2$时的$x$值，结合图象即可得到$y_1＜y_2$的$x$范围。
【解析】
(1)①小华步行到书店的速度为$\frac{0.6}{6}=0.1\ \mathrm{km/min}$；$x=10\ \mathrm{min}$时小华在书店停留，离家距离为$0.6\ \mathrm{km}$；$x=30\ \mathrm{min}$时小华到达公园，离家距离为$1.8\ \mathrm{km}$。
②小华从公园返回家的路程为$1.8\ \mathrm{km}$，用时$15\ \mathrm{min}$，速度为$\frac{1.8}{15}=0.12\ \mathrm{km/min}$。
③当$0 ≤ x ≤ 6$时，小华匀速步行去书店，速度为$0.1\ \mathrm{km/min}$，故$y=0.1x$；
当$6 ＜ x ≤ 18$时，小华在书店停留，离家距离不变，故$y=0.6$；
当$18 ＜ x ≤ 30$时，小华从书店步行去公园，速度为$\frac{1.8-0.6}{30-18}=0.1\ \mathrm{km/min}$，设解析式为$y=0.1x+b$，代入$(18,0.6)$得$0.6=0.1×18+b$，解得$b=-1.2$，故$y=0.1x-1.2$。
(2)小华妈妈的速度为$0.05\ \mathrm{km/min}$，故$y_2=0.05x$。
当$6＜x≤18$时，令$0.05x=0.6$，解得$x=12$，此时$y_1=y_2$，$x＞12$时$y_1＜y_2$；
当$18＜x≤30$时，令$0.05x=0.1x-1.2$，解得$x=24$，此时$y_1=y_2$，$x＜24$时$y_1＜y_2$；
结合图象可得$y_1＜y_2$时$x$的取值范围是$12＜x＜24$。
【答案】
(1)①0.1；0.6；1.8
②0.12
③小华离家的距离 y 关于时间 x 的函数表达式为
$y=\begin{cases}0.1x(0≤ x≤ 6),\\0.6(6＜x≤ 18),\\0.1x-1.2(18＜x≤ 30).\end{cases}$
(2)$12＜x＜24$

【知识点】
分段函数，一次函数应用，行程问题计算
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的实际应用，需要准确对应运动阶段和图象的分段，掌握一次函数解析式的求解方法，以及利用函数值比较解决实际问题，是一次函数应用类的常考题型。
【难度系数】
0.7